力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法-張量-2.ppt

1 2 Kronecker符號(hào) 一 Kronecker符號(hào)定義為 其中i j為自由指標(biāo) 取遍1 2 3 因此 可確定一單位矩陣 2 二 3 若 是相互垂直的單位矢量 則 例題1 三 例題 4 注意 是一個(gè)數(shù)值 即 例題2 思路 把要被替換的指標(biāo)i變成啞標(biāo) 啞標(biāo)能用任意字母 因此可用變換后的字母k表示 的作用 1 換指標(biāo) 2 選擇求和 5 例題3 特別地 6 四 符號(hào)的應(yīng)用 7 3 置換符號(hào) PermutatisnSymbol 8 i j k 為1 2 3的偶置換 123 231 312 i j k 為1 2 3的奇置換 213 132 321 i j k 的任意兩個(gè)指標(biāo)相同 9 易知 二 符號(hào)的應(yīng)用 1 三階行列式 10 若 是右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量 2 右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量叉乘 3 11 例題 證明 12 三 常見的恒等式 1 證明 13 證明 2 14 3 4 由 15 4 納布拉算子 16 1 3張量的代數(shù)運(yùn)算 數(shù)乘加法點(diǎn)積縮并叉積 點(diǎn)叉積張量積轉(zhuǎn)置求逆對(duì)稱與反對(duì)稱 17 1 張量的記法 絕對(duì)記法 一個(gè)字母 T A 分量記法 矩陣表示 18 因此 為二階張量 例 由第一節(jié) 2 張量的特征定義 應(yīng)力張量 19 3 數(shù)乘 設(shè)T為一個(gè)張量 如二階張量 為一標(biāo)量 它們的乘積記為 仍為張量 則 20 根據(jù)張量的坐標(biāo)變換特征 有 可見 為二階張量 以二階張量為例 21 4 加法 設(shè)T S均為兩個(gè)同階張量 如二階張量 將它們的和用下式表示 22 若a為一矢量 則 T S和的分量為 其矩陣形式為 23 5 點(diǎn)積 1 矢量a b的點(diǎn)積 換指標(biāo) 24 2 張量T S 設(shè)為二階 的點(diǎn)積 一般地 任意個(gè)二階張量依次點(diǎn)積 結(jié)果仍為二階張量 即 25 3 雙重點(diǎn)積 前后 若A為二階張量 B為三階張量 則 結(jié)果為一階張量 26 4 雙重點(diǎn)積 內(nèi)外 若A為二階張量 B為三階張量 則 結(jié)果為一階張量 商法則 若一個(gè)量與任意一個(gè)量的點(diǎn)乘積為張量 則該量必為張量 27 6 叉積 1 兩個(gè)矢量a b的叉積 28 2 兩個(gè)任意張量的叉積 29 7 張量積 并乘 設(shè)分別為m和n階張量 它們的并積為 則 可見 其結(jié)果張量是m n階的 30 注意 有時(shí)候會(huì)把點(diǎn)乘寫成 這時(shí)并乘要加并乘符號(hào) 稱為基張量 31 8 縮并 如對(duì)積張量中任意兩個(gè)基矢量進(jìn)行點(diǎn)乘 便可得到比原來低二階的張量 稱為張量的縮并 匡震邦書 蓋秉政書例題 32 9 轉(zhuǎn)置 10 求逆 33 9 對(duì)稱與反對(duì)稱 A 對(duì)稱張量 若