線代數(shù)總結.doc

線性代數(shù)總結 一、課程特點 特點一：知識點比較細碎。 如矩陣部分涉及到了各種類型的性質和關系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點二：知識點間的聯(lián)系性很強。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質、定理、判定法則之間有著相互推導和前后印證的關系。復習線代時，要做到“融會貫通”?！叭跁痹O法找到不同知識點之間的內在相通之處；“貫通”掌握前后知識點之間的順承關系。二、行列式與矩陣 第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎章節(jié)，有必要熟練掌握。行列式的核心內容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應用行列式的性質及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。 對于抽象行列式的求值，考點不在求行列式，而在于 、 、 等的相關性質，及性質 （其中 為矩陣 的特征值）。 矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣運算的運算規(guī)律、 、 、 的性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。 三、向量與線性方程組 向量與線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。向量與線性方程組的內容聯(lián)系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點和目標。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（）矩陣形式 ，其中 ， ， （）向量形式 ，其中 ,向量就這樣被引入了。1）齊次線性方程組與線性相關、無關的聯(lián)系齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因為當 時等式一定成立；印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。 齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：有唯一零解；有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關無關的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對應于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關?？梢栽O想線性相關無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。 2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯(lián)系同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關組中有 個向量，即 線性無關，也即等式 只有零解。所以，經過 “秩 線性相關無關 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當 時， 的列向量組 線性相關，此時齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個線性無關的解向量（基礎解系）線性表示。 3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系非齊次線性方程組 是否有解對應于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當非齊次線性方程組 滿足 時，它有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若 線性無關，而 線性相關，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。 性質1.對于方陣 有： 方陣 可逆 的行列向量組均線性無關 可由克萊姆法則判斷有唯一解， 而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： 的列向量組線性無關 僅有零解， 有唯一解（如果有解） 性質2齊次線性方程組 是否有非零解對應于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關，而非齊次線性方程組 是否有解對應于 是否可以由 的列向量組線性表出。 以上兩條性質可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁。應記住的一些性質與結論 1向量組線性相關的有關結論：1）向量組 線性相關向量組中至少存在一個向量可由其余 個向量線性表出。 2）向量組線性無關向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。 3）若 線性無關，而 線性相關，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。 2向量組線性表示與等價的有關結論：1） 一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。2） 如果向量組 可由向量組 線性表示，則有 3） 等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量；4） 任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。3常見的線性無關組：1） 齊次線性方程組的一個基礎解系；2） 、 、 這樣的單位向量組； 3） 不同特征值對應的特征向量。4關于秩的一些結論：1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 5）若有 、 滿足 ，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8） 。 4線性方程組的解：1） 非齊次線性方程組 有唯一解則對應齊次方程組 僅有零解； 2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個不同的解則 有非零解； 4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當 時有唯一解，當 時有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。 四、特征值與特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發(fā)而動全身”。本章知識要點如下：1特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性質：若 階矩陣 有 個特征值 ，則有 ； 若矩陣 有特征值 ，則 、 、 、 、 、 分別有特征值 、 、 、 、 、 ，且對應特征向量等于 所對應的特征向量； 2相似矩陣及其性質定義式為 ，此時滿足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。 需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣 與矩陣 等價（ ）的定義式是 ，其中 、 為可逆矩陣，此時矩陣 可通過初等變換化為矩陣 ，并有 ；當 中的 、 互逆時就變成了矩陣相似（ ）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是 ，其中 為可逆矩陣。 由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若 與 合同或相似則 與 必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。 3矩陣可相似對角化的條件包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個線性無關的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應有 個線性無關的特征向量；充分條件1是 有 個互不相同的特征值；充分條件2是 為實對稱矩陣。 4實對稱矩陣及其相似對角化階實對稱矩陣 必可正交相似于對角陣 ，即有正交矩陣 使得 ，而且正交矩陣 由 對應的 個正交的單位特征向量組成。 可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足 （對角矩陣）的話就簡單多了，因為此時 而對角陣 的冪 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分別是由 的特征向量和特征值決定的