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DSP的數(shù)字濾波器設計作者姓名：王珊珊 班級：200404070526 指導教師：王曉亮摘 要隨著集成電路技術的發(fā)展，各種新型的大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路不斷涌現(xiàn)，集成電路技術與計算機技術結(jié)合在一起，使得對數(shù)字信號處理系統(tǒng)功能的要求越來越強。在數(shù)字信號處理中數(shù)字濾波占有極其重要的地位。數(shù)字濾波是語音信號、圖象處理模式識別和譜分析等領域中的一個基本的處理技術。本設計基于DSP，完成FIR與IIR數(shù)字濾波器的設計與軟硬件仿真。數(shù)字濾波器設計的常用方法包括窗函數(shù)法、頻率采樣法和最優(yōu)化法等。本次設計在了解了數(shù)字濾波器設計原理的基礎上，分別采用了窗函數(shù)法對不同指標的低通、高通、帶通、帶阻以及切比雪夫一型濾波器進行設計，在matlab軟件下繪畫出各種設計方法的幅頻響應和相頻響應曲線。同時在CCS環(huán)境以及DSP硬件平臺上仿真，對比仿真后波形圖，看得出實際圖形是否與預期圖形相符合。關鍵詞：數(shù)字濾波器；Matlab軟件；窗函數(shù)法；DSPDigital Filter Design Based On DSPAbstract： With the development of the integrated circuit technology, each kind of new large-scale and the ultra large scale integrated circuit emerges increasingly, the integrated circuit technology and the computer technology unified together, it makes digital signal processing system function request to be getting stronger and stronger. The digital filtering holds the extremely important status in the digital signal processing. The digital filtering is a basic processing technology in the area of voice signal, imagery processing domain, and pattern recognition and spectrum analysis.Based on DSP, this article describes the software and hardware simulation of FIR and IIR digital filter. The common method once used on designing digital filter includes window function method, frequency sampling law, most superior reduction and so on. Upon understanding the fundamental principle of designing digital filter, we will use the window function method separately with the different target on low pass, high pass, the band pass, the band stop filter as well as Chebyshev filters to make it work. Drawing the frequency response and the frequency response curve of each method under the matlab software. Meanwhile, with the DSP hardware platform, contrasting the oscillogram after simulation, it will draw the conclusion whether the actual graph matches with the anticipated graph under the CCS environment.Keywords: digital filter; matlab software; window functions; DSP目 錄第1章 前 言11.1 研究背景11.2 研究意義21.3 主要內(nèi)容與要求3第2章 系統(tǒng)開發(fā)平臺42.1 CCS開發(fā)環(huán)境42.2 硬件平臺42.3 計算機輔助設計方法6第3章 數(shù)字濾波器的基本理論73.1 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)73.1.1 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)73.1.