例說(shuō)因式分解的方法與技巧.doc

廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院畢業(yè)論文例說(shuō)因式分解的方法與技巧廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院308數(shù)學(xué)（1）班 梁貽云 【摘要】多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程，也是代數(shù)式恒等變形的一個(gè)重要組成部分。因式分解在代數(shù)的運(yùn)算、解方程等方面都有極其廣泛的應(yīng)用。本文闡述了因式分解概念，并詳細(xì)地介紹了因式分解的方法 【關(guān)鍵詞】 多項(xiàng)式 因式分解 應(yīng)用因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。一、 多項(xiàng)式分解的定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式。二、 多項(xiàng)式因式分解的方法（一）提公因式法 定義： 把多項(xiàng)式中每項(xiàng)都含有的公因式提出來(lái)，從而把多項(xiàng)式化成兩因式相乘的形式叫提公因數(shù)法。. 提公因式法基本步驟：1.找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母； 2.提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式 除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。例1 ；（二）運(yùn)用公式法平方差公式：；完全平方公式：；立方和公式：； 立方差公式：； 完全立方公式： 運(yùn)用公式分解因式，就是把一些形如公式的多項(xiàng)式按公式的形式分解成幾個(gè)因式的乘積的形式的方法。在運(yùn)用乘法公式分解因式時(shí)，一定要熟練掌握幾個(gè)乘法公式，并且把所有要分解的多項(xiàng)式和公式進(jìn)行對(duì)比，觀察多項(xiàng)式中的哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的哪個(gè)字母，同時(shí)還要注意它的符號(hào)，以免帶來(lái)錯(cuò)誤的解法。（三） 分組分解法分組分解法是先根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，將其恰當(dāng)分組，然后各組分別變形，如在每組中提公因式，再在各組間提公因式，從而實(shí)現(xiàn)分解因。比如： =我們把和分一組，和分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做= = （四）十字相乘法十字相乘法實(shí)際上是借助十字交叉分解系數(shù)，建立的十字交叉線圖，既直觀又易于比較系數(shù)之間的關(guān)系，尤其方便調(diào)整因數(shù) ，使之達(dá)到分解因式的目的，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種思想，那就是數(shù)形結(jié)合的思想。如果有，且有時(shí)，那么 例2：因?yàn)?1 -3 7 2 -37=-21，12=2，且2-21=-19， 所以（五）求根公式法 令多項(xiàng)式,求出其根為，則該多項(xiàng)式可分解為例如在分解時(shí)，令=0 則通過(guò)綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1 所以=（六）配方法對(duì)于直接用十字相乘法比較難的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，我們也可以考慮用配方法進(jìn)行分解。配方法是數(shù)學(xué)中極其重要的一個(gè)方法，在代數(shù)式中利用添項(xiàng)的方法，給原來(lái)的多項(xiàng)式配上適當(dāng)部分，是添加后的多項(xiàng)式的一部分成為一個(gè)完全平方式，這種方法叫配方法。 例3： = = =（七）待定系數(shù)法 待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的有效方法，也是分解因式的強(qiáng)有力工具，用待定系數(shù)法分解因式，首先要根據(jù)題設(shè)條件制定原式分解后所成的因式乘積的形式，然后再到方程確定待定系數(shù)的值。例4解：用待定系數(shù)法：設(shè) =把右邊展開(kāi)，合并同類項(xiàng)（把同類項(xiàng)對(duì)齊），得=用恒等式的性質(zhì)，比較同類項(xiàng)系數(shù)，=本題也可用換元法：設(shè), 那么把左邊關(guān)于的多項(xiàng)式化為關(guān)于 的多項(xiàng)式，最后再把換成 1待定系數(shù)法的關(guān)鍵是首先判斷分解的形式，要求解題者具有較強(qiáng)的預(yù)見(jiàn)性。（八）換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元. 例5 在分解時(shí)，可以令,則 解： 原式= = = = = = 三、多項(xiàng)式因式分解的特點(diǎn)結(jié)果的對(duì)稱型：由于一個(gè)多項(xiàng)式的可約與不可約都是相對(duì)于某個(gè)數(shù)域而言的，因此一道因式分解題究竟分解到何時(shí)才算是結(jié)局，應(yīng)是給定數(shù)域而異。 對(duì)于定義域上的多項(xiàng)式的因式分解，在高等代數(shù)中已經(jīng)證明了這種分解的結(jié)果除常數(shù)因式外是唯一的。 四、因式分解四個(gè)注意因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。 現(xiàn)舉下例 可供參考 例6 把分解因式。 解： 這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如=的錯(cuò)誤 例2把分解因式。解：= 這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公 因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1。分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如的錯(cuò)誤。 考試時(shí)應(yīng)注意： 在沒(méi)有說(shuō)明化到實(shí)數(shù)時(shí)，一般只化到有理數(shù)就夠了五 、多項(xiàng)式因式分解的一般步驟（一）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那先提公因式；（二）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試用公式或十字相乘法來(lái)分解；（三）如果上述方法不能分解，那么可嘗試用分組、待定系數(shù)法或換元等方法來(lái)分解。 六、多項(xiàng)式因式分解的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)中，因式分解是一種基本的恒等變形，在公式的計(jì)算、解方程、解不等式、等式的證明等中卻是不可缺少的一種工具參考