函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明.ppt

函數(shù)單調(diào)性習題課 約3課時 函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟 1 設x1 x2 并是某個區(qū)間上任意二值 2 作差f x1 f x2 3 判斷f x1 f x2 的符號 4 作結(jié)論 分解因式 得出因式 x1 x2 配成非負實數(shù)和 方法小結(jié) 有理化 例2 證明函數(shù)f x x3在R上是增函數(shù) 證明 設x1 x2是R上任意兩個實數(shù) 且x10所以f x1 f x2 0即f x1 f x2 所以f x x3在R上是增函數(shù) 單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì) 若函數(shù)f x g x 在區(qū)間D上具有單調(diào)性則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì) 1 2 3 4 5 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法例4求函數(shù)f x x k 0 在x 0上的單調(diào)性 解 對于x2 x1 0 f x2 f x1 x2 x1 x1x2 k 因 0 X12 k x1x2 k x22 k 故x22 k 0即x2 時 f x2 f x1 同理x1 時 f x2 f x1 總之 f x 的增區(qū)間是 減區(qū)間是 用定義求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 1 設x1 x2 并是定義域上任意二值 2 作差f x1 f x2 方法小結(jié) 點評 單調(diào)區(qū)間的求法1 定義法2 圖像法 點評 1 定義法2 圖像法 含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷 小結(jié) 同增異減 研究函數(shù)的單調(diào)性 首先考慮函數(shù)的定義域 要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個區(qū)間 三 復合函數(shù)單調(diào)性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 減函數(shù) 小結(jié) 在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時必須注意單調(diào)區(qū)間是定義域的某個區(qū)間 分段函數(shù)的單調(diào)性 例10 已知函數(shù) 1 當a 0 b 2時 求f g x 和g f x 的解析式 并判斷哪一個函數(shù)在其定義域上單調(diào) 2 當a b滿足什么條件時 f g x 在定義域上單調(diào) 點評 分段函數(shù)的單調(diào)性 首先判斷各段函數(shù)的單調(diào)性 若每段函數(shù)的單調(diào)性一致 再判斷分界點處函數(shù)值的大小關系 符合單調(diào)性的定義 則在整個定義域上是單調(diào)函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性的應用 1 比較數(shù) 式 的大小2 解函數(shù)不等式3求參數(shù)的取值范圍4 求函數(shù)值域 最值 題型一 比較大小 例1 函數(shù)f x 在 0 上是減函數(shù) 求f a2 a 1 與f 的大小 解 因為f x 在 0 是減函數(shù) 因為a2 a 1 a 2 0 所以f a2 a 1 f 解 1 1 2 2 3 1 2 3 1 4 當a 0時 b 0或當a2時 最大值為 1 最小值為3 4a 題型二 解不等式 例2 解 因為函數(shù)f x 在定義域上是增函數(shù) 1 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)且 解不等式 2 已知為上的減函數(shù) 則滿足的實數(shù)的取值范圍是 A B C D 練習 題型三 求參數(shù)范圍 例3 f x x2 2 a 1 x 2在區(qū)間 4 上是減函數(shù) 求a的取值范圍 解 函數(shù)f x 圖象的對稱軸為x 1 a 當x1 a時 函數(shù)單調(diào)遞減 已知函數(shù)在上是減函數(shù) 所以41 a 即 3a 練習 1 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù) 則實數(shù)的取值范圍是 A B C D 2 已知在上是增函數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍 3 已知函數(shù)在上是增函數(shù) 求實數(shù)的取值范圍 四 利用函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域或最值 1 求二次函數(shù)上的最值 2 函數(shù)在區(qū)間 2 4 上的最大值為最小值為 3 已知函數(shù) 若有最小值 2 則的最大值為 4 若函數(shù)在上為增函數(shù) 則實數(shù)的范圍是 5 求在區(qū)間上的最大值和最小值 1 函數(shù)最大 小 值首先應該是某一個函數(shù)值 即存在 使得 2 函數(shù)最大 小 值應該是所有函數(shù)值中最大 小 的 即對于任意的x I 都有f x M f x M 3 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增 則函數(shù)y f x 在x a處有最小值f a