IIR濾波器的設(shè)計.ppt

2020 2 22 1 Ch3 4IIR濾波器的設(shè)計 Biomedicalsignalprocessing 2 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Digitalfilter的設(shè)計思路 按照任務(wù)要求 確定濾波器的性能指標(biāo) 用一個因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H z 來逼近這一性能指標(biāo) H z 的實現(xiàn) 計算機軟件 利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù) 專用數(shù)字濾波器硬件 二者的結(jié)合 Biomedicalsignalprocessing NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表示 1 一個濾波器的表示 系統(tǒng)函數(shù)差分方程ItisanARMAfilter ak 遞歸項 auto regression AR bk 平均項 movingaveraging MA N 濾波器的階數(shù) Biomedicalsignalprocessing 4 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能 當(dāng)M N H z N階IIR系統(tǒng) M N 階的FIR系統(tǒng) 以上兩種表示等價 部分分式形式和零極點增益形式IIR系統(tǒng)的逼近 就是找到濾波器的系數(shù)ak bk 或者是系統(tǒng)的零極點和增益 z p k Biomedicalsignalprocessing 5 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Linearphase 信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件 幅頻特性為一常數(shù) 具有線性相位 why Supposearg H k 輸入和輸出關(guān)系如何 Biomedicalsignalprocessing 6 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 IIRfilter的設(shè)計方法 從模擬濾波器H s 求出數(shù)字濾波器H z 把DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成AF的技術(shù)指標(biāo)根據(jù)AF指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器H s 按一定規(guī)則把H s 轉(zhuǎn)換成H z 計算機輔助設(shè)計 最優(yōu)化設(shè)計法 依據(jù)某一最優(yōu)化準(zhǔn)則 求得在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù) 例如 頻域均方差最小準(zhǔn)則 即使得實際頻率響應(yīng) H ejw 與所要求的理想 Hd ejw 的均方差最小 Biomedicalsignalprocessing 7 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 H s H z stwopreservations Stability Iftheanalogfilteriscausalandstable thetransformeddigitalfiltershouldbethesametoo ThismeansthatH s haspolesinthelefthalfofsplane theH z shouldhavepolesinsidetheunitcircleinzplane Frequencyresponse Bothfiltersshouldhavethesamefrequencyresponse Thatis thej axisinthesplaneshouldbemappedintounitcircleinthezplane Biomedicalsignalprocessing 8 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模擬濾波器的特性 h t 為實的 H s 的極點必成共軛存在 H s H s H s H s 平方幅度函數(shù) H s 2的極點 零點關(guān)于虛軸 j 對稱 對因果 穩(wěn)定系統(tǒng) H s 的極點落在s的左半平面 H s 的則落在右半平面 Biomedicalsignalprocessing 9 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) Biomedicalsignalprocessing 10 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 通帶 0 p 通帶中允許的波動為 1過渡帶 p s 振幅響應(yīng)不作明確規(guī)定阻帶 s 阻帶的衰減為 2 1 1 1 通帶 過渡帶 阻帶 2 p s H Biomedicalsignalprocessing 11 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 濾波器的指標(biāo) 1 幅度響應(yīng) 相位響應(yīng) IIR濾波器 不能實現(xiàn)線性相位 只考慮幅度指標(biāo) 低通濾波器的絕對指標(biāo) p s 和相對指標(biāo) 1 2 Biomedicalsignalprocessing 12 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 濾波器的指標(biāo) 2 Biomedicalsignalprocessing 13 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模擬濾波器的類型 以LPAF為例 巴特沃思 Butterworth 濾波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓濾波器 Biomedicalsignalprocessing 14 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通濾波器 1 單調(diào) 