解析幾何答案-廖華奎-王寶富-第一章.doc

第一章 向量代數(shù)習(xí)題1.11. 試證向量加法的結(jié)合律，即對(duì)任意向量成立證明：作向量（如下圖），則 故2. 設(shè)兩兩不共線，試證順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是證明：必要性，設(shè)的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形， 則充分性，作向量，由于所以點(diǎn)與重合，即三向量的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形。3. 試證三角形的三中線可以構(gòu)成一個(gè)三角形。證明：設(shè)三角形三邊的中點(diǎn)分別是（如下圖），并且記，則根據(jù)書(shū)中例1.1.1，三條中線表示的向量分別是所以，故由上題結(jié)論得三角形的三中線可以構(gòu)成一個(gè)三角形。4. 用向量法證明梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長(zhǎng)度和的一半。證明：如下圖，梯形兩腰中點(diǎn)分別為，記向量，則而向量與共線且同向，所以存在實(shí)數(shù)使得現(xiàn)在由于是的中點(diǎn)，所以且故梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長(zhǎng)度和的一半。5. 試證命題1.1.2。證明：必要性，設(shè)共面，如果其中有兩個(gè)是共線的，比如是，則線性相關(guān)，從而線性相關(guān)?，F(xiàn)在設(shè)兩兩不共線，則向量可以在兩個(gè)向量上的進(jìn)行分解，即作以為對(duì)角線，鄰邊平行于的平行四邊形，則存在實(shí)數(shù)使得，因而線性相關(guān)。充分性，設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得。不妨設(shè)，則向量可以表示為向量的線性組合，因此由向量加法的平行四邊形法則知道向量平行于由向量決定的平面，故共面。6. 設(shè)是不共線的三點(diǎn)，它們決定一平面，則點(diǎn)在上的充要條件是存在唯一的數(shù)組使得其中，是任意一點(diǎn)。在內(nèi)的充要條件是(*)與同時(shí)成立。證明：必要性，作如下示意圖，連接并延長(zhǎng)交直線于。則由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且。由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且。于是，設(shè)由，的唯一性知道的唯一性，則且。充分性，由已知條件有,得到，因而向量共面，即在決定的平面上。如果在內(nèi)，則在線段內(nèi)，在線段內(nèi)，于是，則。如果（*）成立且，則有，這說(shuō)明點(diǎn)在角內(nèi)。同樣可得到，這說(shuō)明點(diǎn)在角內(nèi)。故在內(nèi)。7. 在中，點(diǎn)分別在邊與上，且與交于，試證證明：作如下示意圖，由三點(diǎn)共線，存在使得，由三點(diǎn)共線，存在使得，由于有因而。由于向量不共線，所以，解此方程組得。由此得，。同理得到。故得8. 用向量法證明的三條中線交于一點(diǎn)，并且對(duì)任意一點(diǎn)有證明：設(shè)分別是邊的中點(diǎn)，則交于一點(diǎn)，連接。由三點(diǎn)共線，存在使，由三點(diǎn)共線，存在使，于是得，解得。從而有，然而，故，即三點(diǎn)共線，的三條中線交于一點(diǎn)。任取一點(diǎn)，由，得到，于是9. 用向量法證明四面體的對(duì)棱中點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，且對(duì)任意一點(diǎn)有證明：設(shè)四面體的棱的中點(diǎn)分別是，棱的中點(diǎn)分別是，如下圖。則對(duì)棱中點(diǎn)連線為。則容易知道，因此四邊形是平行四邊形，相交且交點(diǎn)是各線段的中點(diǎn)。同理也相交于各線段的中點(diǎn)，故交于一點(diǎn)。由以上結(jié)論知道，對(duì)任意一點(diǎn)，由是的中點(diǎn)，有，即10. 設(shè)是正邊形的頂點(diǎn)，是它的中心，試證證明：設(shè)，將正邊形繞著中心旋轉(zhuǎn)。一方面向量繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了角度而得到一個(gè)新的向量；另一方面，正邊形繞著中心旋轉(zhuǎn)后與原正邊形重合，因而向量沒(méi)有變化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故證法2：由于是正邊形的頂點(diǎn)，是它的中心，所以，其中。由三角不等式得到，故有。所以，由于，所以11. 試證：三點(diǎn)共線的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)使得且其中，是任意取定的一點(diǎn)。證明：必要性，如果三點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)重合，比如重合，則，所以結(jié)論成立。如果互不重合，由例1.1.1知道三點(diǎn)共線的充要條件是存在數(shù)使得，令，則不全為零，有， 。充分性，設(shè)且，則，由于不全為零，以及點(diǎn)的任意性，可知不全為零，否則也為零。所以不妨設(shè)，則，因而三點(diǎn)共線。習(xí)題1.21. 給定直角坐標(biāo)系，設(shè)，求分別關(guān)于平面，軸與原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：在直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)關(guān)于平面，軸與原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，。2. 設(shè)平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)在仿射標(biāo)架下，求點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)。