2017_18學年高中數學第03章3.2.1直線的點斜式方程3.2.2直線的兩點式方程試題.docx

3.2.1 直線的點斜式方程 3.2.2直線的兩點式方程一、直線的點斜式方程1直線的點斜式方程的定義已知直線l經過點，且斜率為k，則直線l的方程為 .這個方程是由直線上一定點及其斜率確定的，因此稱為直線的 ，簡稱 .當直線l的傾斜角為0時(如圖1)，,即k=0,這時直線l與x軸平行或重合，l的方程就是,或.當直線l的傾斜角為90時(如圖2)，直線沒有斜率，這時直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示.因為這時l上每一點的橫坐標都等于，所以它的方程是,或.深度剖析（1）當直線的斜率存在時，才能用直線的點斜式方程.（2）當取任意實數時，方程表示過定點的無數條直線.2直線的點斜式方程的推導如圖，設點是直線l上不同于點的任意一點，根據經過兩點的直線的斜率公式得 (1),即 (2).注意方程(1)與方程(2)的差異：點的坐標不滿足方程(1)，但滿足方程(2)，因此，點不在方程(1)表示的圖形上，而在方程(2)表示的圖形上，方程(1)不能稱為直線l的方程. 上述過程可以證明直線上每個點的坐標都是方程(2)的解.對上面的過程逆推，可以證明以方程(2)的解為坐標的點都在直線l上，所以這個方程就是過點,斜率為k的直線l的方程.二、直線的斜截式方程1直線的斜截式方程的定義我們把直線l與y軸交點的縱坐標b叫做直線l在y軸上的 .如果直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，則方程為，即 叫做直線的 ，簡稱 .當b=0時，表示過原點的直線；當k=0且b0時，表示與x軸平行的直線；當k=0且b=0時，表示與x軸重合的直線.深度剖析（1）縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可取一切實數，即可為正數、零或負數. 縱截距也可能不存在，比如當直線與y軸平行時.（2）由于有些直線沒有斜率，即有些直線在y軸上沒有截距，所以并非所有直線都可以用斜截式表示.2直線的斜截式方程的推導已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，求直線l的方程.這個問題相當于給出了直線上一點及直線的斜率k，求直線的方程，是點斜式方程的一種特殊情況，代入點斜式方程可得,即.三、直線的兩點式方程1直線的兩點式方程的定義已知直線過兩點,當時，直線的方程為 .這個方程是由直線上的兩點確定的，因此稱為直線的兩點式方程，簡稱兩點式.2直線的兩點式方程的推導已知直線過兩點(其中)，此時直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的.當時，所求直線的斜率.任取中的一點，例如取，由點斜式方程，得,當時，可寫為.四、直線的截距式方程1直線的截距式方程的定義已知直線過點，()，則由直線的兩點式方程可以得到直線的方程為 _.我們把直線與軸的交點的橫坐標叫做直線在軸上的_，此時直線在軸上的截距是 _.這個方程由直線在兩個坐標軸上的截距和確定，因此叫做直線的截距式方程，簡稱截距式.2直線的截距式方程的推導已知直線與軸的交點為，與軸的交點為，如圖，其中.將兩點,的坐標代入兩點式，得,即.五、中點坐標公式若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為,則.此公式為線段的中點坐標公式.六、直線系方程1過定點的直線系方程當直線過定點時，我們可設直線方程為.由此方程可知，k取不同的值時，它就表示不同的直線，且每一條直線都經過定點,當k取遍所允許的每一個值后，這個方程就表示經過定點的許多直線，所以把這個方程叫做過定點的直線系方程.由于過點與x軸垂直的直線不能被表示，因此直線系 ()中沒有直線.2平行直線系方程在斜截式方程中，若k一定，而b可變動，方程表示斜率為k的一束平行線，這些直線構成的集合我們稱之為平行直線系.K知識參考答案：一、 點斜式方程 點斜式二、截距 斜截式方程 斜截式三、四、 截距 五、 K重點直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程，根據直線方程判定兩直線的平行與垂直K難點直線系問題、直線方程的綜合應用K易錯忽略直線重合的情形或直線方程成立的條件致錯、忽略直線方程的局限性致錯1直線的點斜式方程用點斜式求直線的方程，確定直線的斜率和其上一個點的坐標后即可求解.