高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1_1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 1_1_1課件 新人教a版選修2-3

第一章計數(shù)原理1 1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其簡單應用 主題1 分類加法計數(shù)原理某志愿者從杭州奔赴北京參加公益活動 假設每天有4個航班 5列火車 1 該志愿者要完成的一件事是什么 提示 從杭州乘火車或飛機奔赴北京參加公益活動 2 有幾類方案可完成這件事 每類方案又各有幾種方法 每種方法是否都能完成這件事 提示 兩類方案 第一類方類 乘飛機 有4種方法 第二類方案 坐火車 有5種方法 每種方案中的每種方法都能完成這件事 3 該志愿者從杭州到北京共有多少種不同方法 提示 共有4 5 9種不同的方法 結論 分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n 微思考 根據分類加法計數(shù)原理考慮完成一件事的第1類方案與第2類方案中的每一種方法有沒有重復或遺漏 提示 每種方法都可以獨立地完成這件事 它們之間沒有重復或遺漏 主題2 分步乘法計數(shù)原理某志愿者從麗水奔赴北京參加公益活動 中間在杭州停留 假設每天從麗水到杭州有3次汽車 從杭州到北京有4個航班 1 該志愿者要完成這件事需要幾個步驟 提示 兩個 即先坐汽車到杭州 再從杭州乘飛機到北京 2 完成每一步各有幾種方法 提示 第一步 坐汽車 有3種方法 第二步 乘飛機 有4種方法 3 該志愿者從麗水到北京共有多少種不同的方法 提示 共有3 4 12種方法 結論 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n 微思考 1 分步乘法計數(shù)原理的特征是什么 提示 分步就是說完成這件事的任何一種方法 都要分成若干個步驟 要完成這件事必須且只需連續(xù)完成這若干個步驟后 這件事才算完成 2 第1步采用不同的方法對第2步方法的選取有沒有影響 提示 第1步與第2步互相獨立 沒有影響 預習自測 1 從A地到B地 可乘汽車 火車 輪船三種交通工具 如果一天內汽車發(fā)3次 火車發(fā)4次 輪船發(fā)2次 那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法為 A 1 1 1 3B 3 4 2 9C 3 4 2 24D 以上都不對 解析 選B 乘汽車有3種方法 乘火車有4種方法 坐輪船有2種方法 根據分類加法計數(shù)原理 共有3 4 2 9種不同的走法 2 某體育場南側有4個大門 北側有3個大門 某學生到該體育場練習跑步 則他進出門的方案有 A 12種B 7種C 24種D 49種 解析 選D 該學生從南側進 南側出有4 4 16種方案 從北側進 北側出有3 3 9種方案 從一側進另一側出有2 4 3 24種方案 所以共有16 9 24 49種方案 3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 的展開式中共有 A 60項B 12項C 30項D 以上都不對 解析 選B 完成這件事需分兩步 第一步 從第一個括號中取一字母有3種方法 第二步 從第二個括號中取一字母有4種方法 故共有3 4 12項 4 加工某個零件分三道工序 第一道工序有5人可以選擇 第二道工序有6人可以選擇 第三道工序有4人可以選擇 從中選3人每人做一道工序 則選法有 種 解析 選第一 第二 第三道工序各一人的方法數(shù)依次為5 6 4 由分步乘法計數(shù)原理知 選法總數(shù)為N 5 6 4 120 答案 120 5 現(xiàn)有5幅不同的國畫 2幅不同的油畫 7幅不同的水彩畫 1 從中任取一幅畫布置房間 有幾種不同的選法 2 從這些國畫 油畫 水彩畫中各選一幅布置房間 有幾種不同的選法 仿照教材P5例3的解析過程 解析 1 從中任取一幅畫 有三類方法 第1類方法是從國畫中取一幅有5種不同方法 第2類方法是從油畫中取一幅有2種不同方法 第3類方法是從水彩畫中取一幅有7種不同方法 所以不同取法的種數(shù)是5 2 7 14 2 從三種畫中各取一幅 可分成三個步驟完成 第1步 從國畫中取1幅 有5種方法 第2步 從油畫中取1幅 有2種方法 第3步 從水彩畫中取1幅 有7種方法 所以不同取法的種數(shù)是5 