第五次課(線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性).ppt

1 第二章線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程求解 課前回顧 一 線性定常系統(tǒng)的運動 自由運動 齊次狀態(tài)方程的解 線性定常齊次狀態(tài)方程的求解方法 2 課前回顧 二 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算方法 直接求解法 根據(jù)定義拉氏變換求解 標(biāo)準(zhǔn)型法求解 對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 非奇異變換待定系數(shù)法 凱萊 哈密頓 簡稱C H 定理 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 3 三 非齊次狀態(tài)方程的求解 強迫運動 非齊次狀態(tài)方程的解 課前回顧 4 四 線性定常離散系統(tǒng)的運動分析 1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 2 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 遞推法 Z變換法 課前回顧 5 3 1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性3 2線性離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3 4能控性 能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系3 5實現(xiàn)問題3 6線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3 7MATLAB在系統(tǒng)能控性和能觀性分析中的應(yīng)用 第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性 6 能控性和能觀測性基本概念 狀態(tài)空間描述的兩段性 20世紀(jì)60年代初 由卡爾曼提出 與狀態(tài)空間描述相對應(yīng) 狀態(tài)方程 描述了輸入引起的狀態(tài)變化輸入能夠控制狀態(tài) 輸出方程 描述了狀態(tài)變化引起的輸出改變狀態(tài)能否由輸出反映 背景 7 顯然 只能控制而不能影響 我們稱狀態(tài)變量是可控的 而是不可控的 只要系統(tǒng)中有一個狀態(tài)變量是不可控的 則該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的 能控性 指外輸入u t 對系統(tǒng)狀態(tài)變量x t 和輸出變量y t 的支配能力 它回答了u t 能否使x t 和y t 作任意轉(zhuǎn)移的問題 8 指由系統(tǒng)的輸出y t 識別狀態(tài)變量x t 的能力 它回答了狀態(tài)變量能否由輸出反映出來 能觀測性 顯然輸出中只有 而無 所以從中不能確定 只能確定 我們稱是可觀測的 是不可觀測的 9 一 狀態(tài)能控性定義 如果存在一個分段連續(xù)的輸入u t 能在的有限時間內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一終端狀態(tài) 則稱此狀態(tài)是能控的 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的 3 1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性與能觀性 3 1 1線性系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù) 如果存在一個分段連續(xù)的輸入u t 能在的有限時間內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài) 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的 對線性定常連續(xù)系統(tǒng) 為簡便計 可以設(shè)初始狀態(tài)為狀態(tài)空間任意非零有限點 終端狀態(tài)為狀態(tài)空間原點 即零態(tài) 10 二 狀態(tài)能控性判別準(zhǔn)則 1 判據(jù)一 能控性判別矩陣 證明 11 已知 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解為 12 4 將 3 式代入 2 式得 5 令 6 將 5 式代入 4 式得 13 由以上可以看出式 6 中各參數(shù)維數(shù)如下 說明 維數(shù)較大時 注意使用矩陣秩的性質(zhì) 式 6 是關(guān)于U的非齊次方程組 由線性代數(shù)知識知道 其有解的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等 即 14 例3 1 判別如下系統(tǒng)的能控性 解 1 構(gòu)造能控性判別矩陣 故系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控 2 求能控性判別矩陣的秩 15 2 判據(jù)二 標(biāo)準(zhǔn)型法 原因 線性變換不改變系統(tǒng)的能控性 16 說明 定理2說明 設(shè)2階系統(tǒng)的對角線標(biāo)準(zhǔn)型為 則根據(jù)定理1有 要使系統(tǒng)能控 則必有 說明對角線標(biāo)準(zhǔn)型形式下 各變量間沒有耦合關(guān)系 從而影響每一個狀態(tài)的唯一途徑是通過輸入 17 1 例 考察如下系統(tǒng)的能控性 狀態(tài)完全能控 18 中 陣中與每個約當(dāng)小塊最后一行所對應(yīng)的元素不全為零 定理3 設(shè)線性系統(tǒng)具有重特征值 且每個重特征值只對應(yīng)一個獨立的特征向量 則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 19 說明 定理3說明 設(shè)2階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為 則根據(jù)定理1有 要使系統(tǒng)能控 則必有 20 例3 3考察如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性 1 2 完全能控 不能控 21 定理3 4線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是n維矩陣對A的所有特征值之秩都為n 即 3 判據(jù)三 PBH法 例3 4系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試判別系統(tǒng)的能控性 22 解求系統(tǒng)特征值 由 可解出 按照定理3 4 有 故系統(tǒng)能控 23 三 輸出能控性 前提 