1.3.1函數(shù)的單調(diào)性例題.doc

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性題型一、利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.作出下列函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1） ; （2）;（3） ; （4）相應(yīng)作業(yè)1：課本P32第3題.題型二、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值 作差變形 定號(hào) 下結(jié)論取值，即_；作差變形,作差_,變形手段有_、_、_、_等；定號(hào)，即_;下結(jié)論，即_。例2.用定義法證明下列函數(shù)的單調(diào)性（1） 證明：在上是減函數(shù).定義法證明單調(diào)性的等價(jià)形式：設(shè)，,那么在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).(2) 證明：在其定義域內(nèi)是減函數(shù)；（3） 證明：在上是增函數(shù)；法一： 作差 法二：作商（4） 已知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，試判斷在上的單調(diào)性，并給出證明過(guò)程；方法技巧歸納判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：1、 直接法：熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；如，練習(xí)冊(cè)P27（2）P31（上5、1）2、 圖象法；3、 定義法；4、 運(yùn)算性質(zhì)法：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有相同的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有相反的單調(diào)性；當(dāng)函數(shù)恒不等于零時(shí)，與單調(diào)性相反；若，則與具有相同的單調(diào)性；若、的單調(diào)性相同，則的單調(diào)性與之不變；即：增+增=增 減+減=減若、的單調(diào)性相反，則的單調(diào)性與同.即：增-減=增 減-增=增 注意：（1）可熟記一些基本的函數(shù)的單調(diào)性，一些較復(fù)雜的函數(shù)可化為基本函數(shù)的組合形式，再利用上述結(jié)論判斷；（2）與的單調(diào)性不能確定.相應(yīng)作業(yè)2：（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性（）；（2）務(wù)必記住“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（見(jiàn)練習(xí)冊(cè)P29探究之窗.探究1）知識(shí)拓展復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（難點(diǎn)）一、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)合函數(shù)的定義：如果函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镃，則當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)為與在D上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫內(nèi)層函數(shù)，叫外層函數(shù)。二、引理1 已知函數(shù)y=fg(x).若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)y=f(t)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù). 引理2 已知函數(shù)y=fg(x).若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)y=f(t)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).引理1的證明：重要結(jié)論1：復(fù)合法則若則增增增減減增增減減減增減規(guī)律可簡(jiǎn)記為“_”（四個(gè)字）重要結(jié)論2：若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡(jiǎn)單函數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定:若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).規(guī)律可簡(jiǎn)記為“_”（四個(gè)字）題型三、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） （2）小結(jié)：1、注意：（1）求單調(diào)區(qū)間必先求定義域；（2） 單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；（3） 寫(xiě)多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間不能用“”并起來(lái)，應(yīng)用“，”隔開(kāi).2、 判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性步驟：求函數(shù)的定義域；將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：與；確定兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；由復(fù)合法則“同増異減”得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性.相應(yīng)作業(yè)3：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） （2）（3）單調(diào)性的應(yīng)用題型四、比較函數(shù)值的大小例4.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，試比較與的大小.題型五、已知單調(diào)性，求參數(shù)范圍例5.已知函數(shù)（1） 若的減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)的值；（2） 若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例6.若函數(shù)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型六、利用單調(diào)性，求解抽象不等式例7.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例8.已知是定義在上的增函數(shù)，且，且，解不等式.相應(yīng)作業(yè)4：已知是定義在上的增函數(shù)，且，且，解不等式. 題型七、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷定義法解決此類問(wèn)題有兩種方法：“湊”，湊定義或湊已知條件，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論；賦值法，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.例9.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，求證：在R上單調(diào)遞增.例10.已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意、，恒有，且當(dāng)時(shí)，判斷在上單調(diào)性.相應(yīng)作業(yè)5：定義在上的函數(shù)對(duì)任意、，滿足，且當(dāng)時(shí).（1） 求的值；（2） 求證：；（3）求證：在上是增函數(shù)；（4）若，解不等式；函數(shù)的最大（?。┲?、 函數(shù)的最大（小）值定義2、 利用單調(diào)性求最值常用結(jié)論（1） 若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；（2） 若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，則，；（3） 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)無(wú)最值，但值域?yàn)?；?） 若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，那么函數(shù)，在處有最大值，即；（5） 若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，那么函數(shù)，在處有最小值，即.題型八、單調(diào)性法求函數(shù)最值（值域）例11、（1）函數(shù)在上的最大值為_(kāi),最小值為_(kāi);（2） 函數(shù)在上的最大值為_(kāi),最小值為_(kāi);（3） 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi);（4） 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi);（5） 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi);（6）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi);二次函數(shù)的區(qū)間最值的求法二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值，常見(jiàn)類型：（1） 定軸定區(qū)間：對(duì)稱軸與區(qū)間均是確定的；（2） 動(dòng)軸定區(qū)間：（3） 定軸動(dòng)區(qū)間：（4） 動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間：1、 定軸定區(qū)間可數(shù)形結(jié)合，較易解決，注意對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系。例12.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.相應(yīng)作業(yè)6：求函數(shù)在上的最值.2、動(dòng)軸定區(qū)間例13.已知函數(shù)，求在上的最值.動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題一般解法：對(duì)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、右側(cè)、內(nèi)部三種情況進(jìn)行討論，從而確定最值在區(qū)間端點(diǎn)處還是在頂點(diǎn)處取得.相應(yīng)作業(yè)7：