解：作如下示意圖，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以=故在仿射標(biāo)架下，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以向量在仿射標(biāo)架下的坐標(biāo)為3. 設(shè)，求下列向量的坐標(biāo)：（1）；（2）。解：（1）（2）4. 判斷下列各組的三個(gè)向量是否共面？能否將表示成的線性組合？若能表示，則寫(xiě)出表示式。（1）（2）（3）解：（1）設(shè)即則有該方程組只有零解所以三向量不共面。（2）設(shè)即則有該方程組等價(jià)于由此得到只要不為零，就不為零，所以三向量共面。取，則所以即可表示成的線性組合。（3）設(shè)即則有該方程組等價(jià)于方程組有非零解（2，1，0），所以三向量共面。由于只能為零，故不能表示成的線性組合。5.在中，設(shè)是邊的三等分點(diǎn)，試用和表出與。6.設(shè)在一平面上取一個(gè)仿射標(biāo)架，上三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)證明：三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)，即展開(kāi)得展開(kāi)行列式得故命題成立。7.在中，設(shè)分別是直線上的點(diǎn)，并且證明共線當(dāng)且僅當(dāng) 證明：作如下示意圖，由于分別是直線上的定比分點(diǎn)，所以。建仿射標(biāo)架，由于；。所以在仿射標(biāo)架下的坐標(biāo)分別為。根據(jù)上題的結(jié)論，共線當(dāng)且僅當(dāng)展開(kāi)行列式即得到9. 試證命題1.2.1。證明：取定標(biāo)架，設(shè)向量（1） （2）（3）。習(xí)題1.31.設(shè)，求。解：由，得，所以2.已知，求。解：3.已知與垂直，與垂直，求。解：因?yàn)榕c垂直，與垂直，所以得到于是故4.證明：對(duì)任意向量都有當(dāng)與不共線時(shí)，說(shuō)明此等式的幾何意義。證明：當(dāng)與不共線時(shí)，此等式的幾何意義是以與為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和。5.下列等式是否正確？說(shuō)明理由（習(xí)慣上把記為 ）。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮叡硎鞠蛄浚疫吺菙?shù)。（2）正確，因?yàn)椤＃?）錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮呄蛄颗c共線，而右邊向量與共線。（4）錯(cuò)誤，因?yàn)椤＃?）錯(cuò)誤，因?yàn)樽筮呄蛄颗c共線，而右邊向量與共線。（6）錯(cuò)誤，因?yàn)榕c垂直。6.證明：三角形的垂直平分線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。證明：設(shè)三角形的兩條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，以為始點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量記為。則，由于是的垂直平分線，所以由此得到說(shuō)明是的垂直平分線，即三角形的垂直平分線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等。7.證明：設(shè)不共面，如果向量滿足則。證明：因?yàn)椴还裁?，所以可設(shè)。則故。8.用幾何方法證明：若都是實(shí)數(shù)，則有等號(hào)成立的充分必要條件是且分別同號(hào)。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，向量則由三角不等式得，并且等號(hào)成立的條件是向量同向，將坐標(biāo)代入就有等號(hào)成立的充分必要條件是且分別同號(hào)。習(xí)題1.41.設(shè)表示向量在與向量垂直的平面上的投影，則有。證明：由于表示向量在與向量垂直的平面上的投影（如下圖），則由構(gòu)成的平行四邊形的面積與構(gòu)成的矩形的面積相等，的方向相同，因而，。2.證明：。證明：，故。3.證明：若，,則與共線。證明：，故與共線。4. 證明：,并說(shuō)明其幾何意義。證明：以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線構(gòu)成的平行四邊形的面積等于為鄰邊的平行四邊形的面積的2倍。5. 在直角坐標(biāo)系中，已知，求與都垂直，且滿足如下條件之一的向量：（1）為單位向量；（2），其中。解：因?yàn)橄蛄颗c都垂直，所以可設(shè)，而。（1）因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?，即故。?）由，得于是。6.用向量法證明：（1）三角形的正弦定理；（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，式中，為三角形的面積，其中為三角形三邊的長(zhǎng)。證明：（1）設(shè)角對(duì)應(yīng)邊表示的向量為，由向量外積的模的幾何意義知道，于是，故。（2）。7.證明Jacobi恒等式。證明：由雙重外積公式。8.設(shè)，求滿足方程的點(diǎn)的軌跡。解：由外積的定義及外積模的幾何意義，點(diǎn)的軌跡在與垂直的平面上，且與過(guò)點(diǎn)平行于的直線的距離為的直線，而且保持右手系。習(xí)題1.51. 證明：。證明：如果共面，則。如果不共面，則，符合相同的右手或左手規(guī)則，因而有相同的符號(hào)，故。2.證明：不共面當(dāng)且僅當(dāng)不共面。證明：因?yàn)椋?。故不共面?dāng)且僅當(dāng)不共面。3.在右手直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)為，求它的體積。解：因?yàn)樗运拿骟w的體積4.證明Lagrange恒等式。證明：。5.證明：。證明：因?yàn)?，所以?.證明：。證明：左邊=右邊。7.證明：對(duì)任意四個(gè)向量有。證明：因?yàn)椋硭浴?.證明：若與不共線，則與不共線。證明：因?yàn)榕c不共線，所以由于，因而與不共