平穩(wěn)的幅度響應(yīng) 過渡區(qū)衰減緩慢 隨著N的增加 其衰減加快 對所有的N H 都通過 3dB點 Biomedicalsignalprocessing 15 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通濾波器 2 Butterworth低通濾波器的幅頻特性 Biomedicalsignalprocessing 16 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通濾波器的性質(zhì) 對于所有的N 當(dāng) 0 H j 2 1 對于所有的N 當(dāng) c H j 2 1 2 即在 c處有3dB的衰減 H j 2是 的單調(diào)減函數(shù) N inf H j 2趨于理想低通濾波器 Biomedicalsignalprocessing 17 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth逼近 1 零點 s 全極點型 2N個極點 虛軸對稱 分布于 c的圓上 極點的角度間隔 pi N Biomedicalsignalprocessing 18 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 不同N的極點分布 N 3 k 1 2 3pi k 2 pi k 3 5 3pi k 4 2pi N 4 k 1 5 8pi k 2 7 8pi k 3 9 8pi Biomedicalsignalprocessing 19 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth逼近 2 1 1 2N N 3 4 2 3 1 5 6 1 1 2N j 4 2 3 1 5 6 S平面 Biomedicalsignalprocessing 20 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 求Butterworth系統(tǒng)函數(shù) Biomedicalsignalprocessing 21 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth設(shè)計方程 由濾波器的四個指標(biāo) p 1 s 2 得到Butterworth濾波器的階數(shù)N和截止頻率 c Biomedicalsignalprocessing 22 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth設(shè)計例 1 設(shè)計一個低通Butterworth濾波器 以滿足 通帶截止頻率 p 0 2 通帶波動 1 7dB 阻帶截止頻率 s 0 3 通帶波動 2 16dB Biomedicalsignalprocessing 23 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 s和z的關(guān)系 r與 的關(guān)系 r e T 0 s平面虛軸 對應(yīng)于r 1 z平面單位圓上 0 s的右半平面 對應(yīng)于r 1 z平面單位圓外 與 的關(guān)系 T 0 s平面的實軸 對應(yīng)于 0 z平面的正實軸 0對應(yīng)于 0T z平面的輻射線 Tto T to 從s平面到z平面的映射是多值映射 Biomedicalsignalprocessing 24 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 X z 和X s 的關(guān)系 Biomedicalsignalprocessing 25 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 由模擬濾波器來設(shè)計IIR濾波器 把s平面映射到z平面 H s H z 實現(xiàn)這種映射的兩個基本條件 頻率軸對應(yīng) s平面的虛軸j 映射到z平面的單位圓上 因果穩(wěn)定的H s 應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H z s平面的左半平面 Re s 0 必須映射到z平面單位圓內(nèi) z 1 Biomedicalsignalprocessing 26 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模擬filter 數(shù)字filter的方法 直接用H s 和H z 的轉(zhuǎn)換關(guān)系 因為無窮級數(shù)求和 不能實現(xiàn) 采用以下三種方法 沖激響應(yīng)不變法 在AF到DF的變換中 使h t h n 不變階躍響應(yīng)不變法 在AF到DF的變換中 使其階躍響應(yīng)不變雙線性變換法 在AF到DF的變換中 使其系統(tǒng)函數(shù) 頻響 不變 Biomedicalsignalprocessing 27 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 沖激響應(yīng)不變法 Impulseinvariance 設(shè)計思想 使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h n 模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha t 將模擬濾波器的ha t 加以等間隔抽樣 使h n ha nT 相應(yīng)h n 的z變換H z 近似等于ha nT 的Laplace變換Ha s Biomedicalsignalprocessing 28 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 沖激響應(yīng)不變法 2 Ha s h t h n H z Biomedicalsignalprocessing 29 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 沖激響應(yīng)不變法 3 x t y t R 1 sC x n y n z 1 e T Biomedicalsignalprocessing 30 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Matlab命令 由低通濾波器的四個參數(shù) 求出Butter濾波器的兩個參數(shù) n Wn Buttord wp ws Rp Rs 求出H s 的B和A