歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講.doc

高三第一輪復(fù)習(xí)學(xué)案-立體幾何 北大附中廣州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王 生歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講1.(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，PDA=60。（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。2.（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。（）求異面直線AB與MD所成角的大小；（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。ABCDOO1ABOCO1D3.（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小。4.（2007安徽文、理)如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求證:與AC共面，與BD共面. ()求證:平面 ()求二面角的大小.5.(2007海南、寧夏理)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點(diǎn) （）證明：平面；（）求二面角的余弦值6.(2007四川理）如圖，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直線與直線所成的角為60. （）求證：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.ABMNCl2l1H7.(2006全國(guó)卷文、理)如圖，、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在上，C在上，。 （）證明ACNB；()若，求與平面ABC所成角的余弦值。8.（2006福建文、理）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講(參考答案)1解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系則，連結(jié)，在平面中，延長(zhǎng)交于設(shè)，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因?yàn)?，所以即與所成的角為（）平面的一個(gè)法向量是因?yàn)?，所以可得與平面所成的角為2解：作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(2) 設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, , .所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為3解:（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）. 從而，所以ACBO1. （II）解：因?yàn)樗訠O1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，所以cos，=4.解（向量法）：以D為原點(diǎn)，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）證明：于是與AC共面，與BD共面.（）證明：內(nèi)的兩條相交直線， 又平面（）解：設(shè)于是設(shè)于是5證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點(diǎn)，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為6解： （），又（）在平面內(nèi)，過(guò)作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）解法一：由（）知，為正方形（）解法二：取平面的法向量取為，則點(diǎn)A到平面的距離，7解: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz.令MN=1, 則有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂線, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). =1+(1)+0=0 ACNB.ABMNCl2l1Hxyz() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60,ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).連結(jié)MC,作NHMC于H,設(shè)H(0, ) (0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 連結(jié)BH,則=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = 8 (1)證明：連結(jié)OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC.AO平面BCD.（）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 異面直線AB與CD所成角的大小為（）解法一：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則 令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量.又點(diǎn)E到平面ACD的距離h=（）