甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中習(xí)題理（含解析）.docx

甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題說(shuō)明：考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，下列說(shuō)法正確的是 （ ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)得D成立，舉例說(shuō)明A,B,C錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?1,-1-2,2(-1)=1(-2),所以A錯(cuò)；因?yàn)?1 ,202=102,所以B錯(cuò)；因?yàn)?2-1 ,所以C錯(cuò)；由不等式性質(zhì)得若，則，所以D對(duì)，選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查分析判斷能力.2.已知集合，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合A,B，再根據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所? ，選B.【點(diǎn)睛】求集合的交、并、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解3.在中，則（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB=，結(jié)合范圍，即可解得B的值【詳解】由正弦定理可得：sinB=，,解得：B=或故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查4.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)，且點(diǎn) 在直線上，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求和【詳解】在正數(shù)數(shù)列an中，a1=2，且點(diǎn)在直線x9y=0上，可得an2=9an12，即為an=3an1，可得數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn等于=3n1故選：B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，是一道好題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用5.我國(guó)古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部尺，重斤，尾部尺，重斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤”A. 6斤 B. 7斤 C. 斤 D. 斤【答案】D【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】原問題等價(jià)于等差數(shù)列中，已知，求的值.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，則，即中間三尺共重斤.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.等差數(shù)列中，且，為其前項(xiàng)和，則（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由題意可得：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 即可得到答案.【詳解】由題意可得：因?yàn)閍100，a110，且a11|a10|，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式7.不等式 對(duì)于一切恒成立，那么的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)不等式即為，對(duì)一切恒成立，當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出滿足的條件，結(jié)合兩種情況，即可得到答案【詳解】當(dāng)時(shí)不等式即為，對(duì)一切恒成立，當(dāng)時(shí)，則須，解得，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解，其中解答中熟練應(yīng)用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求， 根據(jù)等比數(shù)列定義判斷為等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，選C.【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時(shí)，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.9.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若，則的形狀為（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)2sin A cos Bsin C得A=B.【詳解】由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因?yàn)锳B，因此.【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.15.函數(shù)的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再見單調(diào)性確定函數(shù)最小值.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)最小值為5.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查基本求解能力.16.已知數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列， ，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)的值為_.【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)條件求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求，化簡(jiǎn)不等式解得，最后確定滿足條件的最大正整數(shù)的值.【詳解】由數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，得公比0由 得,所以因此滿足條件的最大正整數(shù)的值為6.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式以及解指數(shù)不等式，考查基本求解能力.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，且，求的最小值；（2）已知 ,，求證：.【答案】（1）9 ； （2）8 .【解析】【分析】（1）利用1的代換化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式求最值，（2）利用1的代換化簡(jiǎn) ，再根據(jù)基本不等式證不等式.【詳解】（1）由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，因此的最小值為9，（2）因?yàn)椋?，因此當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.18.如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求的長(zhǎng)及的面積.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）在中由正弦定理可求得AD的長(zhǎng)；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面積。試題解析：（1）在中，由正弦定理得，即（2），在中 ，由余弦定理得.綜上，的面積為。19.設(shè)函數(shù)（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)、的值；（2）解不等式【答案】（1）（2）時(shí)解集為，時(shí)解集為，時(shí)解集為，時(shí)解集為，時(shí)解集為【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)a、m的值；（2）不等式化為（ax-1）（x-1）0，討論a=0和a0、a0時(shí)，求出不等式f（x）0的解集即可試題解析：，不等式等價(jià)于，依題意知不等式的解集為，且1和2為方程的兩根，解得，實(shí)數(shù)、的值分別為、，不等式可化為，（）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得，故原不等式的解集為， 7分（）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，即原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，即原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，即原不等式的解集為，（）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，不等式的解集為，即原不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)不等式的的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的的解集為。考點(diǎn)：一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì)20.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.（1）求角的大小;（2）若,求的周長(zhǎng).【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理將條件化為角的關(guān)系，化簡(jiǎn)得，即得結(jié)果，（2）由正弦定理得 ，再根據(jù)余弦定理解得，最后求周長(zhǎng).【詳解】（1）由正弦定理得在中，即； （2） ，由正弦定理得 又，解得（負(fù)根舍去）， 的周長(zhǎng)【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理以及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.21.某企業(yè)今年初用72萬(wàn)元購(gòu)買一套新設(shè)備用于生產(chǎn)，該設(shè)備第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年起，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，該設(shè)備每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)生產(chǎn)x年的盈利總額為y萬(wàn)元.寫出y與x的關(guān)系式；經(jīng)過幾年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值？最大值為多少？經(jīng)過幾年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值？最大值為多少？【答案】（1）；（2）經(jīng)過10年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值，最大值為128萬(wàn)元.經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式得x年所需總費(fèi)用，再利用收入減去成本得盈利總額，即得結(jié)果，（2）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】（1）x年所需總費(fèi)用為，所以盈利總額；（2）因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)盈利總額達(dá)到最大值，為128萬(wàn)元；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.22.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列、滿足，.（1）求 及；（2）數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，證明 .【答案】（1）， （2）見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)條件求得公比，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公