正弦定理-高歡（文）12-07-05.doc

第二章 解三角形正弦定理教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：要求學(xué)生掌握正弦定理的內(nèi)容及證明方法;能應(yīng)用正弦定理解三角形，并能解決實際問題.2.過程與方法：通過正弦定理研究，學(xué)習(xí)到不同解決問題的方法，也掌握解三角形可以轉(zhuǎn)化為不同的方式，從而進(jìn)一步理解等價轉(zhuǎn)化思想。3.情感、態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會解直角三角形是解斜三角形特殊情況，應(yīng)用解斜三角形，解決實際問題。教學(xué)重點: 正弦定理的證明及基本應(yīng)用.教學(xué)難點: 1.正弦定理的探索和證明; 2.已知兩邊一對角解三角形時,判斷解的個數(shù).授課類型：新授課課時安排：3課時過程：第一課時 一、引入： 1.引言：臺風(fēng)中心位于某沿海城市正東方向300千米處,正以40千米/ 小時的速度向西北方向移動,距離臺風(fēng)中心250千米范圍內(nèi)將會受到影響.如果臺風(fēng)風(fēng)速不變,那么該城市從何時起要遭受臺風(fēng)影響?這種影響會持續(xù)多長時間? 這道實際問題涉及到了在三角形中的邊角關(guān)系問題，即本章所要研究的解三角形問題.(引出課題) 2.直角三角形中的邊角關(guān)系， 二、知識探究 1特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即： c= c= c= = 2能否推廣到斜三角形？證法一：（面積法）在任意斜ABC當(dāng)中：SABC=ACVBV 兩邊同除以即得：=ACVBV 證法二：（向量）證二：過A作單位向量垂直于+= 兩邊同乘以單位向量 (+)=則：+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理：若過C作垂直于得： = =當(dāng)ABC為鈍角三角形時，設(shè) A90 過A作單位向量垂直于向量3、 得出結(jié)論1. 解三角形 :一般地，把三角形的三個角A,B,C和它的對邊a,b,c叫做三角形的元 素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形2. 正弦定理在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，即： =3. 三角形的面積公式4、 知識應(yīng)用 分析:透過本題讓學(xué)生認(rèn)識到利用正弦定理可以解決已知兩角和任意一邊的三角形問題解： 由 得 由 得 例2.在.分析:在上一例題的基礎(chǔ)上,本題進(jìn)一步鞏固利用正弦定理可以解決已知兩角和任意一邊的三角形問題,并鞏固新面積公式.5、 鞏固練習(xí) 1.見課本47頁練習(xí)1 六、小結(jié) 1. 解三角形 :一般地，把三角形的三個角A,B,C和它的對邊a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形2. 正弦定理 在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，即： =3. 三角形的面積公式4.可以應(yīng)用正弦定理解決已知兩角和任意一邊的三角形問題.正弦定理（第二課時）1. 復(fù)習(xí)回顧 1. 解三角形 : 一般地，把三角形的三個角A,B,C和它的對邊a,b,c叫做三角形的元 素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形 2. 正弦定理 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦比相等，即： =(適合于任何三角形) 3. 三角形的面積公式 4.可以應(yīng)用正弦定理解決已知兩角和任意一邊的三角形問題.2. 正弦定理在解三角形中的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角。例1. 在解：例2、在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解：B=4590且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當(dāng)A=60時，C=180-(A+B)=75,c=.當(dāng)A=120時，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=. 三小結(jié)：已知a， b和A， 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時: 四. 正弦定理的實際應(yīng)用 例3.臺風(fēng)中心位于某沿海城市正東方向300千米處,正以40千米/小時的 速度向西北方向移動,距離臺風(fēng)中心250千米范圍內(nèi)將會受到影響.如果臺風(fēng)風(fēng)速不變,那么該城市從何時起要遭受臺風(fēng)影響?這種影響會持續(xù)多長時間? 分析:這是我們在引言中提到的問題,我們要掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 五.作業(yè)：1. ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;2. ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a. 3.在ABC中，分別在下列條件下求B和c.b20，A60，a20；b20，A60，a10；b20，A60，a15.正弦定理（第三課時）一復(fù)習(xí)回顧1正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即 = 2正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角。已知a， b和A， 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:二正弦定理的擴(kuò)充(比值的幾何意義) =2R （R為ABC外接圓半徑） 分析 ： 如圖所示，AD 同理 =2R，2R3 利用正弦定理進(jìn)行邊角互換 正弦定理的變式： 1.邊的比等于對角正弦值的比： 2.設(shè)k， 則aksinA，bksinB，cksinC，（變換角）確切地為：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(其中R為外接圓半徑) sinA，sinB，sinC （角換邊）例1、已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，求的值.解：(這是角的關(guān)系)， (這是邊的關(guān)系).于是，得例2.在ABC中，若b2sin2C+c2