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)83.2 數(shù)字濾波器的設計原理93.3 FIR數(shù)字濾波器的設計方法103.3.1 類型，系數(shù)對稱，N奇數(shù)103.3.2 類型，系數(shù)對稱，N偶數(shù)113.3.3 類型，系數(shù)反對稱，N奇數(shù)123.3.4 類型，系數(shù)反對稱，N偶數(shù)123.3.5 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計方法153.3.6 利用頻率取樣法設計FIR濾波器163.3.7 其他幾種窗函數(shù)的介紹193.4 IIR數(shù)字濾波器的設計方法283.5 FIR濾波器與IIR濾波器的比較30第4章 利用MATLAB設計數(shù)字濾波器324.1 FIR數(shù)字濾波器324.1.1 FIR低通數(shù)字濾波器324.1.2 FIR高通數(shù)字濾波器324.1.3 FIR帶通濾波器334.1.4 FIR帶阻數(shù)字濾波器354.2 IIR數(shù)字濾波器354.2.1 IIR低通數(shù)字濾波器354.2.2 IIR高通數(shù)字濾波器364.2.3 切比雪夫函數(shù)設計IIR高通濾波器37第5章 數(shù)字濾波器的DSP實現(xiàn)445.1 ICETEKF2812-A評估板技術指標445.2 ICETEKF2812-A評估板實物圖445.3 ICETEK-F2812-A器件分布圖455.4 ICETEKF2812A評估板原理框圖455.5 現(xiàn)場硬件連接圖465.6 DSP實現(xiàn)465.6.1 有限沖擊響應濾波器（FIR）算法465.6.2 無限沖激響應濾波器（IIR）算法495.6.3 快速傅立葉變換（FFT）算法525.6.4 語音信號的FIR濾波55結(jié) 論58致 謝59參考文獻60IV本科畢業(yè)設計（論文）第1章 前 言1.1 研究背景隨著集成電路技術的發(fā)展，各種新型的大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路不斷涌現(xiàn)，集成電路技術與計算機技術結(jié)合在一起， 使得對數(shù)字信號處理系統(tǒng)功能的要求越來越強。DSP技術已在通信、控制、信號處理、儀器儀表、醫(yī)療、家電等很多領域得到了越來越廣泛的應用。在數(shù)字信號處理中，數(shù)字濾波占有極其重要的地位。數(shù)字濾波在語音信號、圖象處理、模式識別和譜分析等領域中是一個基本的處理技術。數(shù)字濾波與模擬濾波相比，數(shù)字濾波具有很多突出的優(yōu)點，主要是因為數(shù)字濾波器是過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，它可以用軟件（計算機程序）或用硬件來實現(xiàn)，而且在兩種情況下都可以用來過濾實時信號或非實時信號。盡管數(shù)字濾波器這個名稱一直到六十年代中期才出現(xiàn)，但是隨著科學技術的發(fā)展及計算機的更新普及，數(shù)字濾波器有著很好的發(fā)展前景。目前，國外有許多院校和科研機構(gòu)在研究基于FPGA的DSP應用，比較突出的有Denmark大學的研究小組正在從事FPGA實現(xiàn)數(shù)字濾波器的研究。加州大學洛杉磯分校的研究小組采用運行時重構(gòu)技術開發(fā)了一種視頻通訊系統(tǒng)，該系統(tǒng)用一片F(xiàn)PGA可每幀重構(gòu)四次完成視頻圖像壓縮和傳送的操作。此外，他們還在進行Mojave項目的開發(fā)工作，力圖采用運行時重構(gòu)技術來實現(xiàn)自動目標識別應用。我國在DSP技術起步較早，產(chǎn)品的研究開發(fā)成績斐然，基本上與國外同步發(fā)展，而在FPGA方面起步較晚。全國有100來所高等院校從事DSP&FPGA的教學和科研，除了一部分DSP芯片需要從國外進口外，在信號處理理論和算法方面，與國外處于同等水平.而在FPGA信號處理和系統(tǒng)方面，有了喜人的進展，正在進行與世界先進國家同樣的研究.西北工業(yè)大學和國防科學技術大學的ATR實驗室采用了FPGA可重構(gòu)計算系統(tǒng)進行機載圖像處理和自動目標識別，主要是利用該系統(tǒng)進行復雜的卷積運算，同時利用它的可變?nèi)嵝詠磉_到自適應的目的。20世紀60年代起，由于計算機技術、集成工藝和材料工業(yè)的發(fā)展，濾波器的發(fā)展上了一個新臺階，朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠和價廉等方向努力，其中高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠成為70年代以后的主攻方向，導致數(shù)字濾波器、RC有源濾波器、開關電容濾波器和電荷轉(zhuǎn)移器等各種濾波器的飛速發(fā)展。到70年代后期，上述幾種濾波器的單片集成己被研制出來并得到應用，90年代至現(xiàn)在主要致力于把各類濾波器應用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。當然，對濾波器本身的研究仍在不斷進行。1.2 研究意義幾乎在所有的工程技術領域中都會涉及到信號的處理問題，其信號表現(xiàn)形式有電、磁、機械以及熱、光、聲等。信號處理的目的一般是對信號進行分析、變換、綜合、估值與識別等。如何在較強的噪聲背景下提取出真正的信號或信號的特征，并將其應用于工程實際是信號處理的首要任務。