2 7 70 類型一分類加法計數(shù)原理的應用 典例1 1 2017 日照高二檢測 如圖所示 在A B間有四個焊接點1 2 3 4 若焊接點脫落導致斷路 則電路不通 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通 則焊接點脫落的不同情況有 A 16種B 15種C 9種D 8種 2 滿足a b 1 0 1 2 且關于x的方程ax2 2x b 0有實數(shù)解的有序數(shù)對 a b 的個數(shù)為 解題指南 1 根據題意 可將其分為1個 2個 3個 4個焊接點脫落的情形 即分成四類 按照分類加法計數(shù)原理求解 2 分a 0與a 0兩種情況 當a 0時再借助判別式討論求解 解析 1 選B 按照可能脫落的個數(shù)可分成四類 第一類 1個焊接點脫落 有4種情況 第二類 2個焊接點脫落 有6種情況 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 第三類 3個焊接點脫落 有4種情況 即 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 第四類 4個焊接點脫落 有1種情況 即 1 2 3 4 所以共有4 6 4 1 15種情況 2 當a 0時 關于x的方程為2x b 0 此時有序數(shù)對 0 1 0 0 0 1 0 2 均滿足要求 當a 0時 由 4 4ab 0 ab 1 此時滿足要求的有序數(shù)對為 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 綜上 滿足要求的有序數(shù)對共有13個 答案 13 延伸探究 1 若將典例1 1 中的 圖形 改變成 如下圖形 結果如何 解析 按照可能脫落的個數(shù)可分成四類 第一類 1個焊接點脫落 有2種情況 即1 4 第二類 2個焊接點脫落 有6種情況 即 1 4 2 3 1 2 1 3 2 4 3 4 第三類 3個焊接點脫落 有4種情況 即 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 第四類 4個焊接點脫落 有1種情況 即 1 2 3 4 所以共有2 6 4 1 13種情況 2 若將典例1 1 中增加條件 已知焊接點2是正常的 結果如何 解析 由于焊接點2正常 所以可能脫落的個數(shù)可分成三類 第一類 1個焊接點脫落 有3種情況 即1 3 4 第二類 2個焊接點脫落 有3種情況 即 1 3 1 4 3 4 第三類 3個焊接點脫落 有1種情況 即 1 3 4 所以共有3 3 1 7種情況 方法總結 1 應用分類加法計數(shù)原理解題的步驟 2 分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同方案 在第1類方案中有m1種不同的方法 在第2類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N m1 m2 mn種不同的方法 補償訓練 1 某興趣小組有男生10名 女生9名 要從中選出一名組長 不同的選法共有 A 8種B 7種C 19種D 90種 2 書架上層放4本不同的數(shù)學書 中層放6本不同的外語書 下層放5本不同的語文書 從中任取1本 不同的取法種數(shù)為 A 15B 120C 3D 1 解析 1 選C 只要選出一名組長即可 共有N 10 9 19種方法 2 選A 由分類加法計數(shù)原理 共有4 6 5 15種不同的取法 類型二分步乘法計數(shù)原理的應用 典例2 在平面直角坐標系內 若點P x y 的橫 縱坐標均在 0 1 2 3 內取值 問 1 點P可以表示平面上多少個不同的點 2 點P可以表示平面上多少個第一象限的點 解題指南 先確定P點橫坐標 再確定其縱坐標 用分步乘法計數(shù)原理求解 解析 1 確定P的坐標分兩步第1步 確定橫坐標x 從0 1 2 3四個數(shù)字中選一個 有4種方法 第2步 確定縱坐標y 從0 1 2 3四個數(shù)字中選一個 有4種方法 根據分步乘法計數(shù)原理 所有不同的點P的個數(shù)為 4 4 16 個 2 第一象限的點的橫坐標 縱坐標都為正數(shù) 所以橫坐標x從1 2 3三個數(shù)中選一個 有3種方法 縱坐標y從1 2 3三個數(shù)中選一個 有3種方法 所以第一象限的點共有3 3 9 個 方法總結 1 利用分步乘法計數(shù)原理解題的步驟 