高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2_2 等差數(shù)列（二）課件 新人教a版必修5

第二章數(shù)列 2 2等差數(shù)列 二 1 能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列的重要性質(zhì) 2 能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測自查自糾 知識梳理自主學(xué)習(xí) 知識點(diǎn)二推廣的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列 an 中任意的兩項(xiàng)am an 則an am n m d m n 思考已知等差數(shù)列 an 中的am和an 如何求d 答案 知識點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)1 若 an bn 分別是公差為d d 的等差數(shù)列 則有 2 等差數(shù)列的項(xiàng)的對稱性在有窮等差數(shù)列中 與首末兩項(xiàng) 等距離 的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 下標(biāo)性質(zhì) 在等差數(shù)列 an 中 若m n p q m n p q N 則 特別的 若m n 2p m n p N 則有 思考等差數(shù)列 an 中 若a5 7 a9 19 則a2 a12 a7 返回 am an ap aq 答案 am an 2ap 26 13 題型探究重點(diǎn)突破 題型一等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例1 1 已知等差數(shù)列 an 中 a2 a6 a10 1 求a4 a8 解析答案 2 設(shè) an 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列 若a1 a2 a3 15 a1a2a3 80 求a11 a12 a13的值 解析答案 反思與感悟 解 an 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列 設(shè)公差為d d 0 a1 a3 2a2 a1 a2 a3 15 3a2 a2 5 又a1a2a3 80 a1a3 5 d 5 d 16 d 3或d 3 舍去 a12 a2 10d 35 a11 a12 a13 3a12 105 解決本類問題一般有兩種方法 一是運(yùn)用等差數(shù)列 an 的性質(zhì) 若m n p q 2w 則am an ap aq 2aw m n p q w都是正整數(shù) 二是利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差基本量的關(guān)系完成運(yùn)算 屬于通性通法 兩種方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列 an 中 1 若a3 5 則a1 2a4 解析答案 2 若a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 則a1 a20等于 解析a1 2a4 a1 a3 a5 a1 a5 a3 2a3 a3 3a3 15 15 解析由已知可得 a1 a2 a3 a18 a19 a20 24 78 a1 a20 a2 a19 a3 a18 54 a1 a20 18 18 題型二等差數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法及求解例2已知四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列 四個(gè)數(shù)的平方和為94 首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18 求此等差數(shù)列 解析答案 反思與感悟 解設(shè)四個(gè)數(shù)為a 3d a d a d a 3d 則 又因?yàn)槭沁f增數(shù)列 所以d 0 此等差數(shù)列為 1 2 5 8或 8 5 2 1 三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法 當(dāng)三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí) 可設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d列方程組求解 此時(shí)計(jì)算量稍大 也可采用對稱的設(shè)法 三個(gè)數(shù)時(shí) 設(shè)a d a a d 四個(gè)數(shù)時(shí) 設(shè)a 3d a d a d a 3d 利用和為定值 先求出其中某個(gè)未知量 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的 它們的和為18 平方和為116 求這三個(gè)數(shù) 解方法一設(shè)這三個(gè)數(shù)為a b c 則由題意得 這三個(gè)數(shù)為4 6 8 方法二設(shè)這三個(gè)數(shù)為a d a a d 由已知可得 由 得a 6 代入 得d 2 該數(shù)列是遞增的 d 2舍去 這三個(gè)數(shù)為4 6 8 題型三等差數(shù)列的綜合問題 解析答案 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 并寫出 bn 的通項(xiàng)公式 解析答案 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式及數(shù)列 an 中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng) 解析答案 反思與感悟 解決數(shù)列綜合問題的方法策略 1 結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng) 2 利用通項(xiàng)公式 得到一個(gè)以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程 組 或不等式 組 3 利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 若數(shù)列 為遞減數(shù)列 則 A d0C a1d0 解析設(shè)bn 則bn 1 由于 是遞減數(shù)列 則bn bn 1 即 y 2x是單調(diào)增函數(shù) a1an a1an 1 a1an a1 an d 0 a1 an an d 0 即a1 d 0 a1d 0 C 題型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例4某公司2009年經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品 獲利200萬元 從2010年起 預(yù)計(jì)其利潤每年比上一年減少20萬元 按照這一規(guī)律 如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品 也不調(diào)整經(jīng)營策略 從哪一年起 該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損 解析答案 反思與感悟 解記2009年為第一年 由題設(shè)可知第1年獲利200萬元 第2年獲利180萬元 第3年獲利160萬元 則每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列 an 且當(dāng)an11 即從第12年起 也就是從2020年開始 該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損 解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的方法策略 1 解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟 審題 即仔細(xì)閱讀材料 認(rèn)真理解題意 建模 即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué) 數(shù)列 語言 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 判型 即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列 求解 即求出該問題的數(shù)學(xué)解 還原 即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中 2 在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí) 一定要弄清首項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練4 九章算術(shù) 竹九節(jié) 問題 現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子 自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列 上面4節(jié)的容積共3升 下面3節(jié)的容積共4升 則第5節(jié)的容積為 解析設(shè)自上而下9節(jié)竹子各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列 an 其首項(xiàng)為a1 公差為d B 解析答案 審題不仔細(xì)致誤 易錯點(diǎn) 例5首項(xiàng)為 24的等差數(shù)列 從第10項(xiàng)開始為正數(shù) 則公差d的取值范圍為 返回 錯因分析解答本題 應(yīng)注意理解 從第10項(xiàng)開始為正數(shù) 的含義 它表明 a10 0 的同時(shí)還表明 a9 0 這一條件 解析答案 誤區(qū)警示 解答此類問題 應(yīng)注意仔細(xì)審題 認(rèn)真挖掘題目中的隱含條件 并注意應(yīng)用 誤區(qū)警示 返回 當(dāng)堂檢測 1 2 3 4 5 1 在等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3 a5 10 則a7等于 A 5B 8C 10D 14 解析方法一設(shè)等差數(shù)列的公差為d 則a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 所以d 1 a7 a1 6d 2 6 8 方法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1 a7 a3 a5 10 又a1 2 所以a7 8 B 解析答案 1 2 3 4 5 解析由a2 a4 a6 a8 a10 5a6 80 a6 16 C 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知等差數(shù)列 an 滿足a1 a2 a3 a101 0 則有 A a1 a101 0B a2 a101 0C a3 a99 0D a51 51 C 解析 a1 a2 a101 0 又 a1 a101 a2 a100 a3 a99 2a51 a51 0 a3 a99 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 下列是關(guān)于公差d 0的等差數(shù)列 an 的四個(gè)命題 p1 數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 p2 數(shù)列 nan 是遞增數(shù)列 p4 數(shù)列 an 3nd 是遞增數(shù)列 其中的真命題為 A p1 p2B p3 p4C p2 p3D p1 p4 解析an a1 n 1 d dn a1 d 因?yàn)閐 0 所以p1正確 an 3nd 4dn a1 d 因4d 0 所以是遞增數(shù)列 p4正確 故選D D 1 2 3 4 5 解析答案 5 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 2a8 a15 96 則2a9 a10 解析 a1 2a8 a15 4a8 96 a8 24 2a9 a10 a10 a8 a10 a8 24 24 課堂小結(jié) 2 等差數(shù)列 an 中 每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列 構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列 3 等差數(shù)列