根據(jù)處理對象的不同，信號處理技術分為模擬信號處理系統(tǒng)和數(shù)字信號處理系統(tǒng)。數(shù)字信號處理(Digital signal Processing，DSP)與模擬信號處理相比有許多優(yōu)點，如相對于溫度和工藝的變化數(shù)字信號要比模擬信號更穩(wěn)健，在數(shù)字表示中，精度可以通過改變信號的字長來更好地控制，所以DSP技術可以在放大信號的同時去除噪聲和干擾，而在模擬信號中信號和噪聲同時被放大，數(shù)字信號還可以不帶誤差地被存儲和恢復、發(fā)送和接收、處理和操縱。許多復雜的系統(tǒng)可以用高精度、大信噪比和可重構(gòu)的數(shù)字技術來實現(xiàn)。數(shù)字信號處理中一個非常重要且應用普遍的技術就是數(shù)字濾波。所謂數(shù)字濾波，是指其輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運算關系改變輸入信號所含的頻率成分的相對比例或濾除某些頻率成分，達到提取和加強信號中的有用成份，消弱無用的干擾成份的目的。數(shù)字濾波與模擬濾波相比，有精度高、可靠性高、靈活性好等突出優(yōu)點，可以滿足對幅度和相位的嚴格要求，還能降低開發(fā)費用，縮短研制到應用的時間，在很多領域逐步代替了傳統(tǒng)的模擬信號系統(tǒng)。數(shù)字濾波器，在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應用，因此，無論是在理論研究上還是在如通訊、HDTV(高清晰度電視)、雷達、圖象處理、數(shù)字音頻等實際應用上都有著美好的技術前景和巨大的實用價值1 張亞妮.基于MATLAB的數(shù)字濾波器設計J. 遼寧工程技術大學學報，2005.?；趍atlab實現(xiàn)數(shù)字濾波設計，可通過修改濾波器的參數(shù)十分方便地改變?yōu)V波器的特性，因此我們有必要對濾波器的設計方法進行研究，理解其工作原理優(yōu)化設計方法，設計開發(fā)穩(wěn)定性好的濾波器系統(tǒng)。掌握濾波器的設計技術和原理能為在通信領域、信號處理領域等諸多領域中對數(shù)字濾波器的設計提供技術和準備，這不僅具有重要的理論意義同時還具有重要的現(xiàn)實意義。1.3 主要內(nèi)容與要求本次畢業(yè)設計中主要完成的內(nèi)容包括（1）通過書籍閱讀和文獻搜索學習MATLAB和數(shù)字濾波器，并掌握MATLAB的使用和數(shù)字濾波器的設計方法。（2）數(shù)字濾波器原理分析與設計方法概述。分析數(shù)字濾波器的原理，對FIR以及IIR數(shù)字濾波器常見設計方法的介紹。（3）FIR以及IIR數(shù)字濾波器的matlab軟件實現(xiàn)（4）設計若干類型的FIR以及IIR（低通、高通、帶通、帶阻以及切比雪夫）數(shù)字濾波器，并在matlab上實現(xiàn)。（5）數(shù)字濾波器的硬件電路實現(xiàn)選擇LF2812芯片設計外圍電路實現(xiàn)數(shù)字濾波器的硬件設計（6）運用LF2812實現(xiàn)IIR以及FIR算法實驗，并以此為基礎，設計并實現(xiàn)FIR語音信號濾波。（7）各項試驗完成后，對各個實驗結(jié)果進行分析，比對?？磳嶋H波形與理想波形的不同之處，比較濾波前后的時域頻域波形。第2章 系統(tǒng)開發(fā)平臺2.1 CCS開發(fā)環(huán)境CCS提供了配置、建立、調(diào)試、跟蹤和分析程序的工具，它便于實時、嵌入式信號處理程序的編制和測試，它能夠加速開發(fā)進程，提高工作效率。CCS提供了基本的代碼生成工具，它們具有一系列的調(diào)試、分析能力。CCS支持所示的開發(fā)周期的所有階段。圖 2-1 開發(fā)周期的所有階段2.2 硬件平臺下面來看一下即將用到的ICETEK DSP 實驗箱，如圖2-2 所示。圖 2-2 實驗箱的組成ICETEK DSP 教學實驗箱主要由以下幾個部分組成(1)箱蓋保護實驗箱設備；保存教材、使用手冊、實驗指導書、各種實驗用的連線；可拆卸，在實驗中可從箱體上拆下。(2)箱體裝載實驗箱設備；左側(cè)外壁上有一個標準外接電源線插孔；通過固定螺絲與實驗箱底板連為一體。(3)底板固定各模塊；提供電源開關、實驗用直流電源插座、A/D D/A 輸入輸出插座、各模塊直流供電插座、信號插座、信號源輸出插座、測試點；實現(xiàn)顯示控制模塊和 DSP 評估板模塊的信號互連。(4)信號源兩組、三路輸出，采用+5V 電源供電；提供切換選擇輸出方波、三角波、正弦波和白噪聲，另可選擇輸出頻率范圍(10Hz-100Hz，100Hz-1KHz，1KHz-10KHz，10KHz-30KHz)，還可進行頻率和幅度(0-3.3V)的微調(diào)。(5)仿真器模塊固定 ICETEK 仿真器，支持 PP 型和 USB 型；提供 PP 型仿真器供電+5V 電源插座；仿真器可從底板上拆下單獨使用或更換。(6)顯示控制模塊通過信號線連接到底板；從底板提供的+5V 和+12V 直流電源插座輸入電源；提供液晶圖形顯示(128x64 象素)，發(fā)光二極管陣列顯示（8x8 點）（本功能為 V4.3 版本特有)，指示燈(12 只，分為紅、黃、綠三種顏色)，四相步進電機，直流電機，鍵盤，蜂鳴器。顯示控制模塊可從底板上拆下更換。(7)DSP 評估板模塊固定各種 DSP 評估板；提供+5V 直流電源插座(兩個位置)；34Pin 信號線插座(4 個)，用于連接 DSP 評估板和實驗箱底板。DSP 評估板模塊可從底板上拆下更換。 