第四屆高數(shù)競(jìng)賽(理工類)試題答案.doc

南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類)試題答案 序號(hào)： 姓名： 學(xué)院: 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2007年9月16日 題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分15156677877787 100得分注: 本卷共七頁(yè), 十二道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.一、 填空題(每空3分，共15分) 1、 . 2、0 . 3、. 4、 . 5、12.二、選擇題(每題3分，共15分)1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.第 6 頁(yè) 共 6頁(yè)得分評(píng)閱人 三、（本題滿分6分） 設(shè)為連續(xù)函數(shù),討論當(dāng)時(shí)的極限是否存在.當(dāng)時(shí)，則積分中令則 2當(dāng)時(shí)，則. 4（1） 當(dāng)時(shí)，的極限存在，（2） 當(dāng)時(shí)，的極限不存在 6得分評(píng)閱人 四、（本題滿分6分） 設(shè)為連續(xù)函數(shù),滿足方程,求. 1 2 3求得 4通解 5特解 6得分評(píng)閱人 五、（本題滿分7分） 設(shè)，其中均為常數(shù)，為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的一段弧.利用格林公式.添加從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)的有向直線段,則. 1對(duì)于,因?yàn)闉榉忾]曲線,由格林公式知 3對(duì)于,直接計(jì)算 5所以,. 7得分評(píng)閱人 六、（本題滿分7分） 設(shè)在上連續(xù)，且，求.解：令，則，.于是,原式=解法二：= 1= 4= 6= 7 得分評(píng)閱人 七、（本題滿分8分） 已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，試判斷數(shù)列的斂散性.證 設(shè)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的部分和由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂知存在使得， 1 3由于當(dāng)時(shí)，因此 6 又由于是單調(diào)遞增數(shù)列， 7因此數(shù)列收斂. 8得分評(píng)閱人 八、（本題滿分7分） 計(jì)算曲面積分，其中是錐面被平面和所截出部分的外側(cè).利用高斯公式.補(bǔ)充有向曲面:下側(cè)；有向曲面:上側(cè).利用高斯公式,有 2 4其中為:.又由于, 5, 6故 7得分評(píng)閱人 九、（本題滿分7分） 設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.令，則 2 4 6=0 7得分評(píng)閱人 十、（本題滿分7分） 設(shè)函數(shù)滿足方程,且由曲線、直線與軸圍成的平面圖形繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求.方程通解 2旋轉(zhuǎn)體體積 4 = 5令 7十一、（本題滿分8分） 求級(jí)數(shù)的和函數(shù).令， 1當(dāng)時(shí)， 3 5=， 7當(dāng)， =0 8十二、（本題滿分7分） 設(shè)對(duì)任意，有，試證.證 在上的一階臺(tái)勞公式