2 分步乘法計數(shù)原理的推廣完成一件事需要n個步驟 做第1步有m1種不同的方法 做第2步有m2種不同的方法 做第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N m1 m2 m3 mn種不同的方法 鞏固訓練 2016 全國卷 如圖 小明從街道的E處出發(fā) 先到F處與小紅會合 再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 A 24B 18C 12D 9 解析 選B E F有6種走法 F G有3種走法 由分歩乘法計數(shù)原理知 共6 3 18種走法 補償訓練 從集合 1 2 3 10 中 選出由5個數(shù)組成的集合的子集 使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11 這樣的子集共有多少個 解題指南 根據子集的定義分析 把握任意兩個數(shù)的和不等于11 可以先尋找和等于11的情況 再根據子集的思想分析解決 解析 和為11的數(shù)共有5組 1與10 2與9 3與8 4與7 5與6 子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù) 即子集中的元素取自5個組中的一個數(shù) 而每個數(shù)的取法有2種 所以子集的個數(shù)為N 2 2 2 2 2 25 32 類型三兩個計數(shù)原理的綜合應用 典例3 2017 濟寧高二檢測 某藝術小組有9人 每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器 其中7人會鋼琴 3人會小號 從中選出會鋼琴與小號的各1人 有多少種不同的選法 解題指南 先確定既會鋼琴又會小號的人數(shù) 再以既會鋼琴又會小號的人為依據分類討論 解析 由題意可知 在藝術小組9人中 有且僅有1人既會鋼琴又會小號 把該人稱為 多面手 只會鋼琴的有6人 只會小號的有2人 把選出會鋼琴 小號各1人的方法分為兩類 第一步 多面手入選 另1人只需從其他8人中任選一個 故這類選法共有8種 第二步 多面手不入選 則選會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出 選會小號者也只能從只會小號的2人中選出 故這類選法共有6 2 12 種 因此N 8 6 2 20 種 故共有20種不同的選法 方法總結 運用兩個原理解決計數(shù)問題應注意的事項 1 在處理具體的應用題時 首先必須弄清是 分類 還是 分步 其次要搞清 分類 或 分步 的具體標準是什么 選擇合理的標準處理事件 可以避免計數(shù)的重復或遺漏 2 對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題 我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格 使問題更加直觀 清晰 鞏固訓練 現(xiàn)有高一年級的四個班的學生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他們自愿組成數(shù)學課外小組 1 選其中一人為負責人 有多少種不同的選法 2 每班選一名組長 有多少種不同的選法 3 推選兩人做中心發(fā)言 這兩人需來自不同的班級 有多少種不同的選法 解析 1 分四類 第一類 從一班學生中選1人 有7種選法 第二類 從二班學生中選1人 有8種選法 第三類 從三班學生中選1人 有9種選法 第四類 從四班學生中選1人 有10種選法 所以 共有不同的選法N 7 8 9 10 34 種 2 分四步 第一 二 三 四步分別從一 二 三 四班學生中選一人任組長 所以 共有不同的選法N 7 8 9 10 5040 種 3 分六類 每類又分兩步 從一班 二班學生中各選1人 有7 8種不同的選法 從一班 三班學生中各選1人 有7 9種不同的選法 從一班 四班學生中各選1人 有7 10種不同的選法 從二班 三班學生中各選1人 有8 9種不同的選法 從二班 四班學生中各選1人 有8 10種不同的選法 從三班 四班學生中各選1人 有9 10種不同的選法 所以共有不同的選法N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 種 補償訓練 甲 乙 丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動 要求每