《隱函數(shù)定理》PPT課件.ppt

隱函數(shù)是函數(shù)關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式 討論隱函數(shù)的存在性 連續(xù)性與可微性 不僅是出于深刻了解這類函數(shù)本身的需要 同時(shí)又為后面研究隱函數(shù)組的存在性問題打好了基礎(chǔ) 一 隱函數(shù)概念二 隱函數(shù)存在性條件分析三 隱函數(shù)定理四 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)舉例 1隱函數(shù) 一個(gè)方程式所確定的函數(shù) 例如 一 隱函數(shù)概念 顯函數(shù) 因變量可由自變量的某一表達(dá)式來表示 的函數(shù) 例如 隱函數(shù) 自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由某 隱函數(shù)的一般定義 設(shè)有一方程 則成立恒等式 其中若存在 記為 取值范圍 例如由方程可確定如下兩 個(gè)函數(shù) 注2不是任一方程都能確定隱函數(shù) 例如顯然不能確定任何隱函數(shù) 注1隱函數(shù)一般不易化為顯函數(shù) 也不一定需要 化為顯函數(shù) 上面把隱函數(shù)仍記為 這 與它能否用顯函數(shù)表示無關(guān) 注3隱函數(shù)一般需要同時(shí)指出自變量與因變量的 在 2還要討論由多個(gè)方程確定隱函數(shù)組的問題 確定的隱函數(shù) 二 隱函數(shù)存在性條件分析 條件時(shí) 由方程 1 能確定隱函數(shù) 并使 要討論的問題是 當(dāng)函數(shù)滿足怎樣一些 該隱函數(shù)具有連續(xù) 可微等良好性質(zhì) a 把上述看作曲面與坐標(biāo) 平面的交線 故至少要求該交集非空 即 滿足 連續(xù)是合理的 b 為使在連續(xù) 故要求在點(diǎn) 由此可見 是一個(gè)重要條件 點(diǎn)存在切線 而此切線是曲面在點(diǎn) 的切平面與的交線 故應(yīng)要求在 c 為使在可導(dǎo) 即曲線在 點(diǎn)可微 且 d 在以上條件下 通過復(fù)合求導(dǎo)數(shù) 得到 三 隱函數(shù)定理 定理18 1 隱函數(shù)存在惟一性定理 設(shè)方程 1 中 的函數(shù)滿足以下四個(gè)條件 i 在以為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域上連續(xù) ii 初始條件 iii 在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) iv 則有如下結(jié)論成立 在上連續(xù) 存在某鄰域 在內(nèi)由方程 1 惟 一地確定了一個(gè)隱函數(shù) 并且滿足 當(dāng)時(shí) 使得 證首先證明隱函數(shù)的存在與惟一性 證明過程歸結(jié)起來有四個(gè)步驟 圖示如下 a 一點(diǎn)正 一片正 由條件 iv 不妨設(shè) 因?yàn)檫B續(xù) 所以根據(jù) 保號(hào)性 使得 b 正 負(fù)上下分 因故 把看作的函數(shù) 它在上 嚴(yán)格增 且連續(xù) 據(jù)條件 i 因?yàn)殛P(guān)于連續(xù) 故由 b 的結(jié)論 根據(jù)保號(hào)性 使得 c 同號(hào)兩邊伸 d 利用介值性 因關(guān)于連續(xù) 且嚴(yán) 格增 故由 c 的結(jié)論 依據(jù)介值性定理 存在惟 就證得存在惟一的隱函數(shù) 由的任意性 這 若記則定理結(jié)論得證 下面再來證明上述隱函數(shù)的連續(xù)性 欲證上述在連續(xù) 類似于前面 c 使得 取足夠小 使 由對(duì)嚴(yán)格增 而 推知 在上處處連續(xù) 因此在連續(xù) 由的任意性 便證得 且當(dāng)時(shí) 有 類似于前面 d 由于隱函數(shù)惟一 故有 注1定理18 1的條件 i iv 既是充分條件 又 是一組十分重要的條件 例如 雙紐線 在 點(diǎn)同樣不滿足 條件 iv 而在該點(diǎn) 無論多小的鄰域內(nèi) 用這兩個(gè)較強(qiáng)的條件 一則是使用時(shí)便于檢驗(yàn) 注3讀者必須注意 定理18 1是一個(gè)局部性的隱 函數(shù)存在定理 例如從以上雙紐線圖形看出 除了 三點(diǎn)以外 曲線上其余各點(diǎn)處都 確實(shí)不能確定惟一的隱函數(shù) 