離散元基本理論.doc

顆粒離散元基本理論1 運(yùn)動方程1.1 平動方程 （1）式中，與分別為顆粒的質(zhì)量和速度，為時間，為顆粒的重力，與分別為顆粒與的接觸力與粘性接觸阻尼力，為所有與顆粒接觸的顆?？倲?shù)。顆粒與間的接觸力法向與切向接觸力組成，即 （2）同理，粘性接觸阻尼力也可表示為法向與切向分量形式，即 （3）1.2 轉(zhuǎn)動方程顆粒間的接觸力作用在顆粒與的接觸點(diǎn)上，而不是作用在顆粒的中心，所以這些接觸力（除法向接觸力外）將會對顆粒產(chǎn)生力矩 （4）式中，為從顆粒質(zhì)心指向接觸點(diǎn)的矢量，其幅值為（顆粒的半徑）。轉(zhuǎn)動方程可寫為 （5）式中，與分別為顆粒的轉(zhuǎn)動慣量與角速度，其中。2 接觸力計(jì)算模型關(guān)于接觸力的計(jì)算模型已有大量的研究成果，目前仍舊是一個活躍的研究領(lǐng)域，特別是對于切向力的計(jì)算方法1,2。Thornton3-7等采用前人對球體接觸力學(xué)中的法-切向作用理論，包括考慮表面粘連（adhesion）和接觸區(qū)有局部塑性變形的情形。對無粘連球顆粒，采用Hertz理論描述法向作用，而采用Mindlin與Deresiewicz理論8描述切向作用。對粘連球顆粒，法向接觸力根據(jù)在Hertz理論基礎(chǔ)上考慮粘連力的JKR（Johnson-Kendall-Roberts）理論9確定，切向接觸力增量則根據(jù)把Savkoor和Briggs理論與Mindlin和Deresiewicz理論10相結(jié)合形成的Thornton理論確定。 下面的介紹中，只針對處于接觸中的兩個無粘性球顆粒的法向與切向接觸力計(jì)算模型進(jìn)行分析，即只分析的情況，為顆粒在法向方向的變形。單位法向向量，單位切向向量，或?qū)憺?。那么顆粒與間的累積切向位移矢量為：，式中，表示時步，為時間步長。2.1 法向接觸力計(jì)算模型2.1.1 Hertz模型 （6）式中，為顆粒在法向方向的變形，為單位法向向量，。2.1.2 Cundall接觸模型（線性彈簧模型） （11）式中，法向彈簧剛度， 2.1.3 法向粘性接觸阻尼力 （7）式中，為法向粘性接觸阻尼系數(shù)，為顆粒與在接觸點(diǎn)處的相對速度，可表示為 （8）2.2 切向接觸力計(jì)算模型按照摩擦機(jī)理，摩擦力包括：滑動摩擦、滾動摩擦與靜摩擦，其中滑動摩擦與靜摩擦屬于切向摩擦力；滾動摩擦是由于法向接觸應(yīng)力的不均勻分布產(chǎn)生的。在離散元模擬中，一般用Coulomb準(zhǔn)則這種簡單的形式描述，靜摩擦的詳細(xì)刻畫需要涉及切向位移甚至可能要考慮時間依賴效應(yīng)。當(dāng)處于接觸中的兩個顆粒間存在相互作用力，但兩個顆粒沒有發(fā)生相對運(yùn)動時，兩個顆粒處于靜摩擦狀態(tài)；如果切向作用力大于靜摩擦力的極限值，那么在接觸點(diǎn)處發(fā)生相對運(yùn)動，則轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑒踊驖L動摩擦；在滑動或滾動摩擦中，接觸點(diǎn)沿著顆粒表面移動，但是，在滑動摩擦中接觸點(diǎn)處的相對速度為非0值。對于一個固定平面上的顆粒，當(dāng)接觸點(diǎn)處的相對速度為0而顆粒的角速度不為0時則發(fā)生滾動摩擦；當(dāng)相對速度不為0時，則發(fā)生滑動摩擦；滑動摩擦力總是小于最大靜摩擦力，并且其方向總是與接觸點(diǎn)處的相對速度方向相反；當(dāng)接觸點(diǎn)處的相對速度為0時，滑動摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動摩擦。當(dāng)一個顆粒在另一個顆粒表面滾動時，接觸點(diǎn)處沒有相對切向速度；滾動摩擦力遠(yuǎn)小于滑動摩擦力；滾動摩擦減小了顆粒的旋轉(zhuǎn)與平動速度（二者在滾動摩擦階段是成比例的）；如果顆粒所受外力足夠小，滾動摩擦使得顆粒的速度逐步減小直至停止運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)殪o摩擦狀態(tài)?；瑒幽Σ赁D(zhuǎn)換為滾動摩擦的判別：當(dāng)接觸點(diǎn)處的相對速度由正變?yōu)樨?fù)或由負(fù)變?yōu)檎龝r，表明滑動摩擦結(jié)束，滾動摩擦開始；滾動摩擦停止進(jìn)入靜摩擦的判別：當(dāng)接觸中的兩個顆粒以一個整體旋轉(zhuǎn)時，滾動摩擦終止，轉(zhuǎn)為靜摩擦狀態(tài)，此時，顆粒間的切向相對速度為0，并且兩個顆粒的角速度相等，只要這個關(guān)系得以保持，則總是處于靜摩擦狀態(tài)。關(guān)于切向接觸力的計(jì)算模型有很多，這里介紹幾個廣為接受的切向力計(jì)算模型。