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文檔簡介
個性化教案教師姓名學(xué)生姓名填寫時間學(xué)科數(shù)學(xué)年級上課時間 課題名稱正余弦定理解三角形課時計劃 教學(xué)目標1正、余弦定理解三角形2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用(靈活運用)教學(xué)重點難 點1掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積【知識梳理】1正弦定理:2R,其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為:(1)abcsin Asin Bsin C;(2)a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(3)sin A,sin B,sin C等形式,以解決不同的三角形問題2余弦定理:a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為:cos A,cos B,cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑,r是三角形內(nèi)切圓的半徑),并可由此計算R,r.4.三角形內(nèi)角和為,故有sin A 0 sin Asin(B+ C),cos Acos(B+ C)5.三角形大邊對大角,或者說大角對大邊。即:若ab, A B,sin A sin B 知一推二6.正弦值(不是1)的情況下,對應(yīng)角度有兩個,而余弦值與角度一一對應(yīng)?!境?伎键c】1考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用(靈活運用)【解題關(guān)鍵】1三角函數(shù)及三角恒等變換的基礎(chǔ)2正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。(通過正、余定理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換,解題過程中做到正余弦定理的正確選擇)3.能利用三角形的判定方法準確判斷解三角形的情況。4.三角形的邊角關(guān)系(大邊對大角)、三角形內(nèi)角和180度。5已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,注意解的情況如已知a,b,A,則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解【一條規(guī)律】在三角形中,大角對大邊,大邊對大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即在ABC中,ABabsin Asin B.【兩類問題】在解三角形時,正弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩角及任一邊,求其它邊或角;(2)已知兩邊及一邊的對角,求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解,應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角;(2)已知三邊,求各角【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀,主要有兩種途徑:(1)化邊為角;(2)化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)在ABC中,A60,B75,a10,則c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180,知C45,由正弦定理得:,即.c.答案C2在ABC中,若,則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知:,sin Bcos B,B45.答案B3(2011鄭州聯(lián)考)在ABC中,a,b1,c2,則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得:cos A,0A,A60.答案C4在ABC中,a3,b2,cos C,則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C,0C,sin C,SABCabsin C324.答案C5已知ABC三邊滿足a2b2c2ab,則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab,cos C,故C150為三角形的最大內(nèi)角答案150考點一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中,a,b,B45.求角A,C和邊c.審題視點 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊,可利用正弦定理解這個三角形,但要注意解的判斷解由正弦定理得,sin A.ab,A60或A120.當(dāng)A60時,C180456075,c;當(dāng)A120時,C1804512015,c. (1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對角,解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點,應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 (2011北京)在ABC中,若b5,B,tan A2,則sin A_;a_.解析因為ABC中,tan A2,所以A是銳角,且2,sin2Acos2A1,聯(lián)立解得sin A,再由正弦定理得,代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考點二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且.(1)求角B的大小;(2)若b,ac4,求ABC的面積審題視點 由,利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知:cos B,cos C.將上式代入得:,整理得:a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角,B.(2)將b,ac4,B代入b2a2c22accos B,得b2(ac)22ac2accos B,13162ac,ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運用余弦定理及其推論,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用【訓(xùn)練2】已知A,B,C為ABC的三個內(nèi)角,其所對的邊分別為a,b,c,且2cos2 cos A0.(1)求角A的值;(2)若a2,bc4,求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0,得1cos Acos A0,即cos A,0A,A.(2)由余弦定理得,a2b2c22bccos A,A,則a2(bc)2bc,又a2,bc4,有1242bc,則bc4,故SABCbcsin A.考點三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C,試判斷ABC的形狀審題視點 首先邊化角或角化邊,再整理化簡即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C,得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB),即b2sin Acos Ba2cos Asin B,即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B,所以sin 2Bsin 2A,由于A,B是三角形的內(nèi)角故02A2,02B2.故只可能2A2B或2A2B,即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是;利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式,然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式;或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式,然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中,若;則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C,ABC.答案B考點四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c2,C.(1)若ABC的面積等于,求a,b;(2)若sin Csin(BA)2sin 2A,求ABC的面積審題視點 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a,b的方程,通過方程組求解;第(2)問根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進行三角恒等變換,將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系,求出邊a,b的值即可解決問題解(1)由余弦定理及已知條件,得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于,所以absin C,得ab4,聯(lián)立方程組解得(2)由題意,得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A,即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0,即A時,B,a,b;當(dāng)cos A0時,得sin B2sin A,由正弦定理,得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立,通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中,通過解方程組獲得更多的元素,再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練3】 (2011北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且cos B,b2.(1)當(dāng)A30時,求a的值;(2)當(dāng)ABC的面積為3時,求ac的值解(1)因為cos B,所以sin B.由正弦定理,可得,所以a.(2)因為ABC的面積Sacsin B,sin B,所以ac3,ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B,得4a2c2aca2c216,即a2c220.所以(ac)22ac20,(ac)240.所以ac2.閱卷報告4忽視三角形中的邊角條件致錯【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大,但稍不注意,會出現(xiàn)“會而不對,對而不全”的情況,其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時,估算是一個重要步驟,估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【示例】(2011安徽)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊長,a,b,12cos(BC)0,求邊BC上的高錯因忽視三角形中“大邊對大角”的定理,產(chǎn)生了增根實錄由12cos(BC)0,知cos A,A,根據(jù)正弦定理得:sin B,B或.以下解答過程略正解在ABC中,cos(BC)cos A,12cos(BC)12cos A0,A.在ABC中,根據(jù)正弦定理,sin B.ab,B,C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC邊上的高為bsin C.【試一試】ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求;(2)若c2b2a2,求B.嘗試解答(1)由正弦定理得,sin2Asin Bsin Bcos2Asin A,即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A,所以.(2)由余弦定理和c2b2a2,得cos B.由(1)知b22a2,故c2(2)a2.可得cos2B,又cos B0,故cos B,所以B45.【鞏固練習(xí)】1 在銳角中,角所對的邊長分別為.若()A. B. C. D.2 設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不確定3 在,內(nèi)角所對的邊長分別為()ABCD 4 的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則的面積為( )(A) (B) (C) (D)5.的內(nèi)角的對邊分別是,若,則()AB2CD16設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,若,則角=()ABCD7已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,則()ABCD8.在ABC中,則()ABCD19.已知的內(nèi)角、所對的邊分別是,.若,則角的大小是_10設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,.(I)求(II)若,求11.在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 12在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b .
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