八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全部概念小結(jié).doc

第十一章全等三角形一、全等三角形形的定義1、能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。注意：（）兩個(gè)三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。（）“能夠完全重合”是指在一定的疊放下，可以完全重合，不是胡亂擺放都能重合。、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等、三角形全等的識(shí)別方法（）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”和“”。（）兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”和“”。（）兩角和他們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”和“”。（）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”和“”。（）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”和“”。注意：、不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。4、三角形全等的證明思路找?jiàn)A角（）已知兩邊找直角找另一邊找邊的對(duì)角（）已知一邊一角邊為角的鄰邊找?jiàn)A角的另一邊找?jiàn)A邊的另一角邊為角的對(duì)邊找任意一角（）已知兩角找?jiàn)A邊找任意一邊5、全等變換一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換，三種基本全等變換：（）旋轉(zhuǎn)；（）翻折；（）平移。二、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理、性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。注意：（）定理作用：a.證明線段相等；b.為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。（）點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度。、逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上。、三角形的內(nèi)心利用角的平分線的性質(zhì)定理可以導(dǎo)出：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三邊的距離相等。說(shuō)明：（）三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等。 （）三角形兩個(gè)外角的角平分線也交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三邊所在的直線的距離相等。（）三角形外角角平分線的交點(diǎn)共有個(gè)，所以到三角形三邊所在的直線的距離相等的點(diǎn)共有個(gè)。第十二章軸對(duì)稱一、軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱。如：正方形、長(zhǎng)方形、圓形一定是軸對(duì)稱圖形；三角形、四邊形、梯形不一定是軸對(duì)稱圖形；平行四邊形一定不是軸對(duì)稱圖形。注意：（）一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，如正方形有條對(duì)稱軸、長(zhǎng)方形有條對(duì)稱軸、圓形有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸、正三角形有條對(duì)稱軸、正n邊形有n條對(duì)稱軸。（）軸對(duì)稱圖形需要注意的重點(diǎn)：一個(gè)圖形；沿一條直線折疊，對(duì)折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）。二、軸對(duì)稱的概念：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)。注意：（）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。（）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。三、軸對(duì)稱的性質(zhì)：、關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；、如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。注意：（）全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。（）性質(zhì)的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖形的主要依據(jù)。四、軸對(duì)稱作（畫(huà)）圖：、畫(huà)圖形的對(duì)稱軸（）觀察分析圖形，找出軸對(duì)稱圖形的任意一組對(duì)稱點(diǎn)；（）連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)；（）畫(huà)出以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線。、如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對(duì)稱軸。注意：對(duì)于（）來(lái)說(shuō)，對(duì)稱點(diǎn)要找準(zhǔn)，特別是較復(fù)雜的軸對(duì)稱圖形，要認(rèn)真地觀察、分析，必要時(shí)要?jiǎng)邮植僮鲗?shí)踐一下；對(duì)于對(duì)稱軸有兩條或兩條以上的圖形，要從各個(gè)角度找對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于（）是找一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的方法。、畫(huà)某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法（）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的（對(duì)稱軸）的垂線，標(biāo)出垂足；（）在這條直線的另一側(cè)從垂足出發(fā)截取相等的線段，那個(gè)截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)。、畫(huà)已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形（）畫(huà)出圖形的某些點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；（）把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形。注意：“某些點(diǎn)”是指能確定圖形形狀和大小及位置的關(guān)鍵點(diǎn)。如果是多邊形， “某些點(diǎn)”就是指所有的頂點(diǎn)；如果是線段，“某些點(diǎn)”就是指線段的兩個(gè)端點(diǎn)；如果是直角，“某些點(diǎn)”就是指角的頂點(diǎn)與角兩邊上每一邊一個(gè)任意點(diǎn)，其余類推。五、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系：軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)別指兩個(gè)圖形而言；指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。對(duì)一個(gè)圖形而言；指一個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián)系都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。六、軸對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸：名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置線段是條垂直平分線或線段所在的直線角是條角平分線所在的直線長(zhǎng)方形是條對(duì)邊中線所在的直線正方形是條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線所在的直線圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是條七、軸對(duì)稱變換的概念：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換。八、軸對(duì)稱變換的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：規(guī)律：對(duì)稱軸方向、位置發(fā)生變化，得到的圖形的方向、位置也發(fā)生變化；性質(zhì)：、由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形的形狀、大小完全相同； 、新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)； 、連結(jié)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分； 、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看做由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到的； 、一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看做以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)展而成的。九、線段垂直平分線的概念：、垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；、線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。十、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。