*滾動摩擦在顆粒元切向作用中具有重要作用，在以往的模擬代碼中，往往忽略滾動摩擦。作用：減小顆粒間的相對速度，減小顆粒的力矩，力矩也會對平動做出貢獻(xiàn)。2.2.1 Coulomb準(zhǔn)則描述切向作用最簡單的模型就是Coulomb準(zhǔn)則，即假設(shè)切向摩擦力的幅度與此時的法向作用力幅度成正比，即 （9）式中，為靜摩擦系數(shù)，為滑動摩擦系數(shù)，切向摩擦力的方向?yàn)榕c相對滑動的趨勢相反。2.2.2 Mindlin與Deresiewicz切向接觸力模型8 （9）式中，為顆粒與間的累積切向位移矢量，。2.2.3 切向粘性接觸阻尼力 （10）式中，為切向粘性接觸阻尼系數(shù)。2.2.4 切向接觸力計(jì)算時的振蕩排除Coulomb摩擦力的方向必須與相對切向速度的方向相反。然而，運(yùn)用上述方法計(jì)算切向力時，可能會產(chǎn)生不符合物理現(xiàn)象的振蕩。當(dāng)兩個處于接觸中的顆粒發(fā)生相對滑動并逐步向Coulomb準(zhǔn)則過渡時，如果在達(dá)到Coulomb準(zhǔn)則前的一個時間步長上切向力的方向與切向相對速度的方向相同，或者相對切向速度與相對切向位移方向相反，那么，在達(dá)到Coulomb準(zhǔn)則后，切向力將改變方向。切向力方向的變化將導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定。為了排除這種振蕩，只有在切向相對速度與相對位移方向相同時才認(rèn)為達(dá)到了Coulomb準(zhǔn)則11。參考文獻(xiàn)1 K.L. Johnson. Contact mechanics. Cambridge University press, Cambridge, 1985.2 Walton. Numerical simulation of inelastic, frictional particle-partilce interactions. In: M.C. Roco(Ed.), Particulate Two-phase Flow (Chapter 5), Butterworth-Heinemann, Boston, 19933 C. Thornton. Interparticle sliding in the presence of adhesion. Journal of Physics D: Applied Physics, 1991, 24: 1942-19464 C. Thornton. On the relationship between the modulus of particulate media and surface energy of the constituent particles. Journal of Physics D: Applied Physics, 1993, 26: 1587-15915 C. Thornton, K. K. Yin. Impact of elastic spheres with and without adhesion. Powder Technology. 65(1991)153-1666 C. Thornton, Z. Ning. A theoretical model for the stick/bounce behavior of adhesive, elastic-plastic spheres. Powder Technology, 1998, 99: 154-1627 C. Thornton. Coefficient of restitution for collinear collisions of elastic-perfectly plastic spheres. Journal of Applied Mechanics, 1998, 64: 383-3868 R.D. Mindlin, H. Deresiewicz. Elastic spheres in contact under varying oblique forces. Journal of Applied Mechanics, 1953, 20(3): 327-3449 K. L. Johnson, K. Kendall, A. D. Roberts. Surface energy and the contact of elastic solids. Proc R Soc Lond A,1971, 324: 301-31310 A. R. Savkoor, G. A. D. Briggs. The effect of tangential force on the contact of elastic solids in adhesion. P