1.多元函數(shù)(重修2011).ppt

7 1多元函數(shù)的概念 7 2偏導(dǎo)數(shù)與全微分 7 3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 7 4隱函數(shù)求導(dǎo)法 7 5多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 7 6方向?qū)?shù)與梯度 7 7多元函數(shù)的極值及其求法 第7章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 1 鄰域 7 1 1平面點(diǎn)集的有關(guān)概念 7 1多元函數(shù)的概念 2 n維空間 1 n維空間的記號(hào)為 注 2 n維空間中兩點(diǎn)間距離公式 注 n維空間中鄰域概念 特殊地當(dāng)n 1 2 3時(shí) 便為數(shù)軸 平面 空間兩點(diǎn)間的距離 鄰域 設(shè)兩點(diǎn)為 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 定義7 1 1設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集 則稱映射f D R為定義在D上的二元函數(shù) 7 1 2多元函數(shù)的概念 1 二元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 2 二元函數(shù)z f x y 的圖形 7 1 3多元函數(shù)的極限 定義7 1 2 1 定義 注 1 定義中P P0的方式是任意的 2 二元函數(shù)的極限也叫二重極限 3 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似 4 二元以上的函數(shù)的極限可類似地定義 2 二元函數(shù)極限問(wèn)題舉例 例1求極限 解 其中 例2證明 分析 要證明二重極限不存在 可使P選擇不同的路徑而趨于P0 如有不同的極限 則二重極限不存在 證明 令P沿直線y kx而趨于點(diǎn)P0 0 0 則有 顯然 此極限值隨k的變化而變化 所以二重極限 例2 解 當(dāng)P沿直線y kx而趨于 0 0 點(diǎn)時(shí) 當(dāng)P沿曲線y kx2而趨于 0 0 時(shí) 它是與k的取值有關(guān)的 所以二重極限 確定極限不存在的方法 定義7 1 3 注 1 間斷點(diǎn)的判別與一元函數(shù)類似 2 多元函數(shù)不僅有間斷點(diǎn)而且有間斷線 1 多元函數(shù)連續(xù)性的定義 7 1 4多元函數(shù)的連續(xù)性 3 多元連續(xù)函數(shù)具有一元連續(xù)函數(shù)相同的性質(zhì) 例3討論函數(shù) 在 0 0 處的連續(xù)性 解 取 故函數(shù)在 0 0 處連續(xù) 例4討論函數(shù) 在 0 0 的連續(xù)性 解 取 其值隨k的不同而變化 極限不存在 故函數(shù)在 0 0 處不連續(xù) 2 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù) 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù) 如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 多元初等函數(shù) 由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 3 多元初等函數(shù)的連續(xù)性 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 例5 解 7 2偏導(dǎo)數(shù)與全微分 7 2 1偏導(dǎo)數(shù)的概念 7 2 2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 7 2 3高階偏導(dǎo)數(shù) 7 2 4全微分 7 2 1偏導(dǎo)數(shù)的概念 1 偏導(dǎo)數(shù)的定義 1 f x y 在點(diǎn)P0 x0 y0 處的偏導(dǎo)數(shù) 例如 極限 1 可以表示為 2 偏導(dǎo)函數(shù) 3 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù) 注 解 2 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則 對(duì)某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí) 其余的自變量看作常量 證明 原結(jié)論成立 例3 解 例4 解 注 1 求fx x0 y0 時(shí) 可先將y0代入得 最后再將x0代入 例5 解 注 2 求分界點(diǎn) 不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求 按定義可知 3 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù) 一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù) 多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù) 7 2 2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖 幾何意義 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 7 2 3高階偏導(dǎo)數(shù) 解 例6 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等 解 問(wèn)題 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 證畢 例8證明函數(shù) 其中 滿足方程 證明 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性 所以 因此 證畢 7 2 4全微分 1 增量 全增量及偏微分 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得 叫做函數(shù)在點(diǎn) x y 對(duì)應(yīng)于自變量增量 x y的全增量 z f x x y y f x y 1 2 全微分的定義 事實(shí)上 3 可微的必要條件 4 偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件 一元函數(shù)可微等價(jià)于可導(dǎo) f x y 在點(diǎn)P0處偏導(dǎo)存在 但f x y 在點(diǎn)P0處不連續(xù) 所以f x y 在點(diǎn)P0處一定不可微 而多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出可微 5 函數(shù)可微的充分條件 習(xí)慣上 記全微分為 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 方法 6 全微分的計(jì)算 2 dz fx x y dx fy x y dy iii P0 x0 y0 處且dx dy給定時(shí)的微分 1 先求fx x y fy x y 判斷f x y 的可微性 利用充分條件 幾類微分 i P x y 處的微分 ii P0 x0 y0 處的微分 例1 1 計(jì)算z x2y y3的全微分 2 計(jì)算z x2y y