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橢圓的標準方程知識點復習知識點一：橢圓的定義1.平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距. 注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.2.橢圓標準方程 的推導（1）取過焦點、的直線方程為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系設M（，）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c，則、的坐標分別是（-c，0）、（c，0）。橢圓就是集合P=因為=，=,所以+=2移項，得=2-，兩邊平方，得，整理，得，=-cx兩邊再平方，得，=整理，得，由橢圓定義可知，22c,即c,所以0設=（b0）,得（b0）兩邊同時除以，得，此方程為橢圓的標準方程其焦點在軸上，焦點坐標（-c,0）、(c,0), 、b、c滿足關系式（2）以同樣的方法推導焦點在軸上，標準方程：，其焦點（0，-c）、(0，c,)知識點二：橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注意：1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；3.注意的問題（1）方程均不為零，且A0,B0),只要求出A,B的值即可。（2）橢圓的焦點總在長軸上，因此可以通過標準方程判斷焦點的位置，其方法是：看，的分母大小，哪個大就在哪個坐標軸上。知識點三：求橢圓標準方程的常用方法1. 待定系數(shù)法由題目的條件能確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法，其主要步驟可歸納為“先定型，再定量”。例題：已知橢圓的兩個焦點坐標分別為（-3,0），（3,0），橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于8，求它的標準方程解：設橢圓的標準方程為。由已知得，2=8，=4，又c=3，故因此，所求的橢圓的標準方程為2. 定義法先分析題設條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程，這種方法叫做定義法。例題：已知B、C是兩個定點，BC=6，且ABC的周長等于16，求頂點A的軌跡方程。解：如圖所示，建立坐標系，使軸經(jīng)過點B,C，原點O與BC的中點重合。y由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即點A的軌跡是橢圓，且2c=6,2=16-6=10.c=3，=5，OCBA但當點A在直線BC上，即y=0時，A、B、C三點共線不能構(gòu)成一個三角形，點A的軌跡方程式知識點四：例題解析1. 應用橢圓的定義解題例1：橢圓的焦點為和，點P在橢圓上，如果線段P的中點在y軸上，那么P是P的（ ）A7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解析：不妨設（-3,0）、（3,0），由條件知P（3，），即P=，由橢圓的定義知P+P=2=4，P=，P=，即P=7P.故選A。例2 ABC中，BC=24，AC、BC邊上的中線長之和等于39，求ABC的重心的軌跡方程。分析：由一定長線段BC，兩邊上的中線長也均與定點B、C和ABC的重心有關系，因此考慮以BC的中點為原點建立坐標系。解：如圖所示，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系。設M是ABC的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知BM=BD，CM=CE。于是BM+CM=（BD+CE）=39=26. xXyXABXCXOXDXEXMX根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡方程是以B、C為焦點的橢圓2=BM+CM=26 =13又2c=BC=24, c=12 由于M是ABC的重心，所有M不能跟B、C三點共線，故y0故所求的橢圓的標準方程為2.用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程例3 求合適下列條件的橢圓的標準方程（1） 兩個焦點的坐標分別是（-4,0）、（4,0），橢圓上任意一點P到兩焦點距離的和等于10；（2） 兩個焦點的坐標分別是（0，-2）、（0,2），并且橢圓經(jīng)過點（，）。分析：根據(jù)橢圓的焦點位置，再設出橢圓的標準方程，從而確定a，b的值。解：（1）橢圓的焦點在x軸上， 設它的標準方程為 c=4， 2=10 =9 所求的橢圓的方程為 （2）橢圓的焦點在y軸上 設它的標準方程為 2= 即=又c=2，=6所求橢圓的方程為例4 求經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓由共同焦點的橢圓方程。分析：橢圓的焦點為（0，），因此可設所求橢圓的方程為，由題意確定即可。解：橢圓的焦點為（0，），則可設所求橢圓的方程為把x=2，y=-3代入，得，解得=10或=-2（舍去）所求橢圓的方程為總結(jié)：一般地，與橢圓共同焦點的橢圓可設其方程為3. 