在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中 需要控制的是輸出 而不是系統(tǒng)的狀態(tài) 因此 就需要研究輸出的能控性 定義 考慮下列狀態(tài)空間表達式所描述的線性定常系統(tǒng) 如果能找到一個無約束的控制向量u t 在有限的時間間隔to t tf內(nèi) 把任一初始輸出y to 轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y tf 那么稱系統(tǒng)為輸出能控的 24 輸出能控性判據(jù) 系統(tǒng)輸出能控的充要條件是輸出能控性判別矩陣 說明 狀態(tài)能控性和輸出能控性是兩個完全不同的概念 沒有必然的聯(lián)系 某系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控 輸出有可能完全能控 的秩為m 其中m為輸出維數(shù) 25 例 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性 26 一 能觀測性定義 能觀測性是研究輸出反映狀態(tài)向量的能力 即通過輸出量在有限時間內(nèi)的量測 能否把系統(tǒng)的狀態(tài)識別出來 由于輸入引起的輸出可計算 所以分析觀測性時 常令u恒等于0 說明 如果對任意給定的輸入u t 存在一有限觀測時間 使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài) 則稱狀態(tài)是能觀測的 如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的 3 1 2線性系統(tǒng)的能觀性定義及判據(jù) 27 二 能觀測性判別準(zhǔn)則 1 判據(jù)一 能觀測性判別矩陣 證明 略 證明思路同能控性 用C H定理 28 例 判別如下系統(tǒng)的能觀測性 故此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的 解 構(gòu)造能觀測性判別矩陣 并判斷其秩 29 2 判據(jù)二 標(biāo)準(zhǔn)型法 前提條件 線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀測性 定理 設(shè)線性系統(tǒng)具有兩兩相異的特征值則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線標(biāo)準(zhǔn)型 中 不包含元素全為0的列 30 說明 定理2說明 設(shè)2階系統(tǒng)的對角線標(biāo)準(zhǔn)型為 則根據(jù)定理1有 要使系統(tǒng)能觀測 則必有 說明對角線標(biāo)準(zhǔn)型形式下 各變量間沒有耦合關(guān)系 從而反映每一個狀態(tài)的唯一途徑是通過輸出 31 例 考察如下系統(tǒng)的能觀測性 32 中 陣中與每個約當(dāng)小塊首列所對應(yīng)的列 其元素不全為零 定理 設(shè)線性系統(tǒng)具有重特征值 且每個重特征值只對應(yīng)一個獨立的特征向量 則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 33 說明 定理3說明 設(shè)2階系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為 則根據(jù)定理1有 要使系統(tǒng)能觀測 則必有 34 35 例3 9判斷下列系統(tǒng)的能觀性 解 已知特征值為 2 5 由于 的判別陣秩不為2 對故系統(tǒng)不能觀測 36 例 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述如下 試判斷其能控性與能觀測性 解 系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的矩陣形式為 37 故系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測 故系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控 38 3 1 3對偶性原理 線性定常系統(tǒng)1 2如下 如果滿足如下關(guān)系 則稱兩系統(tǒng)是互為對偶的 一 線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系 39 二 對偶系統(tǒng)的兩個基本特征 1 互為對偶的系統(tǒng) 其傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的 2 互為對偶的系統(tǒng) 其特征方程是相同的 40 三 對偶原理 41 所以能觀測 說明 利用對偶原理 可以把對系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對其對偶系統(tǒng)能觀測性的分析 從而溝通了控制問題和估計問題之間的關(guān)系 反之亦然 證畢 42 一 線性定常離散系統(tǒng)能控性定義 3 2線性離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性 3 2 1線性定常離散時間系統(tǒng)的能控性定義及判據(jù) 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程為 對于任意給定的一個初始狀態(tài) 存在 在有限時間區(qū)間 內(nèi) 存在容許控制序列 使得 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 43 二 線性定常離散系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則 定理1 對于線性連續(xù)定常系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣 滿秩 即 44 例 判定下列線性離散系統(tǒng)的能控性 解 用定理1 線性離散系統(tǒng)是完全能控的 45 三 線性定常離散系統(tǒng)能觀測性定義 已知輸入向量序列 及有限采樣周期內(nèi)測量到的輸出向量序列 如果能唯一確定任意初始狀態(tài)向量 則稱系統(tǒng)是完全能觀測的 簡稱系統(tǒng)是能觀測的 46 四 線性定常離散系統(tǒng)能觀測性判別準(zhǔn)則 定理 對于線性離散定常系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測性判別矩陣 滿秩 47 例 判定下列線性離散系統(tǒng)的能觀性 解 用定理2 線性離散系統(tǒng)是不完全能觀的 48 3 3能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形 3 3 1能控標(biāo)準(zhǔn)形 一個單輸入系統(tǒng) 如果具有如下形式 則系統(tǒng)一定能控 這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 