高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3_2_3 直線與平面的夾角 3_2_4 二面角及其度量課件 新人教b版選修2-1

3 2 3直線與平面的夾角 3 2 4二面角及其度量 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解斜線和平面所成的角的定義 體會夾角定義的唯一性 合理性 2 會求直線與平面的夾角 3 掌握二面角的概念 二面角的平面角的定義 會找一些簡單圖形中的二面角的平面角 4 掌握求二面角的基本方法 步驟 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一直線與平面所成的角 思考 斜線和平面所成的角具有什么性質(zhì) 答案 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角 是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角 且cos cos 1cos 2 如圖 梳理 1 直線與平面所成的角 90 O 0 O 射影 2 最小角定理 cos cos 1cos 2 射影 最小的角 知識點二二面角及理解 思考 如何找二面角的平面角 答案 定義法由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點可根據(jù)具體題目選擇棱上一個特殊點 求解用到的是解三角形的有關(guān)知識 2 垂面法作 找 一個與棱垂直的平面 與兩面的交線就構(gòu)成了平面角 3 三垂線定理 或逆定理 作平面角 這種方法最為重要 其作法與三垂線定理 或逆定理 的應(yīng)用步驟一致 梳理 1 二面角的概念 二面角的定義 平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分 其中的每一部分都叫做半平面 從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角 如圖所示 其中 直線l叫做二面角的 每個半平面叫做二面角的 如圖中的 兩個半平面 棱 面 二面角的記法 棱為l 兩個面分別為 的二面角 記作 l 如圖 A B 二面角也可以記作A l B 也可記作2 l 二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一點O 在兩半平面內(nèi)分別作射線OA l OB l 則 AOB叫做二面角 l 的平面角 如圖所示 由等角定理知 這個平面角與點O在l上的位置無關(guān) 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 二面角的范圍是 0 180 2 用向量夾角來確定二面角性質(zhì)及其度量的方法 如圖 分別在二面角 l 的面 內(nèi) 并沿 延伸的方向 作向量n1 l n2 l 則 n1 n2 等于該二面角的平面角 如圖 設(shè)m1 m2 則角 m1 m2 與該二面角大小相等或互補 題型探究 類型一求直線與平面的夾角 解答 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則A 0 0 0 B 0 a 0 方法一取A1B1的中點M 則MC1 AB MC1 AA1 又AB AA1 A MC1 平面ABB1A1 C1AM是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角 又直線與平面所成的角在 0 90 范圍內(nèi) AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30 設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n y z y z 0 故n 0 0 又直線與平面所成的角在 0 90 范圍內(nèi) AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30 用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 再用向量的有關(guān)知識求解線面角 方法二給出了用向量法求線面角的常用方法 即先求平面法向量與斜線夾角 再進(jìn)行換算 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1如圖所示 已知直角梯形ABCD 其中AB BC 2AD AS 平面ABCD AD BC AB BC 且AS AB 求直線SC與底面ABCD的夾角 的余弦值 解答 由題設(shè)條件知 以點A為坐標(biāo)原點 分別以AD AB AS所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 0 90 類型二求二面角 例2在底面為平行四邊形的四棱錐P ABCD中 AB AC PA 平面ABCD 且PA AB E是PD的中點 求平面EAC與平面ABCD的夾角 解答 方法一如圖 以A為原點 分別以AC AB AP所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)PA AB a AC b 連接BD與AC交于點O 取AD中點F 連接EF EO FO 則C b 0 0 B 0 a 0 EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角 或補角 平面EAC與平面ABCD的夾角為45 方法二建系如方法一 PA 平面ABCD 設(shè)平面AEC的法向量為m x y z x 0 y z 取m 0 1 1 平面EAC與平面ABCD的夾角為45 反思與感悟 1 當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立 有特殊的位置關(guān)系 時 用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 經(jīng)過簡單的運算即可求出 有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小 相等或互補 但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論 因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的 2 注意法向量的方向 一進(jìn)一出 二面角等于法向量夾角 同進(jìn)同出 二面角等于法向量夾角的補角 解答 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面PAB的法向量為m x y z 設(shè)平面PBC的法向量為n x y z 令y 1 則z 1 故n 0 1 1 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 在三棱柱ABC A1B1C1中 底面是棱長為1的正三角形 側(cè)棱AA1 底面ABC 點D在棱BB1上 且BD 1 若AD與平面AA1C1C所成的角為 則sin 的值是 答案 解析 2 3 4 1 如圖所示 建立坐標(biāo)系 平面AA1C1C的一個法向量是n 1 0 0 2 3 4 1 2 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為 答案 解析 45 或135 設(shè)二面角的平面角為 2 3 4 1 3 正四面體ABCD中棱AB與底面BCD所成角的余弦值為 答案 解析 作AO 底面BCD 垂足為O O為 BCD的中心 2 3 4 1 4 已知點A 1 0 0 B 0 2 0 C 0 0 3 則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為 答案 解析 2