求軌跡方程例5 在ABC中，A，B, C所對的邊分別為，b，c，且B（-1,0）、C(1,0),求滿足bc，且b，c成等差數(shù)列是頂點A的軌跡。解：b，c成等差數(shù)列 b+c=2=2=4即AB+AC=4BC=2由橢圓的定義知，動點A的軌跡是以B、C為焦點，以4為長軸長的橢圓。又橢圓中2=4,2c=2， =2，b=A點的軌跡方程是又ACAB A點的軌跡是橢圓的左半部分，還必須除去（0，）、（-2,0）兩點例6 在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持PA+PB的值不變，求曲線E的方程。xyBACO分析：要求曲線E的方程，需建立適當?shù)淖鴺讼?，注意到條件PA+PB是定值，由橢圓的定義知，曲線E的方程為橢圓。解：建立如圖的坐標系，在RtABC中，BC=PA+PB=CA+CB=且PA+PBAB由橢圓定義知，動點P的軌跡E為橢圓，=，c=1，b=1所求曲線E的方程是例7 已知點M在橢圓上，MP垂直于橢圓焦點所在的直線，垂直為P，并且M為線段PP的中點，求P點的軌跡方程。分析：因點P與點M的坐標間存在一定關系，故可用相關點法求軌跡方程。解：設P點坐標為（x，y），M點的坐標為（，），由題意可知P點的坐標為（x，0）點M在橢圓上，M是線段P P的中點 =x =把=x，=代入得P點的軌跡方程為例8 如圖所示，線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，AB=5，點M是AB上一點，且AM=2，點M隨線段AB的運動而變化，求點M的軌跡方程。解：設A（，0），B（0，），M（x，y），依題意得AB=5即又AM=2，AM：MB=2:3點M內(nèi)分有向線段AB，且 將，代入并整理，得點M的軌跡方程為4. 焦點三角形問題例9 如圖所示，點P是橢圓上的一點，和是焦點，且P=30，求P的面積Y解：在橢圓中，=，b=2 c=1 XO又點P在橢圓上，P+P=2=2 由余弦定理知P+P-2PPcos30= =（2c）=4 式兩邊平方得，P+P+2PP=20 -得，（2+）PP=16， PP=16（2-）S=PPsin30=8-45. 數(shù)形結(jié)合例10 已知動圓M過定點A（-3,0），并且在定圓B：（x-3）+y=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程。解：如圖所示，設動圓M和定圓B內(nèi)切與C，動圓圓心M到兩定點A（-3,0）、B（3,0） 的距離之和恰好又等于定圓的半徑，即MA+MB=MC+MD= xyBAOCMBC=8動圓圓心M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，并且2=8，2c=6，b=橢圓的方程是6. 求定值問題例11 如圖，點M為橢圓上一點，橢圓兩焦點為、，且2=10,2c=6，點I為M的內(nèi)心，延長MI交于，求的值。xyONM解：I為M的內(nèi)心， I平分角 M同理=7. 最值問題例12 已知A（4,0），B（2,2）是橢圓內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，求MA+MB的最大值和最小值。分析：A是橢圓的右焦點，利用橢圓的定義可把到兩定點距離之和轉(zhuǎn)化為距離之差，利用三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊求解。xyMAFOB解：如圖所示，由，得=5，b=3，c=4點A（4,0）為橢圓的一個焦點，另一個焦點為F（-4,0）MA+MF=10MA+MB=10-MF+MB在BMF中，兩邊之差的絕對值小于第三邊，且BF=2-2=-BFMB-MFBF=210-2MA+MB10+2，當F、B、M三點共線時等號成立MA+MB的最大值為10+2，最小值為10-2。橢圓的簡單幾何性質(zhì)知識點一：橢圓的范圍由標準方程可知，橢圓上點的坐標為（x，y）都適合不等式，知識點二：橢圓的對稱性1. 判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)若把方程中的x換成-x，方程不變，則曲線關于y軸對稱若把方程中的y換成-y，方程不變，則曲線關于x軸對稱若把方程中的x，y換成-x、-y，方程不變，則曲線關于原點對稱2. 橢圓關于x軸、y軸對稱也關于原點對稱對于橢圓標準方程，把x換成-x，或y換成-y，或把x、y換成-x、-y方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。知識點三：橢圓的頂點 橢圓與坐標軸的交點令x=0，得y=b；令y=0，得x=a這說明A（-a，0）， A（a，0）是橢圓與x軸的兩個交點，B（0，-b），B（0，b）是橢圓與y軸的兩個交點。因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以，橢圓和它的對稱軸由四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點。 橢圓的長軸、短軸線段AA叫做橢圓的長軸，它的長為2a，a叫做橢圓的長半軸的長線段BB叫做橢圓的短軸，它的長為2b，b叫做橢圓短半軸的長。知識點四：橢圓：的離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；知識點五：橢圓：的焦半徑公式焦半徑，知識點六：橢圓：的準線準線的方程：x=知識點七：橢圓的第二定義 平面內(nèi)一動點P到一定點的距離與到定直線的距離等于一個常數(shù)e（e1 ），這動點P的軌跡方程為橢圓。