b a butter n Wn 通過沖激相應(yīng)不變法 實現(xiàn)H s 到H z 的轉(zhuǎn)換 impinvar BZ AZ IMPINVAR B A Fs 歸一化Butter濾波器的設(shè)計 z p k buttap N H z 的零極點形式轉(zhuǎn)換成部分分式的形 NUM DEN ZP2TF Z P K Biomedicalsignalprocessing 31 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 設(shè)計步驟 把數(shù)字濾波器的性能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的模擬濾波器的性能要求設(shè)計模擬濾波器 查表 或用解析的方法通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性法 把H s 轉(zhuǎn)化為H z Biomedicalsignalprocessing 32 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 沖激響應(yīng)不變法設(shè)計過程 給定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo) p s 1 2 的設(shè)計一個等價的模擬濾波器 然后把它映射成數(shù)字濾波器 Biomedicalsignalprocessing 33 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 沖激響應(yīng)不變法的缺點 缺點 多值映射 產(chǎn)生頻率混疊失真 條件 限帶系統(tǒng) why 因為高通和帶阻濾波器不是限帶的 不能用此法實現(xiàn)H s H z 的轉(zhuǎn)換 在實際中較少采用 多用Bilinear變換 Biomedicalsignalprocessing 34 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 雙線性變換法 Bilineartransformation 從H s 變換為H z 的另一種變換方法 克服多值映射 實現(xiàn)s平面到z平面的一一對應(yīng)關(guān)系 雙線性變換具有此功能 AF和DF在輸入 輸出上相似 使H s 和H z 的頻響近似 其思路 差分方程的解應(yīng)是模擬方程的近似解 其實現(xiàn) 直接用差分代替微分 結(jié)果的誤差大 將微分方程做積分 再進行數(shù)值近似 得到差分方程 從微分方程 H s 差分方程 H z 二者比較后 得到s和z的對應(yīng)關(guān)系 進一步要求s平面整個j 軸映射到z平面單位圓一周 得到兩個頻率的關(guān)系 即雙線性 Biomedicalsignalprocessing 35 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 雙線性變換法原理 為了克服沖激響應(yīng)不變法多值映射產(chǎn)生的頻率混疊的現(xiàn)象 雙線性變換法的映射原理是 1 首先通過下面的變換公式把整個S平面壓縮到中介S1平面的一條橫帶里 寬度從 T到 T 其中C為常數(shù)可根據(jù)設(shè)計要求選取 2 然后再通過將此橫帶變換到整個Z平面 這樣就使S平面和Z平面是一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系 消除了頻譜混疊現(xiàn)象 由于從S Z和從Z S的映射規(guī)則都是分式線性變換 因此稱其為雙線性變換 Biomedicalsignalprocessing 36 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 雙線性變換法 2 0 采用二次映射 先將s平面壓縮到s1平面的一條橫帶中 再進一步映射到z平面上 建立s z的一一對應(yīng)關(guān)系 Biomedicalsignalprocessing 37 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 雙線性變換法 2 j s平面 z平面 Im z Re z T T 3 T 3 T 1 1 s平面j 和z平面的單位圓上的點一一對應(yīng) 和 一一對應(yīng) Biomedicalsignalprocessing 38 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 雙線性變換設(shè)計過程 給定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo) p s 1 2 的設(shè)計一個等價的模擬濾波器 然后把它映射成數(shù)字濾波器 實際中系數(shù)2 T均被約掉 故可省去 或者設(shè)T 1 Biomedicalsignalprocessing 39 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth設(shè)計例 2 設(shè)計一個低通Butterworth濾波器 以滿足 通帶 0 100Hz 通帶波動 1 3dB 阻帶 300 Hz 通帶衰減 2 20dB Ts 1000Hz Biomedicalsignalprocessing 40 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 BilinearinMatLab H s H z 零極點增益形式 Zd Pd Kd BILINEAR Z P K Fs 部分分式 NUMd DENd BILINEAR NUM DEN Fs NUMandDEN分別表示濾波器傳遞函數(shù)的分子與分母多項式系數(shù)向量 d digital Biomedicalsignalprocessing 41 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 頻帶變換 低通濾波器作為基本逼近函數(shù) 可以通過頻帶變換來實現(xiàn)帶通 帶阻 高通濾波器的設(shè)計變換的方式 stos 模擬頻帶變換ztoz 數(shù)字頻帶變換 濾波器變換s z Biomedicalsignalprocessing 42 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Chebyshev低通濾波器 ChebyshevI型 通帶中等波紋 阻帶中單調(diào) C