圖 2-3DSP實驗箱結(jié)構(gòu)圖本文第五章DSP的硬件實現(xiàn)將要用到上述的CCS開發(fā)環(huán)境，需要借助上述試驗箱完成有關濾波器的相關軟硬件仿真。后文中將詳細介紹，在此不再贅述。2.3 計算機輔助設計方法 Ingle V K,Proakis J G. Digital Processing Using MATLABM. PWS Publishing Company, 2003計算機輔助設計方法是集電路理論、網(wǎng)絡圖論、數(shù)值分析、矩陣運算、原件建模、優(yōu)化設計、高級計算機語言等多交叉學科于一身的新領域，它把計算機的快速、高精度、大存儲量、嚴格的邏輯判斷和優(yōu)良的數(shù)據(jù)處理能力與人的思維創(chuàng)造能力充分結(jié)合起來，極大的簡化了數(shù)字濾波器的設計過程。在優(yōu)秀科技應用軟件MATLAB的信號處理工具箱中，提供了一整套模擬、數(shù)字濾波器的設計命令和運算函數(shù)，方便準確，簡單易行，使得設計人員除了可以上述傳統(tǒng)設計步驟快速地進行較復雜高階選頻濾波器的計算、分析外，還可以通過原型變換法直接進行各種典型數(shù)字濾波器設計，即應用MATLAB設計工具從模擬原型直接變換成滿足原定頻域指標要求的數(shù)字濾波器。傳統(tǒng)設計方法思路清晰，步驟詳盡，可參閱公式、手冊循章而行。但是由于計算繁瑣，手工計算大多只能用來進行簡單低階選頻濾波器的設計。而計算機輔助設計在擁有了傳統(tǒng)的設計的優(yōu)勢上更結(jié)合了一些特定屬于自己的優(yōu)勢，能進行各種相關的比較復雜的濾波器設計，彌補了傳統(tǒng)上的不足。所以，我最終選擇了計算機輔助設計的方法，在MATLAB環(huán)境下進行數(shù)字濾波器的設計和仿真。第3章 數(shù)字濾波器的基本理論3.1 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)作為線性時不變系統(tǒng)的數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示，而實現(xiàn)一個系統(tǒng)函數(shù)表達式所表示實物系統(tǒng)可以用兩種方法一種方法是采用計算機軟件來實現(xiàn)；另一種方法是用加法器、乘法器和延時器等元件設計出專用的數(shù)字硬件系統(tǒng)，即硬件實現(xiàn)。不論軟件實現(xiàn)還是硬件實現(xiàn)，在濾波器設計過程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以構(gòu)成很多不同的運算結(jié)構(gòu)。對于無限精度的系數(shù)和變量，不同結(jié)構(gòu)可能是等效的，與其輸入和輸出特性無關；但是在系數(shù)和變量精度有限的情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的性能就有很大的差異。因此，有必要對離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有一些基本知識。一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為 （3-1）由這樣的系統(tǒng)函數(shù)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關系的常系數(shù)線性差分方程為 （3-2）可見數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列x（n）通過一定的運算變換成輸出序列 y（n）。不同的運算處理方法決定了濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應h（n）是無限長的，其差分方程如（3-2）所示，是遞歸式的，即結(jié)構(gòu)上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，其系統(tǒng)函數(shù)具有（3-1）式的形式，因此在z平面的有限區(qū)間有極點存在。3.1.1 FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)FIR濾波器的單位抽樣響應為有線長度，一般采用非遞歸形式實現(xiàn)。通常的FIR數(shù)字濾波器有橫截性和級聯(lián)兩種。FIR濾波器實現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有(1)FIR濾波器的橫截結(jié)構(gòu)表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可以寫作 （3-3）若具有對稱特性，即此FIR濾波器具有線性相位。(2)FIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)將分解成系數(shù)二階因子的乘積形式 （3-4）這時FIR濾波器可用二階節(jié) 的級聯(lián)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，每個二階節(jié)用橫截性結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時可以采用這種結(jié)構(gòu)。