備考2020版高考物理復(fù)習(xí)攻略之方法匯總專(zhuān)題09微元累積法（含解析）.docx

專(zhuān)題09 微元累積法目錄1過(guò)程微元法12. 對(duì)象微元法9微元法是一種介于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的一種處理物理模型問(wèn)題的方法，其要點(diǎn)是：在對(duì)物理問(wèn)題做整體的考察后，選取該問(wèn)題過(guò)程中的某一微小單元進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)微元細(xì)節(jié)的物理分析和描述，找出該微元所具有的物理性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，從而獲得解決該物理問(wèn)題整體的方法。微元法按其研究物理模型問(wèn)題可分為對(duì)象微元法、過(guò)程微元法。1過(guò)程微元法過(guò)程微元法著眼于研究對(duì)象物體所經(jīng)歷的比較復(fù)雜的過(guò)程，比如，物體的運(yùn)動(dòng)不是恒力作用下的勻變速運(yùn)動(dòng)，而是變力作用下的變加速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)過(guò)程性規(guī)律不甚明了，若從整體著手研究，則難以在高中物理層面展開(kāi)，不過(guò)當(dāng)我們用過(guò)程微元法，把物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程按其經(jīng)歷的位移或時(shí)間等分為多個(gè)小量，將每個(gè)微元過(guò)程近似為高中物理知識(shí)所能處理的過(guò)程，在得出每個(gè)微元過(guò)程的相關(guān)結(jié)果后，再進(jìn)行數(shù)學(xué)求和，這樣就能得到物體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過(guò)程的規(guī)律。典例1.質(zhì)量為m物體從地面以初速度v0豎直上拋，經(jīng)過(guò)t1時(shí)間達(dá)最高點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力f=kv（k是常數(shù)），求上升的最大高度?！窘馕觥课矬w上升過(guò)程 針對(duì)訓(xùn)練1.接上題，上題條件不變，物體從最高點(diǎn)下落，當(dāng)物體到達(dá)地面時(shí)速度剛好達(dá)到最大，求其下落時(shí)間t2.【解析】到達(dá)地面速度最大值為vm過(guò)程中得：【總結(jié)與點(diǎn)評(píng)】本題上升下落過(guò)程受到變化的阻力，加速度變化，需要把物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行微元處理，在每一小段的時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為加速度一定，再進(jìn)行時(shí)間的累積，就可以求出結(jié)果。典例2.如圖所示，頂角的金屬導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直，磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根與垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下的恒定速度沿導(dǎo)軌向右滑動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為和，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過(guò)程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸，t0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角處。求 （1）時(shí)刻流過(guò)導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度和電流方向。（2）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力的表達(dá)式。（3）導(dǎo)體棒在時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱。（4）若在時(shí)刻將外力撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)?！窘馕觥?經(jīng)時(shí)間，導(dǎo)體棒位移 導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度 導(dǎo)體棒電動(dòng)勢(shì) 回路總電阻 聯(lián)立解得 電流方向 （2=（3）在時(shí)刻 ， 聯(lián)立解得 為正比例函數(shù)關(guān)系，作出其圖像，（如圖2）把時(shí)間無(wú)限小等分，每份內(nèi) 當(dāng)線在時(shí)間內(nèi)時(shí)間所圍面積。 （4） 撤去外力后，設(shè)任意時(shí)刻導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為，速度為，把停止前時(shí)間無(wú)限小等分，每份為， 由動(dòng)量定理得 ， 把 代入上式得： 當(dāng)時(shí)，棒掃過(guò)的面積 將代入 得， 又知： 將聯(lián)立得， 【總結(jié)與點(diǎn)評(píng)】該題中導(dǎo)體棒在斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，隨著導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度隨之變化，電阻，電動(dòng)勢(shì)，安培力也隨之變化，如果直接利用有關(guān)公式計(jì)算無(wú)法得出結(jié)果，但這里可以利用過(guò)程微元法，將物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程分成很多的小等份，從而解決了“研究過(guò)程的選擇”，再輔以力學(xué)、電磁學(xué)知識(shí)，問(wèn)題得到迎刃而解。針對(duì)訓(xùn)練2.如圖所示3，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為，現(xiàn)有一個(gè)邊長(zhǎng)，質(zhì)量、電阻的正方形線框以的初速?gòu)淖髠?cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求（1）線框邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小。（2）線框從開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱。（3）線框能穿過(guò)的條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù).【解析】（1）線框邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí) 聯(lián)立得 （2）在水平方向，由能量守恒定律得 （3）在水平方向，把部分線框在磁場(chǎng)中變速運(yùn)動(dòng)過(guò)程微元處理，每一微元的沖量由動(dòng)量定理得 部分線框在磁場(chǎng)中的變減速運(yùn)動(dòng)的位移 將聯(lián)立得 線框變減速運(yùn)動(dòng)每通過(guò)一個(gè)條形磁場(chǎng)發(fā)生的位移為線框邊長(zhǎng)的二倍， 聯(lián)立得 （取整數(shù)）【總結(jié)與點(diǎn)評(píng)】本題線框在磁場(chǎng)中受重力和安培力的作用作曲線運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似于平拋運(yùn)動(dòng)但不同于平拋運(yùn)動(dòng)，屬于要求較高的問(wèn)題。