注意： 、“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩條線段相等；、若垂直平分線段，可得到： 是等腰三角形； 是底邊上的高和中線，也是頂角的平分線； 不僅，取上任意一點(diǎn)都有。十一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。注意：（）“和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?！钡淖饔檬牵号卸ㄒ稽c(diǎn)在線段的垂直平分線上；（）等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上；（）如果兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線。十二、三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。注意：（）“三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等?！钡淖饔檬牵鹤C明線段相等；（）三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線上；（）證明三線共點(diǎn)，可先找到兩直線交點(diǎn)，再證明第三條直線也過(guò)這一點(diǎn)即可；（）銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)恰是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部；（）此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)不共線的點(diǎn)距離相等的作圖方法，只需順次連結(jié)這三點(diǎn)組成一個(gè)三角形，作這個(gè)三角形的兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求。十三、等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定：1、概念：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角，頂角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。2、性質(zhì)：（）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線是對(duì)稱軸；（）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“等邊對(duì)等角”）；（）等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。（）等腰三角形的兩邊相等，即兩腰相等。3、判定：（）有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；（）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么，這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）。注意：（）等腰三角形的判定和性質(zhì)的關(guān)系：等腰三角形的定義既體現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)，也可以作為判定，等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”和等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”互為逆定理；（）“等角對(duì)等邊”在同一三角形內(nèi)證兩條邊相等的應(yīng)用極為廣泛，往往通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)得角相等，則可得邊相等；（）底角為頂角倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形。十四、等邊三角形的定義、性質(zhì)、判定：1、 定義：三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。注意：（）由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形，因而等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)；（）等邊三角形有三條對(duì)稱軸，故三邊上均有“三線合一”的性質(zhì)，其三條中線交于一點(diǎn)，稱其為 “中心”。2、性質(zhì)：等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于，每一個(gè)外角都等于。3、判定：（）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（）有一個(gè)內(nèi)角是的等腰三角形是等邊三角形；（）任意一腰和底邊相等的等腰三角形是等邊三角形。注意：（）四個(gè)判定定理的前提不同，判定（）和判定（）是在三角形的條件下，判定（）和判定（）是在等腰三角形的條件下；（）計(jì)算出三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等（或都為），然后根據(jù)“等角對(duì)等邊”可說(shuō)明一個(gè)三角形是等邊三角形。十五、含角的直角三角形的性質(zhì)：如果在直角三角形中有一個(gè)銳角為，那么角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。注意：性質(zhì)是由等邊三角形的性質(zhì)得出的，它的主要作用是能解決直角三角形中的有關(guān)線段長(zhǎng)度、線段關(guān)系、角的度數(shù)等的計(jì)算問(wèn)題，特別在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用更廣泛。第十三章實(shí)數(shù)一、平方根、算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)、算術(shù)平方根的概念及其性質(zhì)（）一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，即2= a，那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù)。（）一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根仍為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，當(dāng)式子有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)。、平方根的概念及其性質(zhì)（） 如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根，這就是說(shuō)，如果x=a，那么叫做a的平方根。正數(shù)a的正的平方根表示為“”或“”，其中a叫做被開(kāi)放數(shù)；“”中的2叫做根指數(shù)（一般可省去不寫(xiě)）；“”或“”讀作“二次根號(hào)a”或“根號(hào)a”；正數(shù)a的負(fù)的平方根表示為“”或“”；正數(shù)a的平方根表示為，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。（） 一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。、開(kāi)平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。注意：（）被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)（非負(fù)數(shù)即指正數(shù)和零）；（）平方運(yùn)算與開(kāi)平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。、平方根（或算術(shù)平方根）的幾個(gè)公式（）式子有意義的條件為。（）表示的算術(shù)平方根，是非負(fù)數(shù)，即。 （） （）（）（），（）（）。二、立方根的概念及其性質(zhì)、如果一個(gè)數(shù)的立方等于，即，那么就稱這個(gè)數(shù)為的立方根（或三次方根）。的立方根（或三次方根）表示為，其中為被開(kāi)方數(shù)，“”符號(hào)中的為根指數(shù)（這個(gè)數(shù)不能省略）；讀作“三次根號(hào)”或“的立方根”。、任意數(shù)都有立方根，正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根仍為零。、有關(guān)立方根的補(bǔ)充說(shuō)明和兩個(gè)公式（）在中，被開(kāi)方數(shù)可為正數(shù)、零，也可為負(fù)數(shù)。即的正負(fù)與一致。（）=（）(a) =a、開(kāi)立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方運(yùn)算。開(kāi)立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。三、實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（）實(shí)數(shù)的相反數(shù)為，零的相反數(shù)是其本身，若與互為相反數(shù)，則；反之亦然。（）實(shí)數(shù)的倒數(shù)為/（）。若與互為倒數(shù)，則；反之亦然。（）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示為，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。 即 （）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。已知實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，則有、分別表示點(diǎn)、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，這正是絕對(duì)值的幾何意義。在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)都大于；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，即對(duì)于負(fù)數(shù)、，有。