3.1.2 IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)（1）IIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)在實際中很少采用上述結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)來實現(xiàn)。（2）IIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需要一個二階系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)既可以完成;極點位置可單獨調(diào)整運算速度快各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。缺點不能直接調(diào)整零極點，因多個二階節(jié)的零點不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型是最適合的。（3）IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可以實現(xiàn)整個系統(tǒng)；極、零點可單獨使用控制、調(diào)整，調(diào)整、只單獨調(diào)整了第i對零點，調(diào)整、則單獨調(diào)整了第i對極點；可流水線操作3陳懷琛.數(shù)字信號處理教程Matlab釋義與實現(xiàn)M.北京電子工業(yè)出版社，20083.2 數(shù)字濾波器的設計原理數(shù)字濾波器是具有一定傳輸特性的數(shù)字信號處理裝置，其輸入輸出都是離散的數(shù)字信號，借助于數(shù)字器件或一定的數(shù)值計算方法，對輸入信號進行處理，改變輸入信號的波形或頻譜，達到保留信號中有用成分去除無用成分的目的實際應用中，數(shù)字濾波器往往作為模擬濾波器的一個組成部分。理想濾波器是非因果的，物理上不可能實現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設計問題就是尋找無限脈沖響應（IIR）數(shù)字濾波器的差分方程和對應的系統(tǒng)函數(shù)（兩個方程）中的一組系和，是的其性能在某種意義上逼近所要求的特性。IIR數(shù)字濾波器的設計方法一般分為下述兩類先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成給定指標的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，這是因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)很成熟，他不僅有完整的設計公式，還有完整的圖表供查閱。這種方法的設計步驟如下將給定的數(shù)字濾波器的技術指標轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術指標根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術指標設計模擬原型濾波器再按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器直接在頻域或者時域中進行設計，這是一種最優(yōu)化設計方法。由于要接聯(lián)立方程，因此需要計算機輔助進行設計。FIR濾波器的設計方法與IIR濾波器有很大不同，F(xiàn)IR濾波器的設計是通過對理想濾波器的頻率特性作某種逼近得到的。常用的方法有窗函數(shù)法，頻率取樣法和計算機輔助最優(yōu)化設計法。FIR濾波器的最大優(yōu)點就是具有線性相位，而設計的IIR濾波器的相位都是非線性的。數(shù)字濾波器的設計要經(jīng)過三個步驟確定指標在設計一個濾波器前，必須有一些指標。這些指標要根據(jù)應用確定。模型逼近一旦確定了技術指標就可以利用前面的基本原理和關系式，提出一個濾波器模型來逼近給定的指標體系。這是濾波器設計所要研究所的主要問題。實現(xiàn)上面的兩布的結(jié)果得到的濾波器，通常是以差分方程、系統(tǒng)函數(shù)或者脈沖響應來描述的。根據(jù)這個描述，可以用硬件或計算機軟件來實現(xiàn)它了。3.3 FIR數(shù)字濾波器的設計方法線性相位條件要求濾波器分子系數(shù)滿足對稱性條件。設濾波器的系數(shù)長度為N，則這些系數(shù)應關于中心點t=n 0=(N-1)/2對稱。偶對稱時，h(n)=h(N-n-1);而奇對稱時，h(n)=-h(N-n-1).再考慮到N可以為奇數(shù)或偶數(shù)，總共有四種類型的線性相位FIR濾波器。討論線性相位濾波器頻率響應是需要引進幅特性正負號的概念，以往常設幅特性為正數(shù)，因為幅特性的反號可以用響特性加減來補償。當相位特性要求線性，不得隨便增減時，幅特性就必須分出正負，稱為符幅特性。為了就算符幅特性，需要直接作解析計算，求出頻率特性的解析式，并將它分解為幅度和相位特性，即,如果（）滿足線性相位條件，這時的A()就是符幅特性。對于長度為N的序列h(n),先考慮兩個對稱的系數(shù)h(n)和h（N-1-n）,它們的傅里葉變換為4 高西全，丁玉美.數(shù)字信號處理. M.陜西西安電子科技大學出版社，2008. (3-5)3.3.1 類型，系數(shù)對稱，N奇數(shù)序列h的下標n從0算起，到N-1為止，中點位置是L=(N-1)/2.h(L)是一個孤項，其他可配成L對系數(shù)。