彈性力學重點復習題及其答案.doc

彈性力學重點復習題及其答案一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后，其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與物體的形變和材料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。7、已知一點處的應力分量MPa，MPa， MPa，則主應力150MPa，0MPa，。8、已知一點處的應力分量， MPa，MPa， MPa，則主應力512 MPa，-312 MPa，-3757。9、已知一點處的應力分量，MPa，MPa， MPa，則主應力1052 MPa，-2052 MPa，-8232。10、在彈性力學里分析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結構，然后再用結構力學位移法進行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應變，還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結點處具有相同的位移時，也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結點Ni=1；在其他結點Ni=0及Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移和應力的精度提高。二、判斷題（請在正確命題后的括號內打“”，在錯誤命題后的括號內打“”）1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（）2、均勻性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（）3、連續(xù)性假定是指整個物體是由同一材料組成的。（）4、平面應力問題與平面應變問題的物理方程是完全相同的。（）5、如果某一問題中，只存在平面應力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應力問題。（）6、如果某一問題中，只存在平面應變分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應變問題。（）7、表示應力分量與面力分量之間關系的方程為平衡微分方程。（）8、表示位移分量與應力分量之間關系的方程為物理方程。（）9、當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（）10、當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（）11、按應力求解平面問題時常采用位移法和應力法。（）12、按應力求解平面問題，最后可以歸納為求解一個應力函數(shù)。（）13、在有限單元法中，結點力是指單元對結點的作用力。（）14、在有限單元法中，結點力是指結點對單元的作用力。（）15、在平面三結點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變。（ ）三、簡答題1、簡述材料力學和彈性力學在研究對象、研究方法方面的異同點。在研究對象方面，材料力學基本上只研究桿狀構件，也就是長度遠大于高度和寬度的構件；而彈性力學除了對桿狀構件作進一步的、較精確的分析外，還對非桿狀結構，例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基等實體結構加以研究。在研究方法方面，材料力學研究桿狀構件，除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析以外，大都引用了一些關于構件的形變狀態(tài)或應力分布的假定，這就大簡化了數(shù)學推演，但是，得出的解答往往是近似的。彈性力學研究桿狀構件，一般都不必引用那些假定，因而得出的結果就比較精確，并且可以用來校核材料力學里得出的近似解答。2、簡述彈性力學的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關系，建立幾何方程；根據(jù)應力與形變之間的物理關系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件，建立應力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應力分量、形變分量和位移分量。3、彈性力學中應力如何表示？正負如何規(guī)定？答：彈性力學中正應力用表示，并加上一個下標字母，表明這個正應力的作用面與作用方向；切應力用表示，并加上兩個下標字母，前一個字母表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個字母表明作用方向沿著哪一個坐標軸。并規(guī)定作用在正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，作用在負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。4、簡述平面應力問題與平面應變問題的區(qū)別。答：平面應力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對應的應力分量只有，。而平面應變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對應的位移分量只有u和v5、簡述圣維南原理。 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。6、簡述按應力求解平面問題時的逆解法。答：所謂逆解法，就是先設定各種形式的、滿足相容方程的應力函數(shù)；并由應力分量與應力函數(shù)之間的關系求得應力分量；然后再根據(jù)應力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應力函數(shù)可以解決的問題。7、以三節(jié)點三角形單元為例，簡述有限單元法求解離散化結構的具體步驟。（1）取三角形單元的結點位移為基本未知量。（2）應用插值公式，由單元的結點位移求出單元的位移函數(shù)。（3）應用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應變。（4）應用物理方程，由單元的應變求出單元的應力。（5）應用虛功方程，由單元的應力出單元的結點力。（6）應用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結點移置，求出單元的結點荷載。（7）列出各結點的平衡方程，組成整個結構的平衡方程組。8、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應滿足哪些條件？答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應滿足下列條件：（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能反映單元的常量應變；（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。9、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是本單元的形變無關的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。10、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應變？答：每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。而且，當單元的尺寸較小時，單元中各點的應變趨于相等，也就是單元的應變趨于均勻，因而常量應變就成為應變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應變。11、在平面三結點三角形單元中，能否選取如下的位移模式并說明理由：（1），（2），答：（1）不能采用。因為位移模式沒有反映全部的剛體位移和常量應變項；對坐標x，y不對等；在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足。（2）不能采用。因為，位移模式沒有反映剛體位移和常量應變項；在單元邊界上的連續(xù)性條件也不滿足。四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)。解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內的相容方程；（3）在邊界上的應力邊界條件；（4）對于多連體的位移單值條件。（1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應滿足應力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應力分量不可能存在。2、已知應力分量，體力不計，Q為常數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù)C1，C2，C3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應力分量，判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應力分量，代入平衡微分方程可知，已知應力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。（1），；（2），；（3），；其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件，即將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3）0=C；這組應力分量若存在，則須滿足：C=0，則，（1分）。5、證明應力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數(shù)代入相容方程可知，所給應力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢姡舷聝蛇厸]有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數(shù)代入相容方程可知，所給應力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，。可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。Oxybqrg 解：根據(jù)結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設。由此可知 將上式對y積分兩次，可得如下應力函數(shù)表達式 將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內的y值都應該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零，即， 這兩個方程要求， 代入應力函數(shù)表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得對應應力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達式代入，則有由此可得，應力分量為, , 雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應力分量亦可用應力函數(shù)表示為，試導出相應的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量，應當滿足平衡微分方程（1分）還應滿足相容方程（對于平面應力問題）（對于平面應變問題）并在邊界上滿足應力邊界條件（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得，同樣，將第二個方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數(shù)B（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數(shù)，使得，代入以上各式，得應力分量，為了使上述應力分量能同量滿足相容方程，應力函數(shù)必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得簡寫為將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程，得簡寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次的應力函數(shù)求解。Oxyarg解：純三次的應力函數(shù)為相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當選擇各個系數(shù)，是否能滿足應力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應力分量為, , 設三角形懸臂梁的長為l，高為h，則。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束反力沿x方向的