見圖 注2條件 iii iv 在證明中只是用來保證在鄰 域內(nèi)關(guān)于為嚴(yán)格單調(diào) 之所以采 存在局部隱函數(shù) 這不難用定理18 1加 以檢驗(yàn) 見四 例 的 當(dāng)條件 iii iv 改為 時(shí) 將存在局部的連續(xù)隱函數(shù) 定理18 2 隱函數(shù)可微性定理 設(shè)函數(shù)滿 足定理18 1中的條件 i iv 在內(nèi)還存在連 續(xù)的 則由方程所確定的隱 函數(shù)在I內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) 且 注 其中 示于定理18 1的證明 d 使用微分中值定理 使得 證設(shè)則 由條件易知F可微 并有 顯然也是連續(xù)函數(shù) 因都是連續(xù)函數(shù) 故時(shí) 并有 3 注1當(dāng)存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí) 所得隱函 數(shù)也二階可導(dǎo) 應(yīng)用兩次復(fù)合求導(dǎo)法 得 將 2 式代入上式 經(jīng)整理后得到 注2利用公式 2 3 求隱函數(shù)的極值 a 求使的點(diǎn) 即的解 b 在點(diǎn)處因 而使 3 式化簡(jiǎn)為 4 c 由極值判別法 當(dāng)時(shí) 隱函數(shù) 在取得極大值 或極小值 設(shè)在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域上 則存在某鄰域在其內(nèi)存在惟一的 連 續(xù)可微的隱函數(shù) 且有 注3由方程 5 確定隱函數(shù)的相關(guān)定理簡(jiǎn)述如下 F的所有一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù) 并滿足 6 更一般地 由方程 確定隱函數(shù)的相關(guān)定理 見教 材下冊(cè)p 149上的定理18 3 這里不再詳述 解令它有連續(xù)的 求解分別得到 四 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)舉例 例1試討論雙紐線方程 所能確定的隱函數(shù) 再考慮隱函數(shù)的極值 由于 在其他所有點(diǎn)處都存在局部的可微隱函數(shù) 所以 除這三點(diǎn)外 曲線上在其他 所有點(diǎn)處都存在局部的可微隱函數(shù) 同理 除這五點(diǎn)外 曲線上 由對(duì)稱性可知 各點(diǎn)處都能確定局部的隱函數(shù) 例2討論Descartes葉形線 7 所確定的隱函數(shù)的存 在性 并求其一階 二階導(dǎo)數(shù) 解令 除此兩點(diǎn)外 方程 7 在其他 然后再算出 為了使用公式 3 先算出 由公式 2 求得 平切線和垂直切線 類似于例1的方法 求出曲線上使的點(diǎn)為 在幾何上 它是兩條曲線 和 隱函數(shù)在點(diǎn)取得極大值 以上討論同時(shí)說明 該曲線在點(diǎn)和分別有水 例3試求由方程所確定的隱 函數(shù)在點(diǎn)處的全微分 解法1 形式計(jì)算法 對(duì)方程兩邊微分 得 將代入 又得 解法2 隱函數(shù)法 設(shè) 由于上處處連續(xù) 而 因此在點(diǎn)P附近能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數(shù) 且可求得它的偏導(dǎo)數(shù)如下 以代入 便得到 例4用隱函數(shù)方法處理反函數(shù)的存在性及其導(dǎo)數(shù) 解設(shè)在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) 且現(xiàn)在來考察方程 由于 因此只要就能滿足隱函數(shù)定理的所有 條件 由方程 8 便能確定連續(xù)可微的隱函數(shù) 8 因它滿足故它就是 的反函數(shù) 應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式 又可得 故將此兩式相加便得所需結(jié)果 例5設(shè)是由方程 所確定的隱函數(shù) 其中F具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 試證 證易知于是有 由此得到再分別對(duì)x與y求偏導(dǎo)數(shù) 又得因在假設(shè)條件下 1 在隱函數(shù)的定義中 為什么強(qiáng)