將他們的符幅特性加起來，得到 (3-6) 為了使四種類型濾波器的公式簡明統(tǒng)一，引進兩個參數(shù)。一個是=（N-1）/2，它就是T值，用以反映延遲的樣本或群延遲，它可以是分數(shù)。另一個是L=(N-1)/2把T值向下取整，因為要把L用作下標，它必須是整數(shù)。當N為奇數(shù)時，T=L。在推導中，還注意前一個求和號是從0到L-1，后一個求和號是從0到L，那是把孤項也當成成對相求和，然后再減去一個孤項h(L)。這樣做的目的也是使四種類型濾波器的公式統(tǒng)一。顯然，為項角項，相角-，它與成嚴格的線性關系；A（）就是符幅相。 （3-7)可見，其符幅特性由L+1個余弦項疊加組成。n=0時的符幅相為，在頻段間波動個周期余弦函數(shù)在=0，pi和2pi處都不等于零,因此類型線性相位濾波器既可以用作低通濾波器;也可以用作高通濾波器;且可用作帶通和帶阻濾波器。3.3.2 類型，系數(shù)對稱，N偶數(shù)如果N為偶數(shù)，那么全部系數(shù)都可以配對，不會出現(xiàn)中心點的單項，一共有N/2組對稱出現(xiàn)的系數(shù)，頻率特性就成為 （3-8）此時T=（N-1）/2將不是整數(shù)，也就是說，對稱中心將在兩個樣本點的中間。其相角特性仍為（）=T，它仍與成嚴格的線性關系。用整數(shù)L=(N-1)/2=N/2-1來表示求和號的上限。得出其符幅特性的表達式 （3-9）可見，它的符幅特性也由L+1個余弦分量構(gòu)成。這樣，不管N為奇數(shù)或偶數(shù)時，L都是整數(shù)，求和的項數(shù)都是L+1。由于T=(N-1)/2是分數(shù)，所以有余弦分量中都含有一個0.5。在pi處，就會出現(xiàn)符幅特性必定為零的情況。所以類型不能用作高通和帶阻濾波器.3.3.3 類型，系數(shù)反對稱，N奇數(shù)當系數(shù)序列反對稱時，只要把類型結(jié)果中的cos 換成sin就得到 （3-10）當N為奇數(shù)時，T=L=整數(shù)。相特性為（）=/2-（N-1）=/2-T雖然仍與成線性關系，但多了一個常數(shù)項/2。注意反對稱序列的對稱中心n=L處，序列的值h（L）=0.所以可以放入求和號中，得到它的符幅特性為 （3-11）正弦函數(shù)在=0，和2處都等于零，因此類型線性相位濾波器的符幅特性在=0，和處都等于零。它不能用作低通，也不能用作高通濾波器。所以不適宜用于選頻濾波器。3.3.4 類型，系數(shù)反對稱，N偶數(shù)與類型濾波器相仿，若N為偶數(shù)，則共有N/2組數(shù)值相同反對稱出現(xiàn)的系數(shù)，不出現(xiàn)單項，頻率特性就成為 （3-12）此處仍有T=（N-1）/2，因此T將不是整數(shù)，帶有小數(shù)部分0.5.故對稱中心將在兩個樣本點中間。它的相角特性為()= /2-T,雖然與呈線性關系，但是多了常數(shù)項/2，故不通過原點。類型的濾波器符幅特性為 （3-13）因為L是整數(shù)，它的符幅特性也由L+1=N/2個正弦分量構(gòu)成。因為sin(0)=0,在=0處，符幅特性必定為A（0）=0.這樣的特性顯然不能用作低通和帶阻濾波器，實際上也不適用于選頻濾波器。把這四種類型的線性相位濾波器的相角特性和符幅特性用對比的方法畫在一張圖上5表3-1 四種類型的線性相位濾波器的相位與符幅特性 Ingle V K，Proakis J G. Digital Signal Processing Using MATL AB M，New YorkPWS Publishing Company,1997 符幅特性舉例2給出序列h0=3,-1,2,-3構(gòu)成的四種類型的系數(shù)向量h1=3,-1,2,-3,5,-3,2,-1,3;h2=3,-1,2,-3,-3,2,-1,3;h3=3,-1,2,-3,0,3,-2,1,-3;h4=3,-1,2,-,3,03,-2,1,-1;分別求出它們的符幅特性曲線，進行比較。圖3-1 符幅特性比對零極點應該從FIR濾波器正冪傳遞函數(shù)來判斷。 （3-14）所以它具有與零點數(shù)目相同的M個極點，它們集中在z平面的原點處，成為M重極點?？梢宰C明，對于具有對稱性的系數(shù)向量，如果是上式的分子多項式的根，那么它的倒數(shù)也就是這個多項式的根。如果是復數(shù)零點，根據(jù)實系數(shù)多項式的性質(zhì)，它的共軛復數(shù)*也是復數(shù)零點；現(xiàn)在又證明了它的倒數(shù)1/也是零點。因而倒數(shù)的共軛復數(shù)*也是復數(shù)零點。四個復數(shù)零點必成組出線，圖 3-2 零極點分布圖3.3.5 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計方法宋守鵬.數(shù)字濾波器設計及工程應用M.江蘇江蘇大學出版設，2009.窗函數(shù)設計法又稱之為傅里葉技術設計方法，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應h(n)是有限長的（0nN-1），只有N個點有值，這N個值被稱為濾波器的系數(shù)。濾波器的輸出y(n)只與當前的輸入x(n)和有限個過去的輸入x(n-1),x(n-2)x(n-(N-1)有關，其表達式為y(n)=h(n)x(n)+h(1)x(n-1) +h(2)x(n-2)+h(N-1)x(n-(N-1)和次表達式相對應的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可用圖3-3來表示圖 3-3 實現(xiàn)窗函數(shù)法的結(jié)構(gòu)圖FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)的Z變換為3 （3-15）利用窗函數(shù)設計時，一般是先給出所要求的理想濾波器的頻率響應，要求設計一個FIR濾波器頻率響應，來逼近。