【例1】已知點和直線l：.求：（1）過點A且與直線l平行的直線方程；（2）過點A且與直線l垂直的直線方程.【例2】已知在第一象限的中,A(1,1),B(5,1),且CAB=60,CBA=45,求邊AB,AC和BC所在直線的點斜式方程.【解析】由A(1,1),B(5,1)可知邊AB所在直線的斜率為0,故邊AB所在直線的方程為y-1=0.由ABx軸,且在第一象限，知邊AC所在直線的斜率kAC=tan 60=,邊BC所在直線的斜率kBC=tan(180-45)=-1,所以,邊AC所在直線的方程為y-1=(x-1),邊BC所在直線的方程為y-1=-(x-5).2直線的斜截式方程根據斜率和截距的幾何意義判斷k，b的正負時，（1）直線呈上升趨勢；直線呈下降趨勢；直線呈水平狀態(tài).（2）直線與y軸的交點在x軸上方；直線與y軸的交點在x軸下方；直線過原點.【例3】已知直線l與直線y=-2x+3的斜率相同,且在y軸上的截距為5,求直線l的斜截式方程,并畫出圖形.【解析】因為直線l與直線y=-2x+3的斜率相同,所以直線l的斜率為-2.又直線l在y軸上的截距為5,所以直線l的斜截式方程為y=-2x+5.在直線l上取一點(1,3),作出圖形如圖所示.【名師點評】直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊情形.【例4】已知直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，求直線l的方程.3直線的兩點式方程已知直線上兩點的坐標求解直線方程，可直接將兩點的坐標代入直線的兩點式方程，化簡即得.代入點的坐標時注意橫縱坐標的對應關系.若點的坐標中含有參數，需注意當直線平行于坐標軸或與坐標軸重合時，不能用兩點式求解.【例5】已知三角形的三個頂點(4，0)，B(0，3)，C(2，1)，求：(1)BC邊所在的直線的方程；(2)BC邊上中線所在的直線的方程.4直線的截距式方程（1）由已知條件確定橫、縱截距.（2）若兩截距為零，則直線過原點，直接寫出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式中，可得所求的直線方程（3）如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標軸上的截距相等、截距互為相反數或在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上的截距的多少倍等條件時，采用截距式求直線方程時一定要注意考慮“零截距”的情況.【例6】已知直線過點，且在兩坐標軸上的截距之和為12，求直線的方程【解析】設直線的方程為，則，又直線過點，由得或.直線的方程為或，即或5中點坐標公式的應用（1）利用中點坐標公式可求以任意已知兩點為端點的線段的中點坐標.（2）從中點坐標公式可以看出線段中點的橫坐標只與的橫坐標有關，中點的縱坐標只與的縱坐標有關.【例7】已知，則過點和線段的中點的直線方程為ABCD【答案】B【解析】由題意可知線段的中點坐標為，即.故所求直線方程為，整理，得，故選B.6直線過定點問題本題考查了直線過定點的問題，實際上就是考查直線方程的點斜式，同時要利用數形結合的思想解題. 若直線存在斜率，則可以把直線方程化為點斜式的形式，無論直線的斜率k取何值時，直線都過定點.【例8】已知直線.（1）求證：直線l過一個定點；（2）當時，直線上的點都在x軸上方，求實數k的取值范圍【解析】（1）由，得由直線方程的點斜式可知，直線過定點（2）設函數，顯然其圖象是一條直線(如圖)，若使時，直線上的點都在x軸上方，需滿足,即,解得.所以實數k的取值范圍是.7直線的平移規(guī)律直線上下(或沿y軸)平移個單位長度，得(上加下減)；直線左右(或沿x軸)平移個單位長度，得(左加右減).【例9】已知直線，將直線向上平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度得到直線，則直線的方程為 .