平面向量的知識點復習.doc

課 題：平面向量的實際背景及本章知識點總結教學目的：1了解平面向量的實際背景；2掌握向量的幾何表示；3理解向量的有關概念；4逐步培養(yǎng)學生觀察、分析、綜合和類比能力和“知識重組”意識和“數(shù)形結合”能力。教學重點：向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。教學難點：向量的概念和共線向量的概念。授課類型：新授課授課方式：講授式、探究式教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：向量這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術的重要工具，向量之所以有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，通過向量可把空間圖形的性質轉化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關問題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內不都適用。因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運算法則，包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則等。之后，又將向量與坐標聯(lián)系起來，把關于向量的代數(shù)運算與數(shù)量(向量的坐標)的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關幾何問題又提供了兩種方法向量法和坐標法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實際背景及基本概念”，內容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。本節(jié)從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。教學過程：一、引入同學們都知道，數(shù)學是一門基礎學科，是解決其它一些學科問題的有力工具。其實數(shù)學的很多理論是由其它學科的一些知識抽象而來的。成為理論后又反過來對其它學科起作用。比如同學們學習的物理，它與數(shù)學就有非常密切的關系。二、新授課（一）向量的物理背景與概念（提問）請同學們回憶在物理中所學習過哪些既有大小又有方向的量？在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實數(shù)就可以表示出來，如長度、質量等。還有一些量，如我們在物理中所學習的位移、力是一個既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大。我們可以對位移、力這些既有大小又有方向的量進行抽象，形成一種新的量。這種量就是我們本章所要研究的向量。向量是數(shù)學中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進行運算，而且用向量的有關知識還能有效地解決數(shù)學、物理等學科中的很多問題，在這一章，我們將學習向量的概念、運算及其簡單應用。這一節(jié)課，我們將學習向量的有關概念。向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質量等，稱為數(shù)量。物理學中常稱為標量）注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。（二）向量的幾何表示引入：（由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示，而且不同的點表示不同的數(shù)量。）對于向量，我們常用帶箭頭的線段有向線段來表示，線段按一定比例（標度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。A起點B終點有向線段：帶有方向的線段叫有向線段。（如圖）我們在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向。以A為起點、B為終點的有向線段記作，起點寫在終點的前面。已知，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.有向線段的三要素：起點、方向、長度。（知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定。）向量的表示方法：幾何表示：用有向線段表示；字母表示：用表示向量的有向線段的起點與終點字母表示如：；用字母、等表示。問題1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量?！钡恼f法對嗎？（提問）（向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段）向量的長度（或稱模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模）：記作。零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作。注意與0的區(qū)別（及書寫方法）。長度等于1個單位的向量，叫單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。（三）平行向量、共線向量與相等向量平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行。說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量平行，記作。共線向量定義：平行向量也叫做共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定。問題2：兩個向量是否可以比較大??？（向量不能比較大小，我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關系，沒有大小之分，“對于向量、，或”這種說法是錯誤的。）例2 判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；若，則四邊形ABCD是平行四邊形；若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上。不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定。ABC不正確.正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關系必須把握好。本章知識點總結1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底7平面向量的坐標表示7.1在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)(坐標)來表示 取x軸、y軸上兩個單位向量, 作基底，則平面內作一向量=x+y，OBCAxybc 記作：=(x, y) 稱作向量的坐標.如：=(1, 0) ,=(0, 1) =(2, 2) =(2, -1) =(1, -5) 7.2注意：1每一平面向量的坐標表示是唯一的； 2設A(x1, y1) B(x2, y2) 則=(x2-x1, y2-y1) 3兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標相等。：1）已知=(x1, y1) =(x2, y2) 求+，-的坐標 2）已知=(x, y)和實數(shù), 求的坐標：已知三個力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力+= 求的坐標。7.3 ()的充要條件是x1y2-x2y1=0：若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量與平行嗎？直線AB與 平行于直線CD嗎？：已知點A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求證：ABCD：證明下列各組點共線：1 A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)：四點A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求證：四邊形ABCD是梯形8 線段的定比分點8.1線段的定比分點及 P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)，P1P1P1P2P2P2PPP使 = ，叫做點P分所成的比，有三種情況： 0(內分) (外分) 0（-1） ( 外分)0（-10）8.2定比分點公式的獲得：OP1PP2 設= 點P1, P, P2坐標為(x1,y1) (x,y) (x2,y2) 由向量的坐標運算 =(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y) = (x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) （定比分點坐標公式）8.3中點公式：若P是中點時，=1時， 若P分有向線段的比為，則A分所成比為 過點P1(2, 3), P2(6, -1)的直線上有一點，使| P1P|:| PP2|=3, 求P點坐標 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P點的坐標9數(shù)量積（內積）1.定義：平面向量數(shù)量積（內積）的定義，ab = |a|b|cosq，q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。2.向量夾角的概念：范圍0q180C3.注意的幾個問題；兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 1兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 2兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成ab；今后要學到兩個向量的外積ab，而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。3在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0。OaAcbab4已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c。但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c5在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。10投影的概念及兩個向量的數(shù)量積的性質：10.1“投影”的概念：作圖AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1投影也是一個數(shù)量，不是向量。 2當q為銳角時投影為正值； 當q為鈍角時投影為負值； 當q為直角時投影為0； 當q = 0時投影為 |b|； 當q = 180時投影為 -|b|。10.2向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。10.3兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。 1ea = ae =|a|cosq 2ab ab = 0 3當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b|。特別的aa = |a|2或 4cosq = 5|ab| |a|b|練：判斷下列各題正確與否： 1若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0。 ( ) 2若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0。 ( ) 3若a 0，ab = 0，則b = 0。 ( ) 4若ab = 0，則a 、b至少有一個為零。 ( ) 5若a 0，ab = ac，則b = c。 ( ) 6若ab = ac，則b = c當且僅當a 0時成立。 ( ) 7對任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( ) 8對任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )11平面向量的運算律1.交換律：a b = b aqq1q2abABOA1B1Cc2.(a)b =(ab) = a(b)3.(a + b)c = ac + bc 12平面兩向量數(shù)量積的坐標表示12.1設a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j， 則：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 012.2推導坐標公式： a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2從而獲得公式：ab = x1x2 + y1y2例1.設a