時域內(nèi)進行的因而先由的傅里葉反變換導出傅里葉系數(shù)即 （3-16）這里的傅里葉系數(shù)就是理想濾波器的單位脈沖響應，但是直接應用公式（3-15）設計數(shù)字濾波器是不可能的，因為是無限長序列，而且是非因果的。所以要用有限長h(n)來逼近來逼近無限長的，我們可以利用一個窗函數(shù)序列叫（n）來截取，即 （3-17）然后由h（n）求實際的，即 （3-18） 然后根據(jù)分析所設計出的濾波器的幅頻特性和相頻特性，檢驗設計結(jié)果是否滿足要求。設計過程中，窗函數(shù)將直接影響濾波器的過渡帶帶寬和阻帶衰減。3.3.6 利用頻率取樣法設計FIR濾波器以上介紹的窗函數(shù)法是一種時域設計方法，但是在一般情況下，濾波器的技術指標都是由頻率給出，在頻域進行設計更為直接。頻率取樣法是在頻率域?qū)硐霝V波器取樣，在取樣點上設計的濾波幅度值相等，然后根據(jù)濾波器的頻率特性設計所需的濾波器。假設理想濾波器的頻率特性為，對它在02區(qū)間內(nèi)等間隔的取樣N個點，即 （3-19）根據(jù)頻域內(nèi)插公式，可得 （3-20）對應的頻率響應為 （3-21）其中 （3-22）從（3-17）式中可以看出，根據(jù)理想濾波頻率特性的N個取樣值，可以通過差值得到實際設計的濾波器的頻率特性，并且所設計的濾波器在取樣點上的取值與理想濾波器的值嚴格相等。這就是頻率取樣法設計FIR數(shù)字濾波器的基本原理。在很多情況下要求設計的濾波器具有線性相位，前面的討論的濾波器的線性相位條件表述為h(n)= h(N-n-1)。當h(n)=h(N-n-1),且N為奇數(shù)時 （3-23）并且幅度函數(shù)H（）應該是偶對稱的，即， （3-25）在0,2pi區(qū)間內(nèi)對等間隔的取樣N個點，即 （3-26）其中 （3-27） （3-28）由式（3-26）可得 （3-29）相位條件與N為奇數(shù)時相同。此時，奇對稱要求，即并且當h(n)為奇對稱，按照同樣的方法可以得到幅度和相位應滿足的條件。采用頻率取樣法設計的FIR數(shù)字濾波器在阻帶內(nèi)的衰減減小，在實際應用中往往達不到要求。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是由于在通帶邊緣取樣點的陡然變換而引起的起伏震蕩。增加阻帶衰減方法是在通帶和阻帶的邊界增加一些過渡的取樣點，從而減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏震蕩，增大了阻帶最小衰減。為了構(gòu)造特性接近理想低通濾波器的實際濾波器，應當使它具備如下特性因果序列有限長度系數(shù)對稱用長N對稱中心在對稱中心在的矩形窗與相乘，截取出實際系數(shù)序列h(n), （3-30）圖 3-4 實際系數(shù)序列圖3-5為理想濾波器的脈沖響應及其頻譜圖3-5 脈沖響應及其頻譜圖3-6 矩形窗函數(shù)及其頻譜矩形窗截取的實際特性一般濾波器都要求過渡帶愈窄愈好。過渡帶與N成反比，減小過渡帶的措施是增加N；通帶內(nèi)放入波動影響濾波器通帶中的信號通過的均勻性；阻帶內(nèi)的波動使某些頻率成分在阻帶內(nèi)不能充分抑制，可能使最小衰減不滿足技術要求；上述分析說明，增加N對于通帶波動和阻帶衰減幾乎沒有影響。矩形窗帶來的的阻帶衰減為20dB左右，要減小波動只有改變窗函數(shù)的形狀。增大N將增加濾波器的復雜性和計算時間。3.3.7 其他幾種窗函數(shù)的介紹 Ingle V K，Proakis J G. Digital Signal Processing Using MATL AB M，New YorkPWS Publishing Company,1997 (1)三角形窗 （3-31）(2)漢寧窗 （3-32）(3)漢明窗 （3-33）Matlab提供的其他窗函數(shù)（程序）N=45;n=1:N;beta=5.658; wdrc=boxcar(N);wdbt=triang(N); wdhn=hanning(N); wdhm=hamming(N);wdbl=blackman(N); wdks=kaiser(N,beta); plot(n,wdrc,wdbt,wdhn,wdhm,wdbl,wdks)Legend(rc,bt,hn,hm,bl,ks)%線性標注就可以得到綜合表示幾種窗函數(shù)形狀的圖圖 3-7 窗函數(shù)形狀綜合圖形表3-2 各種窗函數(shù)的過渡帶和波動 FIR的實現(xiàn)是非遞歸的，總是穩(wěn)定的；更重要的是，F(xiàn)IR濾波器在滿足幅頻響應要求的同時，可以獲得嚴格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器通常采用窗函數(shù)法設計。窗函數(shù)法設計FIR濾波器的基本思想是根據(jù)給定的技術指標，選擇濾波器長度N和窗函數(shù)W（n）, 使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。工程中常用的窗函數(shù)共有五種，即矩形窗。漢寧窗（hanning）。漢明窗（hamming）。