【答案】【解析】根據直線的平移規(guī)律，可得直線的方程為，即.8點斜式和斜截式的實際應用由直線的斜截式方程與一次函數的表達式的關系，利用一次函數的圖象和性質求出直線方程，可以解決實際問題.9忽略了直線重合的情形致錯【例11】已知直線，當時，求m的值.【錯解】的斜率，的斜率也一定存在，由的方程得,由,得,解得或.m的值為3或.【錯因分析】忽略了直線重合的情況，從而導致錯誤.【誤區(qū)警示】當兩直線的斜率存在時，兩直線平行的等價條件是斜率相等且縱截距不相等，做題時容易忽略縱截距不相等，從而導致錯解.10忽略直線方程的局限性致錯【例12】求經過點，并且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程.【錯解】設直線方程為,將代入，得,解得.故所求的直線方程為.【錯因分析】截距相等包含兩層含義，一是截距不為0時的相等，二是截距為0時的相等，而后者常常被忽略，導致漏解.【正解】（1）當截距為0時，直線過點，直線的斜率為,直線的方程為,即.（2）當截距不為0時，可設直線的方程為,直線過點，直線的方程為.綜上，直線的方程為或.【誤區(qū)警示】不同形式的方程均有其適用條件，在解題時應注意截距式方程的應用前提是截距均不為0且不垂直于坐標軸.1經過點(2,2)，傾斜角是60的直線方程是Ay2(x2) By2(x2)Cy2(x2)Dy2(x2)2直線的方程A可以表示任何直線B不能表示過原點的直線C不能表示與y軸垂直的直線D不能表示與x軸垂直的直線3直線過一、二、三象限，則Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b04直線的圖象可能是5與直線垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是A By=2x4Cy=2x4 D6在y軸上的截距是3，且經過A(2，1)，B(6,1)中點的直線方程為A B C D7已知直線l1過點P(2，1)且與直線l2：yx1垂直，則l1的點斜式方程為 8直線必過定點 9斜率與直線的斜率相等，且過點的直線的斜截式方程是 .10已知中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0),則中平行于BC邊的中位線所在直線的兩點式方程是 .11寫出下列直線的點斜式方程:(1)經過點A(2,5),且與直線y=2x+7平行;(2)經過點C(-1,-1),且與x軸平行.12已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l的斜截式方程13已知的頂點是，直線平行于，且分別交邊、于、，的面積是面積的(1)求點、的坐標；(2)求直線的方程14兩直線與的圖象可能是圖中的 A B C D15若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2過定點 A(0,4)B(0,2)C(-2,4)D(4,-2)16若三點共線，則 .17已知直線l過定點A(2，3)，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程1234561415BDCBDBBB1【答案】B【解析】ktan60，則點斜式方程為y2(x2)5【答案】D【解析】因為所求直線與y=2x1垂直，所以設直線方程為.又因為直線在y軸上的截距為4，所以直線的方程為.6【答案】B【解析】易知A(2，1)，B(6,1)的中點坐標為(4,0)，即直線在x軸上的截距為4，則所求直線的方程為.7【答案】y1(x2)【解析】根據題意可知直線l1的斜率為1，所以l1的點斜式方程為y1(x2)8【答案】(3，2)【解析】將直線方程變形為y2=a(x3)，由直線方程的點斜式可知，直線過定點(3，2)9【答案】【解析】因為所求直線的斜率與直線的斜率相等，所以所求直線的斜率.又直線過點，所以直線方程為，所以直線的斜截式方程為.11【解析】(1)由題意知,直線的斜率為2,所以其點斜式方程為y-5=2(x-2).(2)由題意知,直線的斜率k=tan 0=0,所以直線的點斜式方程為y-(-1)=0,即y=-1.12【解析】由題意知，直線l的斜率為，故可設直線l的方程為，所以直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為b，所以，所以直線l的方程為