高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理10_1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理課件理蘇教版

10 1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 知識(shí)梳理 m1 m2 mn m1 m2 mn 判斷下列結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 在分類計(jì)數(shù)原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類計(jì)數(shù)原理中 每類方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步計(jì)數(shù)原理中 事情是分步完成的 其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事 只有每個(gè)步驟都完成后 這件事情才算完成 4 如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟 在每一步中都有若干種不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成這件事共有m1m2m3 mn種方法 5 在分步計(jì)數(shù)原理中 每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的 考點(diǎn)自測(cè) 1 用0 1 9十個(gè)數(shù)字 可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 答案 解析 252 分兩步 第一步先確定橫坐標(biāo) 有3種情況 第二步再確定縱坐標(biāo) 有2種情況 因此第一 二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3 2 6 2 教材改編 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 從M N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo) 則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一 第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 答案 解析 6 3 滿足a b 1 0 1 2 且關(guān)于x的方程ax2 2x b 0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì) a b 的個(gè)數(shù)為 答案 解析 當(dāng)a 0時(shí) 關(guān)于x的方程為2x b 0 此時(shí)有序數(shù)對(duì) 0 1 0 0 0 1 0 2 均滿足要求 當(dāng)a 0時(shí) 4 4ab 0 ab 1 此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 綜上 滿足要求的有序數(shù)對(duì)共有13個(gè) 13 4 從0 2中選一個(gè)數(shù)字 從1 3 5中選兩個(gè)數(shù)字 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 答案 解析 分兩類情況討論 第1類 奇偶奇 個(gè)位有3種選擇 十位有2種選擇 百位有2種選擇 共有3 2 2 12 個(gè) 奇數(shù) 第2類 偶奇奇 個(gè)位有3種選擇 十位有2種選擇 百位有1種選擇 共有3 2 1 6 個(gè) 奇數(shù) 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理 知共有12 6 18 個(gè) 奇數(shù) 18 5 教材改編 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組 每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組 則不同的報(bào)名方法有 種 答案 解析 每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法 因此 可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名 由分步計(jì)數(shù)原理 知總的報(bào)名方法共2 2 2 2 2 32 種 32 題型分類深度剖析 題型一分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1高三一班有學(xué)生50人 其中男生30人 女生20人 高三二班有學(xué)生60人 其中男生30人 女生30人 高三三班有學(xué)生55人 其中男生35人 女生20人 1 從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席 有多少種不同的選法 解答 完成這件事有三類方法 第一類 從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法 第二類 從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法 第三類 從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理 任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席共有50 60 55 165 種 不同的選法 2 從高三一班 二班男生中或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng) 有多少種不同的選法 解答 完成這件事有三類方法 第一類 從高三一班男生中任選一名共有30種選法 第二類 從高三二班男生中任選一名共有30種選法 第三類 從高三三班女生中任選一名共有20種選法 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理 共有30 30 20 80 種 不同的選法 分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在 重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素 關(guān)鍵位置 首先根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn) 其次分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1 2016 全國(guó)丙卷改編 定義 規(guī)范01數(shù)列 an 如下 an 共有2m項(xiàng) 其中m項(xiàng)為0 m項(xiàng)為1 且對(duì)任意k 2m a1 a2 ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù) 若m 4 則不同的 規(guī)范01數(shù)列 共有 個(gè) 答案 解析 14 第一位為0 最后一位為1 中間3個(gè)0 3個(gè)1 3個(gè)1在一起時(shí)為000111 001110 題型二分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例2 1 2016 全國(guó)甲卷改編 如圖 小明從街道的E處出發(fā) 先到F處與小紅會(huì)合 再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng) 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6種 從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3種 所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑為6 3 18 種 答案 解析 18 2 有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 則共有 種不同的報(bào)名方法 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 因此可由項(xiàng)目選人 第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法 第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法 第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有6 