高數(shù)輔導(dǎo)講義4.doc

最新下載(NewD) 中國(guó)最大、最專業(yè)的學(xué)習(xí)資料下載站 轉(zhuǎn)載請(qǐng)保留本信息第三章 一元函數(shù)積分學(xué)31 不定積分甲 內(nèi)容要點(diǎn)一基本概念與性質(zhì) 1原函數(shù)與不定積分的概念 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上有定義，若在區(qū)間上成立，則稱為在區(qū)間上的原函數(shù)，在區(qū)間中的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間的不定積分，記以。其中稱為積分號(hào)，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式。 2不定積分的性質(zhì) 設(shè)，其中為的一個(gè)原函數(shù)，為任意常數(shù)。 則（1） 或 （2） 或 （3） （4） 3原函數(shù)的存在性 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上原函數(shù)一定存在，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。例如，等。被積函數(shù)有原函數(shù)，但不能用初等函數(shù)表示，故這些不定積分均稱為積不出來。二基本積分公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三換元積分法和分部積分法 1第一換元積分法（湊微分法） 設(shè)，又可導(dǎo)，則 這里要求讀者對(duì)常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟練地湊出微分。 常用的幾種湊微分形式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） 2第二換元積分法 設(shè)可導(dǎo)，且，若， 則 其中為的反函數(shù)。 第二換元積分法絕大多數(shù)用于根式的被積函數(shù)，通過換元把根式去掉，其常見的變量替換分為兩大類： 第一類：被積函數(shù)是與或與或由構(gòu)成的代數(shù)式的根式，例如等。 只要令根式，解出已經(jīng)不再有根式，那么就作這種變量替換即可。 第二類：被積函數(shù)含有，如果仍令解出仍是根號(hào)，那么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將時(shí)先化為，時(shí)，先化為然后再作下列三種三角替換之一：根式的形式所作替換三角形示意圖（求反函數(shù)用） 值得注意：如果既能用上述第二換元積分法，又可以用第一換元積分法，那么一般用第一換元積分法比較簡(jiǎn)單。 例1 例2 例3 3分部積分法 設(shè)，均有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 或 使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰看作誰看作有一定規(guī)律。 （1），情形，為次多項(xiàng)式，為常數(shù)，要進(jìn)行次分部積分法，每次均取，為；多項(xiàng)式部分為。 （2），情形，為次多項(xiàng)式取為，而，為，用分部積分法一次，被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法。 （3），情形，進(jìn)行二次分部積分法后要移項(xiàng)，合并。 （4）比較復(fù)雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要用湊微分法，使盡量多的因子和湊成。乙 典型例題一直接積分法 所謂直接積分法就是用代數(shù)或三角恒等式，并用積分的性質(zhì)和基本積分公式能直接求出不定積分，它要求初等數(shù)學(xué)有關(guān)公式很熟練。 例1求 解：原式 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 例3求 例4求下列不定積分 （1） （2） 例5求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 分析：三角函數(shù)中的倍角公式 ， 在不定積分的計(jì)算中?？善鸬胶?jiǎn)化計(jì)算的作用。上述四個(gè)題都是用倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用基本積分公式積分。二第一換元積分法 例1求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 令，； 令，； 令，。 因此，原式 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例3求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） 分析：這四個(gè)題中均含有，而，因而可以用湊微分的方法積分。 例4求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例5求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （6）解一： 解二： 例6求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 例7求下列不定積分 （1） （2） 三第二換元積分法 例1求 解： 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（5）解一： （這里已設(shè)） 解二：倒代換 原式 例3求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）解一：令，則 解二： （注：；） 四分部積分法（有時(shí)還用了換元積分法） 例1求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2求下列不定積分 （1） （） （2） （3） （4） 解：（1） （） （2）解一： 解二：令，則 （3） （4） 例4求下列不定積分 （1） （2） （3） 32 定積分和廣義積分的概念與計(jì)算方法甲 內(nèi)容要點(diǎn)一定積分的概念與性質(zhì) 1定積分的定義 在上的定積分為 （如果極限存在） 其中為上任一點(diǎn)；任意劃分為個(gè)小區(qū)間 ； 如果在上有定積分，則稱在上可積。 上的連續(xù)函數(shù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都是可積函數(shù)。 