49 定理3 13若n維單輸入線性定常系統(tǒng)能控 則一定能找到一個線性變換陣將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形 具體做法是 設(shè)A的特征多項式為 引入非奇異線性變換 其中 代入 即得到式 3 26 所示的能控標(biāo)準(zhǔn)形 50 例3 12已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程 試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形 解 1 能控性矩陣 2 A的特征多項式 3 計算變換矩陣P 51 4 計算線性變換后各矩陣 5 系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為 52 由于線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 故由標(biāo)準(zhǔn)形求得的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 因此如果已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) 也可以直接由兩式各參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 寫出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 53 例3 13已知線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 解由傳遞函數(shù)可知 代入 3 26 可得對應(yīng)能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為 54 3 3 2能觀標(biāo)準(zhǔn)形 一個單輸入系統(tǒng) 如果具有如下形式 則系統(tǒng)一定能觀測 這種形式的狀態(tài)空間方程稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 55 定理3 14若維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測 則一定能找到一個線性變換陣將其變換成能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 具體做法是 設(shè)A的特征多項式為 引入非奇異線性變換 其中 代入 即得到式 3 30 所示的能觀標(biāo)準(zhǔn)形 56 例3 14已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程 試將其變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形 解 1 能觀性矩陣 2 A的特征多項式 3 計算變換矩陣P 57 4 計算線性變換后各矩陣 5 系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形為 58 3 4能控性 能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 定理3 15單輸入單輸出系統(tǒng)能控且能觀測的充分必要條件是傳遞矩陣G s 的分母與分子之間不發(fā)生因子相消 例3 15已知系統(tǒng)的動態(tài)方程如下 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 判斷其能控性 能觀測性 解 如果求出各自的傳遞函數(shù) 可看出三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為 能控不能觀 能觀不能控 不能控不能觀 59 定理3 17如果多輸入 多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān) 則系統(tǒng)是能觀測的 充分必要條件 定理3 16如果多輸入 多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān) 則系統(tǒng)是能控的 充分必要條件 定理3 15只適用于單輸入 單輸出系統(tǒng) 對于有重特征值的多輸入 多輸出系統(tǒng) 即使有零 極點對消 系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀測的 例3 16判斷下列多輸入輸出系統(tǒng)的能控 能觀測性 存在零 極點對消的情況 60 例3 17試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性 能觀測性 解 1 三個行向量線性無關(guān) 系統(tǒng)是能控的 2 三個列向量線性無關(guān) 系統(tǒng)是能觀測的 61 3 5實現(xiàn)問題 由給定的傳遞函數(shù) 或脈沖響應(yīng) 建立與輸入輸出特性等價的系統(tǒng)方程的問題 稱為實現(xiàn)問題 轉(zhuǎn)換時由于狀態(tài)方程的表示不是唯一的 因此傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換也不是唯一的 一個傳遞函數(shù)可以對應(yīng)多個狀態(tài)方程 在實際應(yīng)用中 常常根據(jù)所研究問題的需要 將傳遞函數(shù)化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式 設(shè)單輸入 單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 62 3 5 1能控 能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn) 例3 18已知傳遞函數(shù)為 試采用不同的轉(zhuǎn)換方法到不同標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間方程 解 1 能控標(biāo)準(zhǔn)形 引入中間變量V s 設(shè) 得 設(shè) 有 63 可得到如式 3 26 的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為 64 2 能觀標(biāo)準(zhǔn)形同樣也可以通過設(shè)狀態(tài)變量得到與能控標(biāo)準(zhǔn)形對偶的能觀標(biāo)準(zhǔn)形 其表達式為 實際上 控制系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形通常簡單地根據(jù)式 3 26 式 3 29 與式 3 31 各參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系直接寫出 65 3 5 2對角標(biāo)準(zhǔn)形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn) 