概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第6講 330.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第6講（夜大）第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 隨機(jī)變量概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。為了抽象到數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計(jì)算，必須要把隨機(jī)事件數(shù)量化。當(dāng)我們進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)和觀測時(shí)，由于隨機(jī)因素的影響，試驗(yàn)結(jié)果也不一樣，我們把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果用一個(gè)變量來表示時(shí)，就是隨機(jī)變量。顧名思義，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量，正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件，機(jī)會(huì)表現(xiàn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率。一個(gè)簡單的例子如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，2，6等6個(gè)值。到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子以后才能知道。因此也可以說，隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)。再比如，一開始我們介紹的拋擲硬幣三次的隨機(jī)試驗(yàn)，如果我們關(guān)心出現(xiàn)正面的情況，我們就可以用一個(gè)變量來表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，樣本點(diǎn)HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX 值 3 2 2 1 1 1 1 0這樣，變量取不同的數(shù)，就對應(yīng)不同的樣本點(diǎn)，從而我們就通過這個(gè)變量建立了樣本點(diǎn)和數(shù)字之間的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，也就是數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系。定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為。是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)。稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量建立了樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的單值對應(yīng)關(guān)系。隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是有一定概率的。因而隨機(jī)變量的取值就有一定的概率。例如，上面例子中類似地，有 一般地，若L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，將X在L上取值寫成（）。它表示事件，即B是由S中使得的所有樣本點(diǎn)所組成的事件，此時(shí)有 隨機(jī)變量的特點(diǎn)：（1）隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性。隨機(jī)變量是隨著試驗(yàn)結(jié)果而變的量。在一次實(shí)驗(yàn)中，若出現(xiàn)樣本點(diǎn)，則X就取實(shí)數(shù)值X（）。由于在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)哪一個(gè)樣本點(diǎn)事先不能預(yù)知，因而X的值也就不能事先確定。（2）隨機(jī)變量的取值具有一定的概率，即具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。（3）隨機(jī)變量是定義在樣本空間S上的函數(shù)。與普通函數(shù)相比，它們都可以看成是隨自變量變化的因變量，其值域也都是實(shí)數(shù)或其子集。但是，普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集，而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間S。也就是說，隨機(jī)變量是從樣本空間到某實(shí)數(shù)集的一個(gè)單值映射。第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。容易知道，要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須且只需知道X的所有可能取的值以及取每一個(gè)可能值的概率。設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為，X取各個(gè)可能值的概率，即事件的概率，為 由概率的定義，滿足如下兩個(gè)條件：（1） ；（2） 。（2）是由于是必然事件，且故即。我們稱上述表達(dá)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。分布律也可以用表格的形式表示：這個(gè)表格直觀地表示了隨機(jī)變量X取各個(gè)值的概率的規(guī)律。X取各個(gè)值各占一些概率，這些概率加起來是1，可以想象成：概率1以一定的規(guī)律分布在各個(gè)可能值上。這就是上式稱為分布律的緣故。例1 常數(shù)時(shí)，為離散型隨機(jī)變量的分布律。（1） 2；（2）1；（3）1/2；（4）3解：因?yàn)閿?shù)列為離散型隨機(jī)變量的分布律，所以有從而。所以選（2）。 下面介紹三種重要的離散型隨機(jī)變量。 （一） （01）分布 設(shè)隨機(jī)變量X只可能取值0和1，它的分布律為 則稱X服從（01）分布或兩點(diǎn)分布。 （01）分布的分布律可以寫成 01 對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即，我們總能在S上定義一個(gè)服從（01）分布的隨機(jī)變量來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。例如對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品是否合格，拋擲硬幣試驗(yàn)等等都可以用（01）分布的隨機(jī)變量來描述。（01）分布是經(jīng)常遇到的一種分布。 （二） 貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：和，則稱E為貝努利試驗(yàn)。設(shè)，此時(shí)。將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次，則稱這一串重復(fù)進(jìn)行的獨(dú)立試驗(yàn)為重貝努力試驗(yàn)。需要說明的是，這里的“重復(fù)”是指在每次實(shí)驗(yàn)中保持不變；“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即若以表示第次試驗(yàn)的結(jié)果，為或，“獨(dú)立”是指 重貝努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，它有廣泛的應(yīng)用，是研究最多的模型之一。以X表示重貝努利試驗(yàn)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為0，1，。由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，因此事件A在指定的次試驗(yàn)中發(fā)生，在其他次試驗(yàn)中A不發(fā)生的概率為這種指定的方式共有種，它們是兩兩互不相容的，故在次試驗(yàn)中A發(fā)生次的概率為，記，即有 顯然 ； 注意到剛好是二項(xiàng)式的展開式出現(xiàn)的那一項(xiàng)，故我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為。 特別，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布就化為（01）分布。 例2 從學(xué)校到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件相互獨(dú)立，并且概率都是1/3。（1）設(shè)X為遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律；（2）令Y表示汽車行駛過程中在停止前所經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布律；（3）求從學(xué)校到火車站途中至少遇到一次紅燈的概率。 解：（1）X服從二項(xiàng)分布B（6，1/3），X的可能取值為0，1，6。X0123456P64/729192/729240/729160/72960/72912/7291/729 （2）Y的取值為0，1，6，其分布律為Y0123456P1/32/94/278/8116/24332/72964/729 （3）P（至少遇到一次紅燈） （三）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0，1，而取各個(gè)值的概率為 其中為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為。 易知它滿足分布律的兩個(gè)性質(zhì)。，且有 具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際當(dāng)中有很多的應(yīng)用，它適用于排隊(duì)系統(tǒng)的描述。 對于泊松分布，它有一個(gè)重要的性質(zhì)。即 其中。 證明： 所以 這個(gè)性質(zhì)表明泊松分布就是二項(xiàng)分布的極限分布。 例3 在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在1年中每個(gè)人死亡的概率為0。002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)。而在死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金。求（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率；（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。 解：（1）以“年”為單位，保險(xiǎn)公司總收入為2500*12=30000元。設(shè)一年死亡人數(shù)為X，則，且保險(xiǎn)公司在這一年中應(yīng)付出賠償金2000X元，若虧本，則須（人）因此 P保險(xiǎn)公司虧本因?yàn)楹艽?，P很小，因此可以用參數(shù)為的泊松分布近似代替二項(xiàng)分布，則有 由此可見保險(xiǎn)公司在1年里虧本的概率是很小的。（2）P保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元=P30000-2000X1000