集合表示：P=P知識點八：例題講解1. 橢圓的幾何性質(zhì)的簡單應用例1：已知橢圓的離心率e=，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點的坐標、頂點坐標。解：橢圓方程可化為m-=0 m即=m，b=，c=由e=得，=， e=1橢圓的標準方程為 a=1，b=，c=。橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點坐標分別為（-，0），（，0）；四個頂點分別為A（-1,0）、A（1,0），B（0，-）、B（0，）例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程（1） 經(jīng)過點P（-3,0），Q（0,-2）；（2） 長軸長為20，離心率等于解：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)知，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，所有P、Q分別是橢圓的長軸和短軸的一個端點，于是有a=3，b=2。又長軸在x軸上，所以所求的橢圓的標準方程為（2）由已知2a=20，e= a=10，c=6，b=8由于橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，所求的橢圓的標準方程為2. 求橢圓的離心率例3 橢圓的左焦點為（-c，0），A（-a，0）、B（0，b）是兩個頂點，如果到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e=解析：要求e的值，就是要求出a，c的值或者a與c的關系，為此需利用到直線AB的距離為建立方程，從而求解。xyOBAPF1如圖所示，過點作PAB，交AB與P，=，A=a-c，P=，由AB面積公式得.=（a-c）.b又 整理，得8即e=（舍去）3. 直線與橢圓例4 已知橢圓及直線y=x+m（1） 當直線和橢圓由公共點時，求實數(shù)m的取值范圍。（2） 求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程。解：（1）由與y=x+m聯(lián)立得：因為直線與橢圓有公共點，所以=，解得（2）設直線與橢圓交于A（、B）由（1）得，由根與系數(shù)的關系知，所以d=所以當m=0是，d最大，此時直線的方程為y=x。4.橢圓典型例題應用【例1】 若點M到兩定點F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1）的距離之和為2，則點M的軌跡是 （ ）.橢圓 .直線 .線段 .線段的中垂線.【例2】已知圓，圓內(nèi)一定點（3，0），圓過點且與圓內(nèi)切，求圓心的軌跡方程. 【例3】已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)部分上找一點P，使它到左準線的距離是它到兩焦點F1，F(xiàn)2距離的比例中項.【例4】點P（x，y）在橢圓上，則的最大值為 （ ）A.1 B.-1 C. D. 【例5】求證：過橢圓上一點的切線方程為：.【例6】已知橢圓和圓總有公共點，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）【例8】在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點，離心率為的橢圓.設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x,y軸的交點分別為A,B且向量OM=OA+OB.試求點M的軌跡方程【例9】若P是橢圓上的點，F(xiàn)1和F2是焦點，則的最大值和最小值分別是 【例10】如圖1，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準線l的方程為：x = 12。（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上任取三個不同點，使， 證明為定值，并求此定值.若A為橢圓內(nèi)一定點（異于焦點），P是C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，e是C的離心率，求的最小值。例1. 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求的最小值。若A為橢圓C內(nèi)一定點（異于焦點），P為C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，求的最值。例2. 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求的最大值與最小值。若A為橢圓C外一定點，為C的一條準線，P為C上的一個動點，P到的距離為d，求的最小值。例3. 已知橢圓外一點A（5，6），為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到的距離為d，求的最小值。橢圓上定長動弦中點到準線距離的最值例4. 定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點