5 4 120 種 答案 解析 120 引申探究1 本例 2 中 若將條件 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 改為 每人恰好參加一項(xiàng) 每項(xiàng)人數(shù)不限 則有多少種不同的報(bào)名方法 每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng) 各有3種不同的報(bào)名方法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有36 729 種 解答 2 本例 2 中 若將條件 每項(xiàng)限報(bào)一人 且每人至多參加一項(xiàng) 改為 每項(xiàng)限報(bào)一人 但每人參加的項(xiàng)目不限 則有多少種不同的報(bào)名方法 每人參加的項(xiàng)目不限 因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 可得不同的報(bào)名方法共有63 216 種 解答 1 利用分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步 即分步是有先后順序的 并且分步必須滿足 完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的 只有各個(gè)步驟都完成了 才算完成這件事 2 分步必須滿足兩個(gè)條件 一是步驟互相獨(dú)立 互不干擾 二是步與步確保連續(xù) 逐步完成 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 1 2016 無(wú)錫模擬 用0 1 2 3 4 5可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 答案 解析 100 可分三步給百 十 個(gè)位放數(shù)字 第一步 百位數(shù)字有5種放法 第二步 十位數(shù)字有5種放法 第三步 個(gè)位數(shù)字有4種放法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理 三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5 5 4 100 2 2017 徐州質(zhì)檢 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽 每人限報(bào)一項(xiàng) 則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為 五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍 冠軍不并列 則獲得冠軍的可能性有 種 45 五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽 每人限報(bào)一項(xiàng) 可逐個(gè)學(xué)生落實(shí) 每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法 共有45種不同的報(bào)名方法 五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍 可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí) 每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性 共有54種獲得冠軍的可能性 答案 解析 54 題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 例3 1 如圖 矩形的對(duì)角線把矩形分成A B C D四部分 現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色 每部分涂1種顏色 要求共邊的兩部分顏色互異 則共有 種不同的涂色方法 答案 解析 260 區(qū)域A有5處涂色方法 區(qū)域B有4種涂色方法 區(qū)域C的涂色方法可分2類 若C與A涂同色 區(qū)域D有4種涂色方法 若C與A涂不同色 此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法 區(qū)域D也有3種涂色方法 所以共有5 4 4 5 4 3 3 260 種 涂色方法 2 如果一條直線與一個(gè)平面垂直 那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè) 正交線面對(duì) 在一個(gè)正方體中 由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的 正交線面對(duì) 的個(gè)數(shù)是 第1類 對(duì)于每一條棱 都可以與兩個(gè)側(cè)面均成 正交線面對(duì) 這樣的 正交線面對(duì) 有2 12 24 個(gè) 第2類 對(duì)于每一條面對(duì)角線 都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成 正交線面對(duì) 這樣的 正交線面對(duì) 有12個(gè) 所以正方體中 正交線面對(duì) 共有24 12 36 個(gè) 36 答案 解析 利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路 1 弄清完成一件事是做什么 2 確定是先分類后分步 還是先分步后分類 3 弄清分步 分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么 4 利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3如圖 用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色 4種顏色全部使用 要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色 相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色 則不同的涂色種數(shù)為 答案 解析 96 按區(qū)域1與3是否同色分類 故由分類計(jì)數(shù)原理 不同的涂色種數(shù)為24 72 96 現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò) 糾錯(cuò)心得 1 應(yīng)用計(jì)數(shù)原理解題首先要搞清是分類還是分步 2 把握完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn) 如典例 1 沒(méi)有考慮每封信只能投在一個(gè)信箱中 導(dǎo)致錯(cuò)誤 錯(cuò)解展示 典例 1 把3封信投到4個(gè)信箱 所有可能的投法共有 種 2 某人從甲地到乙地 可以乘火車 也可以坐輪船 在這一天的不同時(shí)間里 火車有4次 輪船有3次 問(wèn)此人的走法可有 種 利用兩個(gè)基本原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題 現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列11 解析 1 因?yàn)槊總€(gè)信箱有三種投信方法 共4個(gè)信箱 所以共有3 3 3 3 34 種 投法 2 乘火車有4種方法 坐輪船有3種方法 共有3 4 12 種 方法 答案 1 34 2 12 返回 解析 1 第1封信投到信箱中有4種投法 第2封信投到信箱中也有4種投法 第3封信投到信箱中也有4種投法 只要把這3封信投完 就做完了這件事情 由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法 2 因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?