2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)2.9解析幾何中的面積共線向量結(jié)合的問題教學(xué)案理.docx

解析幾何中的面積，共線，向量結(jié)合的問題圓錐曲線是解析幾何部分的核心內(nèi)容,以計(jì)算量大、方法靈活、技巧性強(qiáng)著稱,既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),也是歷年高考的熱點(diǎn),常以壓軸題的形式出現(xiàn).而直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,集中交匯了解析幾何中直線與圓錐曲線的內(nèi)容, 特別是解析幾何中的面積，共線，向量結(jié)合的問題是圓錐曲線綜合題，解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.1解析幾何中的面積問題解析幾何中某些問題,可以通過三角形面積的等量關(guān)系去解.研究方法:先選定一個(gè)易于計(jì)算面積的幾何圖形,再用不同方法計(jì)算同一圖形面積,得到一個(gè)面積等式;或是用一圖形面積等于其它圖形面積的和或差.在教學(xué)時(shí),適當(dāng)講解此法,是開拓學(xué)生思路,提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效手段之一.例1【西南名校聯(lián)盟高三2018年元月考試】已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 的橫坐標(biāo)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與線段的垂直平分線相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積的最大值.思路分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件可求出線段的斜率，進(jìn)而求出線段的垂直平分線方程，聯(lián)立直線與線段的垂直平分線方程，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出線段的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線的距離，即可求出的表達(dá)式，再構(gòu)造新函數(shù)，即可求出最大值. 設(shè)， ， 則 ，令得 (舍去)， ，由于時(shí)， ， 單調(diào)遞增，時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 取得最大值，即的面積取得最大值，故的面積的最大值為 點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考中的常考題型，常與不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多、難度較大解題時(shí)可先建立關(guān)于某個(gè)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，常用的方法有以下幾個(gè)：利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍 2解析幾何中的共線問題解析幾何中的共線問題的處理方法，常利用向量共線定理來證，即先設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用題中給出的關(guān)系，證明坐標(biāo)交叉積的差等于零即可. 正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.三點(diǎn)共線是解析幾何中常見問題之一，根據(jù)向量共線的充要條件，只要在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的向量間存在倍數(shù)關(guān)系，向量法解決共線問題更簡(jiǎn)單明了.例2已知點(diǎn)的坐標(biāo)為是拋物線上不同于原點(diǎn)的相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證: 點(diǎn)共線; （2）若，當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 思路分析：(1)要證三點(diǎn)共線，只要證即可，設(shè) ，由可得，代入兩向量平行的條件即可證；(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn),則，由即列出方程即可.點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)與軌跡方程的求法，屬中檔題；求軌跡方程有直接法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法、參數(shù)法等多種方法，當(dāng)題目給出等量關(guān)系時(shí)，可用直接法，本題就是用直接法求解的. 3解析幾何中的與向量結(jié)合問題平面向量是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容，它具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是數(shù)形結(jié)合的典范，能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn).基于高考數(shù)學(xué)重視能力立意，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，平面向量與解析幾何融合交匯的試題便應(yīng)運(yùn)而生，試題以解析幾何為載體，以探討直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為切入點(diǎn)，以向量為工具，著重考查解析幾何中的基本的數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力.由于向量既能體現(xiàn)形的直觀位置特征，又具有數(shù)的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶.而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸成為高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn).例3【西藏拉薩市2018屆第一次模擬】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的頂點(diǎn)、在橢圓上， 所在的直線斜率為， 所在的直線斜率為，若，求的最大值思路分析：(1)根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸與短軸的關(guān)系列出一個(gè)方程，再根據(jù)橢圓過已知點(diǎn)列出一個(gè)方程，解方程組求出a,b,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由于OA和OB的斜率乘積為定值，因此OA的斜率為，則OB的斜率可表示為，分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積，根據(jù)OA、OB方程得出A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積，從表示出數(shù)量積,再利用基本不等式求出最值. 點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般采用待定系數(shù)法,列方程組解方程求出a,b;(2) 本題為斜率乘積為，是一種常見的典型考題，根據(jù)OA和OB的斜率乘積為定值，可以減元，用OA的斜率表示OB的斜率，分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)OA、OB方程得出A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從表示出數(shù)量積,再利用基本不等式求出最值.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解涉及到向量，就用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示. 綜合以上三類問題，平面解析幾何中計(jì)算多邊形的面積的方法是把多邊形分為若干三角形.計(jì)算出每一個(gè)三角形的面積而后加起來.有規(guī)則的圖形和不規(guī)則的圖形,常將問題轉(zhuǎn)化到三角形、圓、特殊四邊形中,應(yīng)用相關(guān)面積公式求解,有時(shí)要綜合考慮問題,將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化到規(guī)則圖形中求解. 研究圓錐曲線中三角形的面積時(shí)通常采用分割的方法把要求面積的三角形分成兩個(gè)同底的三角形，根據(jù)韋達(dá)定理求.解析幾何中平行、共線問題，求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題.利用向量夾角的坐標(biāo)形式解題，求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知