設(shè) 則有 例3 18 設(shè) 則有 設(shè) 則有 由 有 66 由以上各式可寫出對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程為 例3 18是特征根各不相同時的解法 由于實際系統(tǒng)的特征根還存在有重根的情況 這里分別對這兩種情況討論一下系統(tǒng)對角標(biāo)準(zhǔn)形和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的實現(xiàn)問題 67 一 系統(tǒng)的特征根互異 式中為系統(tǒng)的互異極點 特征值 為待定系數(shù) 當(dāng)系數(shù)比較復(fù)雜時 可采用公式 3 33 來計算 68 這時系統(tǒng)對應(yīng)的對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程可寫為 或 69 設(shè)有一個m重根 其余是互異根 二 系統(tǒng)的特征根具有重根 70 此時只能寫出該系統(tǒng)如下形式的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 狀態(tài)方程 71 輸出方程 72 例3 19已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 寫出其對角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 解 系統(tǒng)特征值 可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 求出式中待定系數(shù) 73 則狀態(tài)空間方程為 需要注意的是這里講的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母階次小于分子階次的情況 n m 如果分母階次等于分子階次時 n m 這時應(yīng)做一次除法 將傳遞函數(shù)化為帶分式的形式 再去求狀態(tài)方程的表達式 74 例3 20已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間方程 解 此時狀態(tài)空間方程式帶有關(guān)聯(lián)矩陣 能控標(biāo)準(zhǔn)形為 75 3 5 3最小實現(xiàn) 通常我們希望實現(xiàn)的維數(shù)越低越好 在所有可能的實現(xiàn)中 維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn) 最小實現(xiàn)反映了系統(tǒng)最簡單的結(jié)構(gòu) 因此最具有工程意義 定理3 18傳遞函數(shù)的一個實現(xiàn)為最小實現(xiàn)的充要條件是 不但能控而且能觀 一般而言 構(gòu)造最小實現(xiàn)可按如下步驟進行 1 按給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣先找出一種實現(xiàn) 通常 最方便的方法是選取能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)或能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn) 2 對所得實現(xiàn)中 找出其完全能控且完全能觀測部分 即為最小實現(xiàn) 76 3 6線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 如果系統(tǒng)是不能控 不能觀的 那么從結(jié)構(gòu)上看 系統(tǒng)必然包括了能控 不能控和能觀 不能觀的子系統(tǒng) 因此可以采用線性變換的方法進行結(jié)構(gòu)分解 找到能控或能觀的子系統(tǒng) 3 6 1能控性結(jié)構(gòu)分解 設(shè)不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為 經(jīng)非奇異變換后 系統(tǒng)的動態(tài)方程可寫 77 設(shè)能控性判別矩陣的秩為 選出其中個線性無關(guān)列 再加任意個線性無關(guān)列 構(gòu)成非奇異變換陣 能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 非奇異變換陣的求取 使 78 例3 21對下列系統(tǒng)進行能控性分解 能控性矩陣的秩 可知系統(tǒng)不完全能控 79 取中線性獨立的兩列向量 這里取第1 2列 再補充一個與其它列向量無關(guān)的列向量 可得到 則 能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 80 3 6 2能觀性結(jié)構(gòu)分解 設(shè)不能觀系統(tǒng)的動態(tài)方程為 經(jīng)非奇異變換后 系統(tǒng)的動態(tài)方程可寫 令 將狀態(tài)變量分解為能觀的變量和不能觀的變量兩部分 81 設(shè)能觀性判別矩陣的秩為 選出其中個線性無關(guān)行 再加任意個線性無關(guān)行 構(gòu)成非奇異變換陣 能觀子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能觀子系統(tǒng)動態(tài)方程為 非奇異變換陣的求取 82 例3 22對下列系統(tǒng)進行能觀性分解 解 能觀性矩陣的秩 可知系統(tǒng)不完全能控 83 取中線性獨立的兩行向量 這里取第1 2行 再補充一個與其它行向量無關(guān)的行向量 可得到 則 能觀子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不能觀子系統(tǒng)動態(tài)方程為 84 3 6 3系統(tǒng)按能控性和能觀測性的標(biāo)準(zhǔn)分解 設(shè)系統(tǒng)即不能控又不能觀 可對其進行結(jié)構(gòu)分解 將系統(tǒng)分解為四個子系統(tǒng) 分別為既能控又能觀 能控不能觀 不能控能觀 即不能控也不能觀子系統(tǒng) 具體步驟可先對系統(tǒng)按能控性分解 即令 再分別對能控子系統(tǒng) 不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解 即 85 最后將狀態(tài)變量分解既能控又能觀 能控不能觀 不能控能觀 即不能控也不能觀4個部分 86 經(jīng)線性變換后 系統(tǒng)的動態(tài)方程為 系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣描述的是任意系統(tǒng)中即能控又能觀測的子系統(tǒng)特性 87 88 3 7MATLAB在系統(tǒng)能控性和能觀性分析中的應(yīng)用 3 7 1狀態(tài)空間模型能控 能觀性判定 用ctrb和obsv函數(shù)可求狀態(tài)空間系統(tǒng)的可控性和可觀性矩陣 格式如下M ctrb A B N obsv A C 例3 23試用MATLAB判斷例3 1系統(tǒng)的能控性 a 121 0