四、實(shí)數(shù)的概念及其分類實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱，有如下分類：（）按定義分類整數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)理數(shù)：即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（）按正負(fù)分類 正整數(shù) 正有理數(shù)正分?jǐn)?shù) 正實(shí)數(shù) 正無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)零負(fù)整數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算和它們之間的混合運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用，且滿足運(yùn)算律。 交換律：， 結(jié)合律：（）（），（）（） 分配率：（）六、實(shí)數(shù)的大小比較數(shù)軸比較法；代數(shù)比較法；差值比較法；商值比較法；倒數(shù)比較法：若1/a1/b,a0,b0,則ab；平方比較法：，則；開(kāi)方比較法：若a0，b0，則；七、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（）已知實(shí)數(shù)，則0，0，0（為正整數(shù)）。（）任意非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和偶次方根還是非負(fù)數(shù)，即0，0（為正整數(shù)）。（）若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為，那么這兩個(gè)數(shù)一定都為，常見(jiàn)以下幾種形式：，若，則，反之亦然。，若，則，反之亦然。，若，則，反之亦然。，若，則，反之亦然?？赏茝V位：個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和為，則這個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)一定都為零。第十四章一次函數(shù)一、函數(shù)的有關(guān)概念（）變量與常量 在某一變化過(guò)程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。注意：變量和常量往往是相對(duì)而言的，在不同研究過(guò)程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。（）函數(shù)與自變量 一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如和，對(duì)于的每一個(gè)值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)是自變量，是因變量，此時(shí)也稱是的函數(shù)。注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過(guò)程，在這一變化過(guò)程中，要著重把握以下三點(diǎn)：（）只能有兩個(gè)變量。（）一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化。（）對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。二、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。（）解析法：兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí)，因變量放在等式的左邊，自變量的代數(shù)式放在右邊，其實(shí)質(zhì)是用的代數(shù)式表示。注意：解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個(gè)變化過(guò)程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀，且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來(lái)。（）列表法：把自變量的一系列值和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。注意：列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然，使用方便，但其列出的對(duì)應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。（）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。注意：圖像法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合運(yùn)用三種方法來(lái)表示函數(shù)。三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值 函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個(gè)方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實(shí)際。下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變 量范圍的確定方法。（）當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)（即全體實(shí)數(shù)）。（）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。（）當(dāng)函數(shù)的解析式是開(kāi)平方的無(wú)理式時(shí)，自變量值是使被開(kāi)放的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。（）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時(shí)，自變量值取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)。 對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值，如當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)值就是當(dāng)時(shí)的函數(shù)值。注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實(shí)質(zhì)就是求關(guān)于自變量的代數(shù)式的值。若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于自變量的方程。四、函數(shù)的圖像（）函數(shù)圖像的意義一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（，）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)表示自變量的某一個(gè)值，縱坐標(biāo)表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。（）函數(shù)圖像的畫(huà)法 在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。 知道了函數(shù)解析式要畫(huà)出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步：列表：取自變量的一些值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，由這一系列的對(duì)應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對(duì)。描點(diǎn)：在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。連線：用平滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來(lái)，即可得到這個(gè)函數(shù)的圖像。五、數(shù)學(xué)思想方法（）數(shù)形結(jié)合思想本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合，直觀形象，由數(shù)思形，由形思數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問(wèn)題。（）函數(shù)思想研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先從問(wèn)題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到實(shí)際問(wèn)題的研究結(jié)果。將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，通過(guò)建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。（）轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為，其中、為常數(shù)，特別地，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)（常數(shù)）也叫做正比例函數(shù)。注意：（）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量的式子是一次的，系數(shù)不等于，而可以為任意實(shí)數(shù)。（）自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。（）這個(gè)條件不可忽略。（）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系： 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。 一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)（）中，當(dāng)時(shí)，是的正比例函數(shù)；當(dāng)時(shí)不是的正比例函數(shù)。