布萊克曼窗（blackman）和凱塞窗（kaiser）下面我們運用FIR函數(shù)分別運用5種不同的窗函數(shù)來設計濾波器對輸入信號為S(t)=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*150*t)進行濾波，要求濾波中建的100Hz頻率，采樣頻率為1000Hz。程序 L=30; N=L-1; f1=0,70,80,120,130,500; f2=f1/500; m=0,0,1,1,0,0; b=FIR2(N,f2,m,boxcar(L); figure(1); h,w=freqz(b,1,512,1000); subplot(2,1,1); plot(f1,m,m-,w,abs(h),b-); subplot(2,1,2); plot(w,angle(h); figure(2); freqz(b,1,512,1000); t=0:0.001:1; sgn=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*150*t); figure(3); subplot(2,2,1),plot(t(1:100),sgn(1:100); y=fft(sgn,512); Pyy=y.*conj(y)/512; f=1000*(0:155)/512; subplot(2,2,2),plot(f,Pyy(1:156); Yo=filter(b,1,sgn); subplot(2,2,3); plot(t(1:100),Yo(1:100); yo=fft(Yo,512); Pyyo=yo.*conj(yo)/512; fo=1000*(0:155)/512; subplot(2,2,4);plot(f,Pyyo(1:156);程序運行后，五種窗函數(shù)的結(jié)果如下(1)矩形窗其相關參數(shù)，其余。幅度頻率特性過渡帶寬為。旁瓣峰值衰耗為-13dB，最小最帶衰耗為-21dB。運行程序結(jié)果如下圖3-8 實際信號與理想信號對比圖理想結(jié)果與實際稍有偏差，存在一定失真，這也是無法避免的。圖 3-9濾波器幅相頻特性圖圖 3-10 濾波器前后頻域?qū)Ρ葓D(2)漢寧窗其相關參數(shù)，其余，幅度頻率特性過渡帶寬為，旁瓣峰值衰耗為31dB,最小阻帶衰耗為-44dB圖 3-11濾波器幅相頻特性圖 圖 3-12 濾波器前后頻域?qū)Ρ葓D由圖可知，沒有完全濾除其他頻率，濾波效果不是很好，可以增加階數(shù)至40.(3)漢明窗其相關參數(shù)，其余，。幅度頻率特性過渡帶寬為，旁瓣峰值衰耗為-41dB,最小阻帶衰耗為-53dB.圖 3-13濾波器幅相頻特性圖 圖 3-14 濾波器前后頻域?qū)Ρ葓D (4)布萊克曼窗其相關參數(shù)為，其余，這是一組升余弦窗函數(shù)，升階M是可選參數(shù)。幅度頻率特性過渡帶寬為，旁瓣峰值衰耗為-57dB，最小阻帶衰耗為-75dB.圖 3-15濾波器幅相頻特性圖 圖 3-16 濾波器前后頻域?qū)Ρ葓D (5)凱塞爾窗 相關參數(shù)，其余，其中為0階貝塞爾函數(shù)，主瓣寬度參數(shù)。圖 3-17 濾波器幅相頻特性圖 圖 3-18 濾波器前后頻域?qū)Ρ葓D由上可以看出，運用5種不同窗函數(shù)來對濾波器進行仿真設計有著一定的差別。其中，矩形窗函數(shù)和漢寧窗函數(shù)在設計上不是很完美，而后的三種傳函數(shù)則效果好很多。3.4 IIR數(shù)字濾波器的設計方法IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 （3-34）假設MN，當MN時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)和 ，它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式(3-34)中,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得 （3-35）則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換是從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。圖 3-19 S平面轉(zhuǎn)換到Z平面示意圖由（3-35）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 （3-36）這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 ， （3-37）才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ， （3-38）但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真，圖3-20。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖 3-20 脈沖不變響應示意圖對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。脈沖響應不變法優(yōu)缺點從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關系=T。因而，一個線性相位的模擬濾波器通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將