2019版高考數(shù)學復習導數(shù)及其應用第二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課件文.pptx

第二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 總綱目錄 教材研讀 函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系 考點突破 考點二利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 考點一利用導數(shù)判斷 證明 函數(shù)的單調(diào)性 考點三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 1 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞增 2 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞減 3 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi)是 常數(shù)函數(shù) 教材研讀 1 已知函數(shù)f x 的導函數(shù)f x ax2 bx c的圖象如圖所示 則f x 的圖象可能是 D 答案D由題圖可知 當xx1時 由導函數(shù)f x ax2 bx c0知相應的函數(shù)f x 在該區(qū)間上單調(diào)遞增 2 函數(shù)f x x 3 ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 答案D由f x x 3 ex 得f x x 2 ex 令f x 0 得x 2 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 2 D 3 下列函數(shù)中 在 0 上為增函數(shù)的是 A f x sin2xB f x xexC f x x3 xD f x x lnx 答案B對于A 易得f x sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間為 k Z 對于B f x ex x 1 當x 0 時 f x 0 函數(shù)f x xex在 0 上為增函數(shù) B 對于C f x 3x2 1 令f x 0 得x 或x0 得0 x 1 函數(shù)f x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 綜上所述 應選B 4 2015北京四中期中 若函數(shù)f x x2 a R 則下列結(jié)論正確的是 A a R f x 在 0 上是增函數(shù)B a R f x 在 0 上是減函數(shù)C a R f x 是偶函數(shù)D a R f x 是奇函數(shù) 答案C 函數(shù)f x x2 a R f x 2x 當x 0 時 2x3 a 0不恒成立 即f x 0不恒成立 f x 在 0 上不恒為增函數(shù) A不正確 也不存在a R 使得2x3 a 0在 0 上恒成立 即f x 0不恒成立 B不正確 當a 0時 f x x2為R上的偶函數(shù) 故C正確 f x f x x 2 x2 2x2 0 不存在a R 使f x 為奇函數(shù) D不正確 故選C C 5 已知函數(shù)f x 4m 1 x2 15m2 2m 7 x 2在R上為單調(diào)遞增函數(shù) 則實數(shù)m的取值范圍是 答案 2 4 解析f x x2 2 4m 1 x 15m2 2m 7 由題意可得f x 0在x R上恒成立 2 4 所以 4 4m 1 2 4 15m2 2m 7 4 m2 6m 8 0 解得2 m 4 考點一利用導數(shù)判斷 證明 函數(shù)的單調(diào)性 考點突破 典例1 2015北京朝陽一模改編 已知函數(shù)f x ex a R 1 當a 0時 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 當a 1時 求證 f x 在 0 上為增函數(shù) 解析函數(shù)f x 的定義域為 x x 0 f x ex 1 當a 0時 f x x ex f x x 1 ex 所以f 1 e f 1 2e 所以曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程是y e 2e x 1 即2ex y e 0 2 證明 當a 1時 f x ex x 0 令g x x3 x2 x 1 則g x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 令g x 3x 1 x 1 0 得x 令g x 3x 1 x 1 0 得0 x 所以函數(shù)g x 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 所以函數(shù)g x 在x 處取得最小值 且g 0 所以g x 在 0 上恒大于零 于是 當x 0 時 f x ex 0恒成立 所以當a 1時 函數(shù)f x 在 0 上為增函數(shù) 方法技巧用導數(shù)法判斷函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的單調(diào)性的步驟 求f x 確定f x 在 a b 內(nèi)的符號 作出結(jié)論 f x 0時為增函數(shù) f x 0時為減函數(shù) 提醒 研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時 需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論 1 1已知函數(shù)f x ax3 x2 x R 在x 處取得極值 1 確定a的值 2 若函數(shù)g x f x ex 討論g x 的單調(diào)性 解析 1 對f x 求導得f x 3ax2 2x 因為f x 在x 處取得極值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 當x0 故g x 為增函數(shù) 當 10時 g x 0 故g x 為增函數(shù) 綜上知 g x 在 4 和 1 0 內(nèi)為減函數(shù) 在 4 1 和 0 內(nèi)為增函數(shù) 解析 1 因為函數(shù)f x xlnx 所以f x lnx x lnx 1 f 1 ln1 1 1 又因為f 1 0 所以曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程為y x 1 2 函數(shù)f x xlnx的定義域為 0 由 1 可知 f x lnx 1 令f x 0 解得x f x 與f x 在區(qū)間 0 上的變化情況如下 所以 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 3 當 x e時 f x ax 1 等價于 a lnx 令g x lnx x 則g x x 當x 時 g x 0 所以g x 在區(qū)間 1 e 上單調(diào)遞增 而g lne e e 1 1 5 g e lne 1 1 5 所以g x 在區(qū)間上的最大值為g e 1 所以當a e 1時 對于任意x 都有f x ax 1 方法技巧利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個方法方法一 1 確定函數(shù)y f x 的定義域 2 求導數(shù)y f x 3 解不等式f x 0 解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間 4 解不等式f x 0 解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間 方法二 1 確定函數(shù)y f x 的定義域 2 求導數(shù)y f x 令f x 0 解此方程 求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根 3 把函數(shù)f x 的間斷點 即f x 的無定義點 的橫坐標和上面的各實數(shù)根 按由小到大的順序排列起來 然后用這些點把函數(shù)f x 的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間 4 確定f x 在各個區(qū)間內(nèi)的符號 根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 2 1 2017北京東城二模 設函數(shù)f x x a ex a R 1 當a 1時 試求f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 試求f x 在 1 2 上的最大值 解析 1 對f x x a ex求導得f x x a 1 ex 當a 1時 f x x ex 令f x 0 得x 0 所以f x 的單調(diào)增區(qū)間為 0 2 f x x a 1 ex 令f x 0 得x a 1 所以當a 1 1 即a 2時 在 1 2 上 f x 0恒成立 f x 單調(diào)遞增 當a 1 2 即a 3時 在 1 2 上 f x 0恒成立 f x 單調(diào)遞減 當10 f x 單調(diào)遞增 綜上 無論a為何值 當x 1 2 時 f x 的最大值都為f 1 或f 2 f 1 1 a e f 2 2 a e2 f 1 f 2 1 a e 2 a e2 e2 e a 2e2 e 所以當a 時 f 1 f 2 0 f x max f 1 1 a e 當a 時 f 1 f 2 0 f x max f 2 2 a e2 解析 1 因為f 0 1 所以曲線y f x 經(jīng)過點 0 1 又f x x2 2x a 所以f 0 a 3 所以f x x2 2x 3 令f x 0 解得x1 3 x2 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 3 1 單調(diào)遞減區(qū)間為 3 1 2 當函數(shù)f x 在區(qū)間 2 a 上單調(diào)遞減時 f x 0對x 2 a 恒成立 即f x x2 2x a 0對x 2 a 恒成立 所以即解得 3 a 0 又 2 a 所以 2 a 0 當函數(shù)f x 在區(qū)間 2 a 上單調(diào)遞增時 f x 0對x 2 a 恒成立 只要f x x2 2x a在 2 a 上的最小值大于或等于0即可 易知函數(shù)f x x2 2x a圖象的對稱軸為x 1 2 利用導數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件 構造輔助函數(shù) 把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 再由單調(diào)性比較大小或解不等式 3 1 2018北京朝陽高三期中 已知函數(shù)f x kx k 1 lnx k R 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當k 0時 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 內(nèi)單調(diào)遞減 求k的取值范圍 解析 1 函數(shù)f x 的定義域為 x x 0 f x k 當k 0時 令f x 0 解得01 此時函數(shù)f x 為