乘火車的走法有4種 坐輪船的走法有3種 每一種方法都能從甲地到乙地 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理 可得此人的走法共有4 3 7 種 答案 1 43 2 7 返回 課時(shí)作業(yè) 1 2016 鎮(zhèn)江模擬 甲 乙 丙三位志愿者安排在周一至周五參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng) 要求每人參加一天且每天至多安排一人 并要求甲安排在另外兩位前面 則不同的安排方案共有 種 答案 解析 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 小明有4枚完全相同的硬幣 每個(gè)硬幣都分正反兩面 他想把4個(gè)硬幣擺成一摞 且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對(duì) 則不同的擺法有 種 答案 解析 記反面為1 正面為2 則正反依次相對(duì)有12121212 21212121兩種 有兩枚反面相對(duì)有21121212 21211212 21212112三種 共5種擺法 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 將2名教師 4名學(xué)生分成2個(gè)小組 分別安排到甲 乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng) 每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成 則不同的安排方案共有 種 答案 解析 12 由分步計(jì)數(shù)原理 不同的選派方案共有2 6 12 種 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4 2015 四川改編 用數(shù)字0 1 2 3 4 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中比40000大的偶數(shù)共有 個(gè) 答案 解析 120 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 5 2016 鹽城模擬 在高校自主招生中 某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額 其中清華大學(xué)2名 北京大學(xué)2名 復(fù)旦大學(xué)1名 并且北京大學(xué)和清華大學(xué)都要求必須有男生參加 學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象 則不同的推薦方法共有 種 24 答案 解析 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 根據(jù)題意 分2種情況討論 故共有12 12 24 種 推薦方法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6 將字母a a b b c c排成三行兩列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 則不同的排列方法共有 種 先排第一列 由于每列的字母互不相同 因此共有種不同排法 再排第二列 其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法 第二列第二 三行的字母只有1種排法 因此共有 2 1 12 種 不同的排列方法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12 答案 解析 7 2016 泰州模擬 在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)百米決賽上 8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽 其中甲 乙 丙三人必須在1 2 3 4 5 6 7 8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上 則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有 種 答案 解析 2880 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四條跑道可安排 安排方式有種 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排 安排方式有 120 種 安排這8人的方式有24 120 2880 種 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 8 如圖所示 在A B間有四個(gè)焊接點(diǎn) 若焊接點(diǎn)脫落 則可能導(dǎo)致電路不通 今發(fā)現(xiàn)A B之間線路不通 則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有 種 答案 解析 四個(gè)焊點(diǎn)共有24種情況 其中使線路通的情況有 1 4都通 2和3至少有一個(gè)通時(shí)線路才通 共3種可能 故不通的情況有24 3 13 種 可能 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9 從1 2 3 4 7 9六個(gè)數(shù)中 任取兩個(gè)數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù) 則所有不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為 當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)中含有1時(shí) 1只能作真數(shù) 對(duì)數(shù)值為0 當(dāng)所取兩個(gè)數(shù)不含有1時(shí) 可得到 20 個(gè) 對(duì)數(shù) 但log23 log49 log32 log94 log24 log39 log42 log93 綜上可知 共有20 1 4 17 個(gè) 不同的對(duì)數(shù)值 17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 答案 解析 10 回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù) 如22 121 3443 94249等 顯然2位回文數(shù)有9個(gè) 11 22 33 99 3位回文數(shù)有90個(gè) 101 111 121 191 202 999 則 1 4位回文數(shù)有 個(gè) 答案 解析 4位回文數(shù)相當(dāng)于填4個(gè)方格 首尾相同 且不為0 共9種填法 中間兩位一樣 有10種填法 共計(jì)9 10 90 種 填法 即4位回文數(shù)有90個(gè) 90 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 2n 1 n N 位回文數(shù)有 個(gè) 答案 解析 根據(jù)回文數(shù)的定義 此問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化成填方格 結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理 知有9 10n種填法 9 10n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11 有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師 6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加 1 若只需一人參加 有多少種不同選法 解答 只需一人參加 可按老師 男同學(xué) 女同學(xué)分三類各自有3 6 8種方法 總方法數(shù)為3 6 8 17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 若需一名老師 一名學(xué)生參加 有多少種不同選法 解答 分兩步 先選教師共3種選法 再選學(xué)生共6 8 14 種 選法 由分步計(jì)數(shù)原理知 總方法數(shù)為3 14 42 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 若需老師 男同學(xué) 女同學(xué)各一人參加 有多少種不同選法 解答 教師 男同學(xué) 女同學(xué)各一人可分三步 每步方法依次為3 6 8種 由分步計(jì)數(shù)原理知 總方法數(shù)為3 6 8 144 種 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12 如圖所示 將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色 并使同一條棱上的兩端異色 如果只有5種顏色可供使用 求不同的染色方法種數(shù) 解答 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 方法一設(shè)染色按S A B C D的順序進(jìn)行 對(duì)S A B染色 有5 4 3 60 種 染色方法 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色 這影響到