2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)講義新人教A版選修2_2.docx

第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 知識(shí)系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏1.導(dǎo)數(shù)的概念，要注意結(jié)合實(shí)例理解概念的實(shí)質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，要注意當(dāng)切線平行于y軸時(shí)，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，此時(shí)的切線方程為xx0.2.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵，有時(shí)先化簡再求導(dǎo)，會(huì)給解題帶來方便因此觀察式子的特點(diǎn)，對式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵.3.對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵在于選取合適的中間變量，弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)，不要混淆，最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(高考要求f(axb)的形式的)，在學(xué)習(xí)的過程中不要無限制地拔高.4.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).(3)命題“如果f(x)0，則函數(shù)為增函數(shù)”的逆命題不成立，當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)為增函數(shù)時(shí)，f(x)0，如f(x)x3.由于f(x)0時(shí)，f(x)可能恒為0，f(x)也就恒為常數(shù)，所以由f(x)0不能得到f(x)是單調(diào)增函數(shù)因此，課本上關(guān)于單調(diào)性的結(jié)論在解題時(shí)要注意，它并非充要條件.5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值的充分必要條件是f(x)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)，f(x)的符號(hào)不同，f(x0)0是x0為極值點(diǎn)的必要非充分條件.(2)極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)f(x)|x|在極小值點(diǎn)x00處不可導(dǎo).(3)求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把使f(x0)0的點(diǎn)x0附近的函數(shù)值的變化情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.6.極值與最值的區(qū)別(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個(gè)局部概念，而函數(shù)的最值是對整個(gè)定義區(qū)間而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個(gè)整體性概念.(2)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)，也可能沒有極值.7.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題的最值的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型，因此要認(rèn)真審題，分析各個(gè)量的關(guān)系，列出函數(shù)式y(tǒng)f(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的最值，求函數(shù)f(x)的最值時(shí)，若f(x)在區(qū)間(a，b)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.8.求定積分求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，求定積分的關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)為避免出錯(cuò)，在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.9.定積分的應(yīng)用中的兩個(gè)主要問題一是能利用定積分求曲邊梯形的面積；二是能利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力做功問題其中，應(yīng)特別注意求定積分的運(yùn)算與利用定積分計(jì)算曲邊梯形面積的區(qū)別. 學(xué)科思想培優(yōu)一、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1設(shè)曲線C：yx33x和直線xa(a0)的交點(diǎn)為P，過P點(diǎn)的曲線C的切線與x軸交于點(diǎn)Q(a,0)，求a的值.解依題意解得P(a，a33a).y3x23，所以過P點(diǎn)斜率為3a23的曲線C的切線方程為y(a33a)(3a23)(xa).令y0得切線與x軸的交點(diǎn)為，則有a，解得a.由已知a0，所以a的值為.拓展提升要求a的值，需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出過P點(diǎn)的曲線C的切線方程，求出該切線與x軸的交點(diǎn)，通過列方程求解本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意條件a0.二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2設(shè)aR，討論定義在(，0)的函數(shù)f(x)ax3x2(a1)x的單調(diào)性.解f(x)ax2(2a1)xa1(x1)(axa1)，x0.(1)若a0，則f(x)x1，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.(2)若a0時(shí)，則f(x)a(x1).若a0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.若1a0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.若a1，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.拓展提升導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考中最常見的考查方式，對函數(shù)性質(zhì)的研究涉及到方方面面，涉及方法思想較多，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、逆向思維等等.三、求函數(shù)的極值與最值例3設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).解(1)f(x)3x22x1，若f(x)0，則x或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)的極大值是fa，極小值是f(1)a1.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1.由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)趨于，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)趨于，所以曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，從(1)中可知f(x)的單調(diào)性，可畫出草圖.當(dāng)f(x)的極大值a0，即a(1，)時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上.故當(dāng)a(1，)時(shí)，曲線yf(x)與 x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).拓展提升一般地，對于“雙峰”函數(shù)(只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值的函數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值小于零或函數(shù)f(x)的極小值大于零時(shí)，圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).四、恒成立問題例4已知f(x)x3x22x5，當(dāng)x1，2時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù).所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得極大值f5；當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極小值f(1).又f(1)，f(2)7.因此，f(x)在1,2上的最大值為f(2)7.要使f(x)m恒成立，須f(x)max7.所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(7，).拓展提升本題中要使mf(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可，從而求出f(x)的最大值，問題就可得到解決，若將本題中“f(x)m恒成立”，則只需求出f(x)的最小值即可.五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例5已知a，b為實(shí)數(shù)，且bae，求證：abba.證明因?yàn)閎ae，所以要證abba，只需證bln aaln b.設(shè)f(x)xln aaln x(xa)，則f(x)ln a.因?yàn)閤ae，所以ln a1，且0，且f(a)0.所以函數(shù)f(x)xln aaln x在a，)上是單調(diào)遞增函數(shù).所以f(b)f(a)aln aaln a0，即bln aaln b0，所以bln aaln b，故abba.拓展提升“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合.六、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題例6煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染已知A，B兩座煙囪相距20 km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k)若C是AB連線上的點(diǎn)，設(shè)ACx km，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由.解(1)不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由ACx(0x20)，可得BC20x.依題意，點(diǎn)C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為：y(0x20).(2)對(1)中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)得y.令y0，得(3x20)(3x2400)0；又0x20，x.當(dāng)x時(shí)，y0，當(dāng)x時(shí)，y取最小值.故存在點(diǎn)C，當(dāng)AC km時(shí)，該點(diǎn)的煙塵濃度最低.拓展提升在利用導(dǎo)數(shù)解決這類優(yōu)化問題時(shí)，其一般步驟是：(1)設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗?，并確定未知量的取值范圍(即函數(shù)定義域)；(2)依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)；(3)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；(4)通過單調(diào)性確定出函數(shù)的最值點(diǎn)以及最值.七、定積分的應(yīng)用例7已知A(1,2)為拋物線C：y2x2上的點(diǎn)，直線l1過點(diǎn)A，且與拋物線C相切于A點(diǎn)，直線l2：xa(a1)交拋物線C于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D.(1)求直線l1的方程；(2)若BAD的面積為S1，求|BD|及S1的值；(3)設(shè)由拋物線C，與直線l1，l2所圍成圖形的面積為S2，求證S1S2的值為與a無關(guān)的常數(shù).解如下圖所示.(1)由y2x2，得y4x.當(dāng)x1時(shí)，y4，直線l1的方程為y24(x1)，即4xy20.(2)由得B點(diǎn)坐標(biāo)為(