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南昌大學(xué)第四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類)試題答案 序號(hào): 姓名: 學(xué)院: 專業(yè): 學(xué)號(hào): 考試日期: 2007年9月16日 題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分15156677877787 100得分注: 本卷共七頁(yè), 十二道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.一、 填空題(每空3分,共15分) 1、 . 2、0 . 3、. 4、 . 5、12.二、選擇題(每題3分,共15分)1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.第 6 頁(yè) 共 6頁(yè)得分評(píng)閱人 三、(本題滿分6分) 設(shè)為連續(xù)函數(shù),討論當(dāng)時(shí)的極限是否存在.當(dāng)時(shí),則積分中令則 2當(dāng)時(shí),則. 4(1) 當(dāng)時(shí),的極限存在,(2) 當(dāng)時(shí),的極限不存在 6得分評(píng)閱人 四、(本題滿分6分) 設(shè)為連續(xù)函數(shù),滿足方程,求. 1 2 3求得 4通解 5特解 6得分評(píng)閱人 五、(本題滿分7分) 設(shè),其中均為常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的一段弧.利用格林公式.添加從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)的有向直線段,則. 1對(duì)于,因?yàn)闉榉忾]曲線,由格林公式知 3對(duì)于,直接計(jì)算 5所以,. 7得分評(píng)閱人 六、(本題滿分7分) 設(shè)在上連續(xù),且,求.解:令,則,.于是,原式=解法二:= 1= 4= 6= 7 得分評(píng)閱人 七、(本題滿分8分) 已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,試判斷數(shù)列的斂散性.證 設(shè)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的部分和由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂知存在使得, 1 3由于當(dāng)時(shí),因此 6 又由于是單調(diào)遞增數(shù)列, 7因此數(shù)列收斂. 8得分評(píng)閱人 八、(本題滿分7分) 計(jì)算曲面積分,其中是錐面被平面和所截出部分的外側(cè).利用高斯公式.補(bǔ)充有向曲面:下側(cè);有向曲面:上側(cè).利用高斯公式,有 2 4其中為:.又由于, 5, 6故 7得分評(píng)閱人 九、(本題滿分7分) 設(shè),其中函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求.令,則 2 4 6=0 7得分評(píng)閱人 十、(本題滿分7分) 設(shè)函數(shù)滿足方程,且由曲線、直線與軸圍成的平面圖形繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小,求.方程通解 2旋轉(zhuǎn)體體積 4 = 5令 7十一、(本題滿分8分) 求級(jí)數(shù)的和函數(shù).令, 1當(dāng)時(shí), 3 5=, 7當(dāng), =0 8十二、(本題滿分7分) 設(shè)對(duì)任意,有,試證.證 在上的一階臺(tái)勞公式
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