七、一次函數(shù)的圖像（）一次函數(shù)（）的圖像是一條直線，通常也稱為直線，一方面，一次函數(shù)的圖像可以用描點(diǎn)法畫(huà)出；另一方面，由于兩點(diǎn)確定一條直線，故畫(huà)一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（，）和（，）（）正比例函數(shù)（）的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（，）的一條直線，通常畫(huà)正比例函數(shù)（）的圖像只需取一點(diǎn)（，），然后過(guò)原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫(huà)直線。八、對(duì)一次函數(shù)的中的系數(shù)、的理解（）直線中表示直線向上的方向與軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；是直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，時(shí)，直線與軸交于正半軸上；時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；時(shí)，直線與軸交于正半軸上；時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；時(shí)，直線與軸交于負(fù)半軸上。（）兩直線（）與（）的位置關(guān)系。當(dāng)，時(shí)，兩直線平行。當(dāng)，時(shí)，兩直線重合。注意：（）當(dāng)時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限；時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限。當(dāng)時(shí)，直線與軸正半軸相交，故必過(guò)一、二象限；時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；時(shí)，直線與軸負(fù)半軸相交，故直線過(guò)三、四象限。（）隨的增大而增大，還是隨的增大而減小，只取決于的符號(hào)，與無(wú)關(guān)。九、一次函數(shù)解析式的確定（）根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式 對(duì)于探索一系數(shù)、圖形個(gè)數(shù)等規(guī)律時(shí)，其關(guān)鍵是找出問(wèn)題的兩個(gè)變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。 對(duì)于幾何圖形中的兩個(gè)量的關(guān)系，要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個(gè)變量的關(guān)系。 對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)量之間的關(guān)系，要分析出各個(gè)量之間存在的數(shù)量關(guān)系，并能正確用含一個(gè)量的代數(shù)式表示另一個(gè)量，同時(shí)注意自變量的取值范圍。（）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫(xiě)出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，其一般步驟是：設(shè)一次函數(shù)解析式為（）。將函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入（）。解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。確定函數(shù)解析式。注意：（）在正比例函數(shù)（，且為常數(shù)）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，確定正比例函數(shù)關(guān)系式只需一個(gè)條件。（）在一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）中，有兩個(gè)待定系數(shù)和，因此確定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)條件。十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關(guān)系（）一次函數(shù)與一元一次方程 直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程的解。求直線與軸的交點(diǎn)，可令得方程，解方程得，是直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解。（）一次函數(shù)與二元一次方程（組） 一次函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖像上。兩條直線：（）與：（）的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就是方程組 注意：若，則兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，所以方程組無(wú)解；若，則兩直線重合，通常不研究此類情況。（）二元一次方程組的圖像解法畫(huà)出方程組對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。（）一次函數(shù)與一元一次不等式使一次函數(shù)的函數(shù)值大于的自變量的所有值，就是一元一次不等式的解集，同樣使一次函數(shù)的函數(shù)值小于的自變量的所有值，就是一元一次不等式的解集。第十五章整式的乘除與因式分解一、同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即（、都是正整數(shù)）。注意：（）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，即（、都是正整數(shù)）。（）運(yùn)算性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即。（）冪的底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。二、冪的乘方與積的乘方：、冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（）（、都是正整數(shù)）。注意：（）不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆。冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算（底數(shù)不變）；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算（底數(shù)不變）。（）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即（）（）。、積的乘方法則： 積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積，即（）（為正整數(shù)）。注意：（）這一運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)的積的乘方，即（）（為正整數(shù)）。（）此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即（）。三、同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（0，、為正整數(shù)，且）。注意：此性質(zhì)可以逆運(yùn)用，即。四、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： 在中，當(dāng)時(shí)，規(guī)定（） 當(dāng)時(shí)，規(guī)定。（）零指數(shù)冪的意義： 任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于，即（）。（）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義： 任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（0，為正整數(shù)）。注意：（）在這兩個(gè)冪的意義中，強(qiáng)調(diào)底數(shù)都不等于零，否則無(wú)意義。 （）學(xué)習(xí)零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到整數(shù)指的冪。五、科學(xué)計(jì)數(shù)法： 利用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)，即表示成的形式，為正整數(shù)，。對(duì)于一些絕對(duì)值較小的數(shù)，我們可以仿照絕對(duì)值較大數(shù)的計(jì)法，用的負(fù)整數(shù)次冪表示，而將原式寫(xiě)成的形式，其中為正整數(shù)，這也稱為科學(xué)計(jì)數(shù)法。六、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。七、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。八、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（）（）。九、平方差公式：（）內(nèi)容：（）（）（）意義： 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。（）特征： 左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)； 右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差； 公式中的和可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。（）幾何意義： 平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等的表達(dá)式。（）拓展： 立方和公式：（）（）； 立方差公式：（）（）。（）（）。十、完全平方公式：（）內(nèi)容： （）； （）。（）意義：兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的倍。兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的倍。（）特征： 左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的倍在中央。” 公式