試題中第一問(wèn)考查載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的受力情況，屬于考查基礎(chǔ)知識(shí)范疇；第二問(wèn)考查分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程及能量的轉(zhuǎn)化情況；第三問(wèn)重點(diǎn)考查利用動(dòng)量定理和微元法處理物理問(wèn)題的能力，要求考生有較高的利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力和技巧。三個(gè)設(shè)問(wèn)對(duì)學(xué)生的能力要求逐步遞增，有較好的區(qū)分度。本題揭示了“變”與“不變”的內(nèi)在物理規(guī)律，展現(xiàn)了一個(gè)新的物理圖景。典例3.如圖所示，間距為l的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)。場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為,間距為。兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。 (設(shè)重力加速度為g) (1)若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能Ek。(2)若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)酷場(chǎng)區(qū)域，此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)B又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的 運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等.求a穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q(3)對(duì)于第(2)問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v. 【解析】 a和b不受安培力作用，由機(jī)械能守恒知 設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為，剛離開(kāi)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的速度為，由能量守恒得： 在磁場(chǎng)區(qū)域中 在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中 解得: 在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中,根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律 且平均速度 在磁場(chǎng)區(qū)域中棒a受到合力 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 感應(yīng)電流 解得 根據(jù)牛頓第二定律，在到時(shí)間內(nèi) 則有 解得 聯(lián)立解得 由題意知 【總結(jié)與點(diǎn)評(píng)】本題考察考生對(duì)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的安培力、電磁感應(yīng)定律、能量守恒和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的分析綜合能力及以應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。第(1)問(wèn)要求考生理解感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件，直接使用能量守恒定律解決問(wèn)題。第(2)問(wèn)要求考生仔細(xì)分析棒的物理狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立物理模型，從而找到系統(tǒng)能量守恒的物理規(guī)律。對(duì)考生的分析綜合能力要求較高。第(3)問(wèn)能將復(fù)雜問(wèn)題分解，綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、電磁感應(yīng)定律和能量守恒定律，應(yīng)用過(guò)程微元法解決問(wèn)題，是整卷中對(duì)考生能力要求最高的一問(wèn)。針對(duì)訓(xùn)練3.如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、 足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出）。線框的邊長(zhǎng)為d（d l），電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為g。求：（1）裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；（2）線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1 ；（3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離m 。 【解析】(1)設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中，作用在線框上的安培力做功為W由動(dòng)能定理 且 解得 （2）設(shè)線框剛離開(kāi)磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為，則接著向下運(yùn)動(dòng) 由動(dòng)能定理 裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)收到的合力感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) =Bd感應(yīng)電流 =安培力 由牛頓第二定律，在t到t+時(shí)間內(nèi)，有則有解得 （3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框在磁場(chǎng)下邊界與最大距離之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)由動(dòng)能定理 解得 【總結(jié)與點(diǎn)評(píng)】第(2)問(wèn)能將復(fù)雜問(wèn)題分解，綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、電磁感應(yīng)定律和電路知識(shí)，應(yīng)用過(guò)程微元法求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間。2. 對(duì)象微元法對(duì)象微元法主要解決研究對(duì)象難以選擇的情形，通常的做法是把實(shí)體模型等分為很多很多的等份，研究其一份，運(yùn)用物理規(guī)律，輔以數(shù)學(xué)方法求解，由此求出整體受力或運(yùn)動(dòng)情況，在中學(xué)階段比較常見(jiàn)的有類(lèi)似流體問(wèn)題、鐵鏈條的連續(xù)體模型。典例4.如圖一個(gè)圓柱形盛水容器以角速度繞對(duì)稱(chēng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，水的表面形狀?！窘馕觥磕Ｐ徒?gòu)： 水為理想流體，水中各個(gè)質(zhì)元以所在水平面的中心為圓心作圓周運(yùn)動(dòng)。數(shù)理整合 ： 選取自由面的最底點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系，在原點(diǎn)外側(cè)取截面很小水平液柱為研究對(duì)象，水柱長(zhǎng)為，截面積為，質(zhì)量為其右端離其自由面深度為，即自由面上的點(diǎn)坐標(biāo)液柱的右端壓強(qiáng)= = = 聯(lián)立得= 由此可知水的自由面為拋物面?！究偨Y(jié)與點(diǎn)評(píng)】本題中研究對(duì)象的選擇是解決問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，在原點(diǎn)外側(cè)取截面很小水平液柱為研究對(duì)象，從而得出水的曲面的豎向截面方程。針