2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課講義新人教B版.docx

第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，先求導(dǎo)，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程【例1】(1)曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2 D1(2)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()思路探究(1)曲線在點(1,1)處的切線斜率即為該點處的導(dǎo)數(shù)(2)由導(dǎo)數(shù)值的大小變化，確定原函數(shù)的變化情況，從而得出結(jié)論解析(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(1,1)處的切線斜率為k2.(2)從導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，x0時最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x0時變化率最大A項，在x0時變化率最小，故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤；B項正確答案(1)C(2)B1已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；(3)求斜率為4的曲線的切線方程解(1)P(2,4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率k4.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點為(x0，y0)，則切線的斜率kx4，x02.切點為(2,4)或.斜率為4的曲線的切線方程為y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想這部分內(nèi)容要注意的是f(x)為增函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個，f(x)為減函數(shù)f(x)0且f(x)0的根有有限個【例2】設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間思路探究(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求導(dǎo)運算建立方程組求未知數(shù)(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性解(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設(shè)，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1所以，當(dāng)x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)綜上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)2(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0時，(x2)exx20；(2)證明：當(dāng)a0,1)時，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設(shè)g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域解(1)f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞增因此當(dāng)x(0，)時，f(x)f(0)1所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調(diào)遞增對任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當(dāng)0xxa時，f(x)a0，g(x)xa時，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a).由0，得y單調(diào)遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因為y單調(diào)遞增，對任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上，當(dāng)a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值由函數(shù)的解析式能求出函數(shù)的極值和最值，反過來由函數(shù)的極值或最值也能求出參數(shù)的值或取值范圍另外，這部分內(nèi)容可能會和恒成立問題、有解等問題聯(lián)系到一起考查【例3】已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0)，且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍思路探究(1)由求出a，b即可(2)對t分0t2與2t3兩種情況求最值(3)構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)c轉(zhuǎn)化為g(x)在1,3上有實根求解解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當(dāng)0t2時，在區(qū)間(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(0)2，f(x)的最小值為f(t)t33t22.當(dāng)2t3時，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2單調(diào)遞減極小值2單調(diào)遞增t33t22f(x)的最小值為f(2)2，f(x)的最大值為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值為f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則解得20，g0；當(dāng)x，時，g(x)0.所以g(x)在(1，)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，故g(x)在1，存在唯一極大值點，即f(x)在1，存在唯一極大值點(2)f(x)的定義域為(1，)()當(dāng)x(1,0時，由(1)知，f(x)在(1,0)單調(diào)遞增，而f(0)0，所以當(dāng)x(1,0)時，f(x)0，故f(x)在(1,0)單調(diào)遞減又f(0)0，從而x0是f(x)在(1,0的唯一零點()當(dāng)x0，時，由(1)知，f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，而f(0)0，f0；當(dāng)x，時，f(x)0，所以當(dāng)x0，時，f(x)0.從而，f(x)在0，沒有零點()當(dāng)x，時，f(x)0，f()1，所以f(x)0，從而f(x)在(，)沒有零點綜上，f(x)有且僅有2個零點函數(shù)與方程的思想函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的一種常用方法，證明時靈活構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)符號都比較容易的函數(shù)，如果證明f(x)g(x)，x(a，b)，可轉(zhuǎn)化為證明F(x)f(x)g(x)與0的關(guān)系，若F(x)0，則函數(shù)F(x)在(a，b)上是增函數(shù)若F(a)0，則由增函數(shù)的定義，知當(dāng)x(a，b)時，有F(x)F(a)0，即f(x)g(x)成立，同理可證明f(x)g(x)，x(a，b)【例4】設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值(1)求a，b的值；(2)若對任意的x0,3，都有f(x)0；當(dāng)x1,2時，f(x)0.所以當(dāng)x1時，f(x)取得極大值f(1)58c，當(dāng)x2時，f(x)取得極小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以當(dāng)x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c.因為對于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范圍為c9.4已知函數(shù)f(x)，且f(x)的圖象在x1處與直線y2相切(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點，直線l與f(x)的圖象相切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍解(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x).因為f(x)的圖象在x1處與直線y2相切所以即所以a4，b1，所以f(x).(2)因為f(x)，所以直線l的斜率kf(x0)4，令t，t(0,1，則k4(2t2t)8，所以k.定積分及其應(yīng)用定積分是對“分割、近似代替、求和、取極限”的概括，包含“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，利用定積分的幾何意義、物理意義及微積分基本定理可以解決不規(guī)則平面圖形的面積及變力作功問題【例5】設(shè)兩拋物線yx22x，yx2所圍成的圖形為M，求M的面積思路探究求出兩拋物線的交點，畫出圖象、利用定積分求解解函數(shù)yx22x，yx2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示由圖可知，圖形M的面積S(x22xx2)dx(2x22x)dx.5一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2解析由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，在此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.答案C1設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為()Ay2xByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數(shù)， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f(x)3x21， f(0)1， 曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.答案D2函數(shù)yx4x22的圖象大致為()解析f(x)4x32x，則f(x)0的解集為，0，f(x)單調(diào)遞增；f(x)0恒成立，得x2或x1時，f(x)0，且x0；2x1時，f(x)1時，f(x)0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1故選A.答案A4已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10， 當(dāng)cos x時，f(x)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增 當(dāng)cos x時，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 當(dāng)sin x時，f(x)有最小值，即f(x)min2.答案5.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_解析如圖，連接OD，交BC于點G，由題意，知ODBC，OGBC.設(shè)OGx，則BC2x，DG5x，三棱錐的高h(yuǎn)，SABC2x3x3x2，則三棱錐的體積VSABChx2.令f(x)25x410x5，x，則f(x)100