如何求數(shù)列的極限.doc

如何求數(shù)列的極限作者：陜西洋縣中學(xué) 劉大鳴 梁杰數(shù)列極限定性地刻畫了項(xiàng)數(shù)趨向無窮大時(shí)，項(xiàng)的變化規(guī)律，起決定因素的是數(shù)列通項(xiàng)公式.常依據(jù)數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)，適當(dāng)?shù)刈冃?，利用?shù)列極限的定義、結(jié)論和運(yùn)算法則求解.1 “抓通項(xiàng)”，利用數(shù)列極限的定義求解.數(shù)列的通項(xiàng)揭示了數(shù)列的項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，而數(shù)列極限揭示的是數(shù)列的項(xiàng)隨自變量項(xiàng)數(shù)趨向無窮大時(shí)的變化規(guī)律，為此，求數(shù)列的極限首先思考數(shù)列極限的定義，運(yùn)動(dòng)變化、函數(shù)觀念研究初等函數(shù)值域隨自變量的變化規(guī)律，當(dāng)函數(shù)值域無限趨近唯一的一個(gè)常數(shù)時(shí)，這個(gè)常數(shù)就稱為數(shù)列的極限；當(dāng)函數(shù)值域無限增大或趨近的常數(shù)不唯一，這個(gè)數(shù)列的極限就不存在.利用數(shù)列極限定義，研究函數(shù)值域隨自變量的變化趨勢(shì)，可證的幾個(gè)基本極限結(jié)論為， 2 “抓通項(xiàng)，恒等變形”，化歸用基本數(shù)列極限結(jié)論求解通項(xiàng)為分式類的數(shù)列的極限，先對(duì)通項(xiàng)變形使分子和分母的極限都存在，然后求極限，其值為0、系數(shù)比或不存在，常以“極限已知待定參數(shù)”考查逆向思維的問題；對(duì)通項(xiàng)含根式的分式類數(shù)列的極限，為使“分子和分母的極限都存在”，常?！胺肿踊蚍帜赣欣砘被瘹w基本數(shù)列的極限結(jié)論求解.例1 ; 簡(jiǎn)析： 用數(shù)列運(yùn)算法則，分子和分母的極限均不存在，對(duì)通項(xiàng)變形，利用結(jié)論的條件構(gòu)建不等式解范圍.依題意有， 用數(shù)列運(yùn)算法則，分子和分母的極限均不存在，對(duì)通項(xiàng)變形化為基本數(shù)列極限研究待定系數(shù).依題意有，例2 簡(jiǎn)析： 用運(yùn)算法則，分母極限無法確定，分母有理化用運(yùn)算法則，極限無法確定，分子有理化 3 利用“有限項(xiàng)的和取極限與各項(xiàng)和之間的關(guān)系”求解數(shù)列的極限與數(shù)列的和密切相關(guān)，無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，總可以化為有限項(xiàng)和取極限，“無限和化為有限項(xiàng)的和的極限，有限和的極限轉(zhuǎn)化為各項(xiàng)和用公式”的相互轉(zhuǎn)化是解決數(shù)列問題的一種“進(jìn)化”.例3 (94高考)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)一切自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)， 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 簡(jiǎn)析： 先猜后證.易求，a1=2,a2=6,a3=10,猜an=4n-2.用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立； 假設(shè)n=k時(shí)成立，即 ak=4k-2.由題設(shè)有，而一般數(shù)列的切入點(diǎn)為 ak+1=Sk+1-Sk=,將假設(shè)ak=4k-2代入整理有，解方程有，這就是說，當(dāng)時(shí)猜想也成立.由和 猜想成立.即an=4n-2.也可用“為an的二次函數(shù)，則an為等差數(shù)列”探究解題思路.由一般數(shù)列的切入點(diǎn)ak+1=Sk+1-Sk=，注意題設(shè)化簡(jiǎn)整理有，易求an=4n-2. 由和的特征構(gòu)建通項(xiàng)化簡(jiǎn)，先求和再取極限 簡(jiǎn)析：數(shù)列極限與不等式簡(jiǎn)單綜合，利用有限項(xiàng)和與無限項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)建不等式解范圍.依題意， 例5（03高考）在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC中，圓O1為三角形ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切且與AB、BC相切，圓On+1圓On外切，且與AB、BC相切，如此繼續(xù)下去，記圓On的面積為an,求.簡(jiǎn)析：探求相鄰兩個(gè)圓的半徑滿足的遞推關(guān)系，將有限項(xiàng)和的極限化為無窮遞縮各項(xiàng)和求解.設(shè)rn為圓On半徑，易有，4 極限運(yùn)算法則中的“線性表示”和“先求和再取極限”例6 簡(jiǎn)析：若分別求極限其值為0.而先求和再取極限，追其原因?qū)O限的運(yùn)算法則適應(yīng)于有限個(gè)數(shù)列的和、差、乘、的數(shù)列的極限的運(yùn)算法則照搬到無限數(shù)列中去，超出了法則的使用范圍,應(yīng)“先求和再取極限”. 例7簡(jiǎn)析:先求出的極限,再求值,已經(jīng)犯錯(cuò)誤”和差的極限存在,各自的極限也存在”;應(yīng)用已知的極限線性表示所求的極限,5 構(gòu)建數(shù)列極限的模型解決實(shí)際應(yīng)用問題.例8 某市電話費(fèi)為每3分鐘0.18元，現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘電話費(fèi)為0.22元，超過3分鐘，每分鐘0.11元計(jì)費(fèi)，與調(diào)整前相比，一次通話提價(jià)的百分比（ ）.A 不會(huì)高于 ; B.會(huì)高于而不會(huì)高于 ; C.不會(huì)低于. D.高于而低于1.簡(jiǎn)析 ：構(gòu)建數(shù)列極限模型，用數(shù)列極限思想求解.考察通話3分鐘的收費(fèi)，原價(jià)0.18元，現(xiàn)價(jià)0.22元，提價(jià)少于0.3,排除D. 用極限思想，通話3n分鐘，原價(jià)0.18n元，現(xiàn)價(jià)（0.33n-0.11）元，若注意到而, 故選B.例9當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，求所有函數(shù)y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1的圖象在x軸上所截的線段的長(zhǎng)度的總和S.簡(jiǎn)析 ：構(gòu)建數(shù)列極限的模型，將所有線段的長(zhǎng)度和化為前n項(xiàng)和的極限求解.易知,函數(shù)在x軸上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1/n,1/n+1,則 例10(02高考) 某城市2001年汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)次后每年報(bào)廢上一年汽車保有量的0.06,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛.簡(jiǎn)析: 構(gòu)建線性遞推關(guān)系，利用數(shù)列極限的概念求解.設(shè)2001年末汽車保有量為b1,以后各年末的汽車保有量分別為b2,b3,bn,每年新增汽車數(shù)量x萬輛，則b1=30,b2=0.94b1+x,bn+1=0.94bn+x=0.942bn-1+(1+0.94)x=,所以，bn+1=0.94nb1+x(1+0.94+0.942+0.94n-1)=0.94nb1+(1-0.94n)x/0.06=x/0.06+(30-x/0.06) 0.94n,依題設(shè)bn60(n=1,2,3, ,), 就是 300.94n-1+ 60恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的不等式得，x1.8(1+),設(shè)f(n)= 1.8(1+),則f