高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9_9圓錐曲線的綜合問題第3課時(shí)定點(diǎn)定值探索性問題課件理北師大版

9 9圓錐曲線的綜合問題 第3課時(shí)定點(diǎn) 定值 探索性問題 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 題型分類深度剖析 題型一定點(diǎn)問題 設(shè)橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 解答 幾何畫板展示 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn) 證明 幾何畫板展示 由題意設(shè)P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 設(shè)l方程為x t y m y1 m y1 1 由題意y1 0 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得直線l方程為x ty 1 過定點(diǎn) 1 0 即Q為定點(diǎn) 思維升華 圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 1 引進(jìn)參數(shù)法 引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量 再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系 找到定點(diǎn) 2 特殊到一般法 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn) 再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān) 1 求橢圓C的方程 解答 解答 幾何畫板展示 因?yàn)閘為切線 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 因?yàn)镸N為圓的直徑 即t2 2 2 0 設(shè)圓與x軸的交點(diǎn)為T x0 0 當(dāng)t 0時(shí) 不符合題意 故t 0 所以T為定點(diǎn) 故動(dòng)圓過x軸上的定點(diǎn) 1 0 與 1 0 即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 題型二定值問題 例2 2016 廣西柳州鐵路一中月考 如圖 橢圓有兩頂點(diǎn)A 1 0 B 1 0 過其焦點(diǎn)F 0 1 的直線l與橢圓交于C D兩點(diǎn) 并與x軸交于點(diǎn)P 直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q 解答 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線l的方程為y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 證明 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 與題意不符 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線l的方程為y kx 1 k 0 k 1 C x1 y1 D x2 y2 將兩直線方程聯(lián)立 消去y y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 k y0 思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數(shù)式為定值 依題意設(shè)條件 得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式 代入代數(shù)式 化簡即可得出定值 2 求點(diǎn)到直線的距離為定值 利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設(shè)條件化簡 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡 變形即可求得 1 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程 解答 幾何畫板展示 依題意知 點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn) 且RQ FP RQ是線段FP的垂直平分線 點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上 PQ QF 又 PQ 是點(diǎn)Q到直線l的距離 故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn) l為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為y2 2x x 0 2 設(shè)圓M過A 1 0 且圓心M在曲線C上 TS是圓M在y軸上截得的弦 當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí) 弦長 TS 是否為定值 請(qǐng)說明理由 解答 弦長 TS 為定值 理由如下 幾何畫板展示 題型三探索性問題 1 求橢圓E的方程 解答 解答 幾何畫板展示 當(dāng)直線l與x軸平行時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于C D兩點(diǎn) 如果存在定點(diǎn)Q滿足條件 則有 即 QC QD 所以Q點(diǎn)在y軸上 可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 y0 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于M N兩點(diǎn) 則M 解得y0 1或y0 2 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 由上可知 結(jié)論成立 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 可設(shè)直線l的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 所以 若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件 則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為 0 2 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 x2 y2 所以kQA kQB 即Q A B 三點(diǎn)共線 思維升華 解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 1 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論 2 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) 先假設(shè)成立 再推出條件 3 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時(shí) 要開放思維 采取另外合適的方法 1 求橢圓C和拋物線E的方程 解答 幾何畫板展示 2a AF1 AF2 4 a 2 設(shè)A x y F2 c 0 拋物線方程為y2 4x 解答 幾何畫板展示 若直線ON的斜率不存在 若直線ON的斜率存在 MN 2 ON 2 OM 2 設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d 典例 12分 橢圓C 1 a b 0 的左 右焦點(diǎn)分別是F1 F2 離心率為 過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1 設(shè)而不求 整體代換 思想與方法系列23 規(guī)范解答 思想方法指導(dǎo) 1 求橢圓C的方程 2 點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn) 連接PF1 PF2 設(shè) F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M m 0 求m的取值范圍 3 在 2 的條件下 過點(diǎn)P作斜率為k的直線l 使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 設(shè)直線PF1 PF2的斜率分別為k1 k2 若k2 0 證明為定值 并求出這個(gè)定值 幾何畫板展示 對(duì)題目涉及的變量巧妙地引進(jìn)參數(shù) 如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 動(dòng)直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換 達(dá)到 設(shè)而不求 減少計(jì)算 的效果 直接得定值 返回 解 2 設(shè)P x0 y0 y0 0 所以直線PF1 PF2的方程分別為 3 設(shè)P x0 y0 y0 0 返回 課時(shí)作業(yè) 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 得a2 4 b2 2 解答 1 2 3 4 2 如圖 橢圓左頂點(diǎn)為A 過原點(diǎn)O的直線 與坐標(biāo)軸不重合 與橢圓C交于P Q兩點(diǎn) 直線PA QA分別與y軸交于M N兩點(diǎn) 試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn) 與直線PQ的斜率無關(guān) 請(qǐng)證明你的結(jié)論 解答 1 2 3 4 證明如下 設(shè)P x0 y0 則Q x0 y0 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 1 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 2 3 4 2 若斜率為k的直線l過點(diǎn)A 0 1 且與橢圓E交于C D兩點(diǎn) B為橢圓E的下頂點(diǎn) 求證 對(duì)于任意的k 直線BC BD的斜率之積為定值 證明 1 2 3 4 設(shè)直線l y kx 1 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 設(shè)C x1 y1 D x2 y2 則 易知B 0 2 1 2 3 4 2 所以對(duì)于任意的k 直線BC BD的斜率之積為定值 1 2 3 4 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 a2 2 b2 1 1 2 3 4 解答 2 記橢圓的上頂點(diǎn)為M 直線l交橢圓于P Q兩點(diǎn) 問 是否存在直線l 使點(diǎn)F恰為 PQM的垂心 若存在 求直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 解答 1 2 3 4 假設(shè)存在直線l交橢圓于P Q兩點(diǎn) 且F恰為 PQM的垂心 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 M 0 1 F 1 0 直線l的斜率k 1 于是設(shè)直線l為y x m 得3x2 4mx 2m2 2 0 1 2 3 4 又yi xi m i 1 2 x1 x2 1 x2 m x1 m 1 0 即2x1x2 x1 x2 m 1 m2 m 0 1 2 3 4 故存在直線l 使點(diǎn)F恰為 PQM的垂心 直線l的方程為3x 3y 4 0 1 2 3 4 1 若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形 求 果圓 的方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 由題意 得a c 2b 1 2 3 4 解答 3 一條直線與果圓交于兩點(diǎn) 兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦 是否存在實(shí)數(shù)k 使得斜率為k的直