2定積分的幾何意義 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，定積分在幾何上表示曲線和直線以及軸圍成各部分面積的代數(shù)和，在軸上方取正號(hào)，在軸下方取負(fù)號(hào)。 3定積分的性質(zhì) （1） （2） （3） （4）（也可以在之外） （5）設(shè)，則 （6）設(shè)，則 （7）設(shè)，則 （8）定積分中值定理 設(shè)在上連續(xù)，則存在，使 定義：我們稱為在上的積分平均值 （9）奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) （奇函數(shù)） （偶函數(shù)） （10）周期函數(shù)的積分性質(zhì) 設(shè)以為周期，為常數(shù)，則 二基本定理 1變上限積分的函數(shù) 定義：設(shè)在上可積，則，稱為變上限積分的函數(shù) 定理：（1）若在上可積，則在上連續(xù) （2）若在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且 推廣形式：設(shè)，可導(dǎo)，連續(xù)， 則 2牛頓一萊布尼茲公式 設(shè)在上可積，為在上任意一個(gè)原函數(shù)， 則有 （注：若在上連續(xù)，可以很容易地用上面變上限積分的方法來證明；若在上可積，牛頓一萊布尼茲公式仍成立，但證明方法就很復(fù)雜）三定積分的換元積分法和分部積分法 1定積分的換元積分法 設(shè)在上連續(xù)，若變量替換滿足 （1）在（或）上連續(xù)； （2），且當(dāng)時(shí)，則 2定積分的分部積分法 設(shè)在上連續(xù)，則或四廣義積分 定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間，又在上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或推廣到無界函數(shù)，就是兩種不同類型的廣義積分。 1無窮區(qū)間上的廣義積分 （1）概念 定義： 若極限存在，則稱廣義積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分。是發(fā)散的，而發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。 同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。 同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的廣義積分有值的概念，值得注意：判斷的收斂性不能用的極限存在性，必須要求和兩個(gè)廣義積分都收斂，才能知道是收斂的。但是如果已經(jīng)知道是收斂的，而求它的值，那么計(jì)算是可以的。 （2）常用公式 2無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分） （1）概念： 設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，則稱為的瑕點(diǎn)。 定義 若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，發(fā)散的廣義積分沒有值的概念。 設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，則稱為的瑕點(diǎn)。 定義 若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值。 若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，它沒有值。 設(shè)在和皆連續(xù)，且，則稱為的瑕點(diǎn)。 定義 （值得注意：這里判別收斂性時(shí)，和要獨(dú)立地取極限，不能都用來代替） 若上面兩個(gè)極限都存在時(shí)才稱廣義積分是收斂的，否則廣義積分發(fā)散。 （2）常用公式： 類似地考慮和 最后指出：由于廣義積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運(yùn)算法則和極限的運(yùn)算法則就可以得到廣義積分運(yùn)算法則。乙 典型例題用常規(guī)方法計(jì)算定積分 例1計(jì)算下列定積分 （1） （2） （3） （4）（收斂的廣義積分） （5） （6）（收斂的廣義積分） 解：（1） （2） （3）令，時(shí)；時(shí)， 于是 （4）令， 于是 （5） （6）令，則 例2計(jì)算下列定積分（分段函數(shù)） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 33 定積分的應(yīng)用甲 內(nèi)容要點(diǎn)一平面圖形的面積 1直角坐標(biāo)系 模型I 其中， 模型II 其中， 注：復(fù)雜圖形分割為若干個(gè)小圖形，使其中每一個(gè)符合模型I或模型II加以計(jì)算，然后再相加。 2構(gòu)坐標(biāo)系 模型I 模型II 3參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面積 設(shè)曲線的參數(shù)方程，在（或）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不變號(hào)，且連續(xù)，則曲邊梯形面積（曲線與直線和軸所圍成） 二平面曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 1直角坐標(biāo)系 設(shè)光滑曲線，也即有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 弧長(zhǎng) 而也稱為弧微分 2構(gòu)坐標(biāo)系 設(shè)光滑曲線，在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 弧長(zhǎng) 3參數(shù)方程所表曲線的弧長(zhǎng) 設(shè)光滑曲線，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 曲線的弧長(zhǎng)三特殊的空間圖形的體積（一般體積要用二重積分） 1已知平行截面面積的立體體積 設(shè)空間一個(gè)立體由一個(gè)曲面和垂直于軸兩平面和所圍成，軸每一點(diǎn)且垂直于軸的立體截面的面積為已知的連續(xù)函數(shù)，則立體體積 2繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積 （1）平面圖形由曲線與直線，和軸圍成 繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積 繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積 （2）平面圖