函數(shù)極限求解方法的研究.doc

函數(shù)極限求解方法的研究渤海大學本科畢業(yè)論文（設計）函數(shù)極限求解方法的研究The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) of Study on the method of function limit 學 院（系）： 數(shù)理學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學（師范） 學 號： 學 生 姓 名： 入 學 年 度： 2011年 指 導 教 師： 完 成 日 期： 2015年4月19日 渤海大學Bohai University摘要函數(shù)極限是高等數(shù)學的重要構成部分，是探究微積分的基礎，因此對求解函數(shù)極限方法的探究就成了我們研究高等數(shù)學必經(jīng)之路.求解函數(shù)極限方法的方法眾多，例如: 利用函數(shù)極限的定義、連續(xù)性、兩個重要極限、泰勒公式、洛必達法則、級數(shù)收斂性等方法.本文系統(tǒng)地介紹了如何利用定義法、函數(shù)連續(xù)性、兩個重要極限、無窮小量及等價無窮小代換、洛比達法則、級數(shù)、泰勒公式、定積分等求函數(shù)極限的技巧和方法，分析了不同方法之間的特點并結合相應的例子，指出了在求解函數(shù)過程中遇見的一些常見問題。關鍵詞: 函數(shù)極限; 洛必達法則; 無窮小量及等價無窮小代換；級數(shù)收斂性The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis) of Study on the method of function limitAbstract We know that the function limit is the important part of higher mathematics, is the basis of research on mathematical analysis and differential and integral calculus. Therefore, explore to the method of solving the function limit is our path to study the higher mathematics,the method to solve the function limit of many laws, such as: use the definition of function limit, continuity, two important limits, Taylor formula, Hospital laws, series convergence and so on. This paper systematically introduces the using the method of definition, function continuity, two important limits, dimensionless and equivalent infinitesimal substitution, than to rule, series, Taylor formula, the technique and method of definite integral, etc for function limit, and combined with the corresponding examples, points out the some of the common problems met in the process of solving function. Key words: Function limit; Hospital laws; Dimensionless and equivalent infinitesimal substitution; The series convergence目錄摘要IAbstractII引言11. 用定義法求函數(shù)的極限22. 利用連續(xù)性求函數(shù)極限43. 利用四則運算法則求函數(shù)的極限64. 利用兩個重要極限求函數(shù)的極限75. 利用夾逼準則求函數(shù)的極限問題86. 利用洛必達法則求函數(shù)的極限問題97. 利用無窮小的性質及等價無窮小代換求函數(shù)的極限138. 利用歸結原則及柯西準則求151、歸結原則152、柯西準則159. 利用級數(shù)求解函數(shù)極限問題161、利用收斂數(shù)通項趨向零172、利用收斂級數(shù)余項趨向零173、利用級數(shù)的收斂性1710. 利用中值定理及泰勒定理求函數(shù)的極限問題181、柯西中值定理182、積分中值定理1911. 利用泰勒定理求函數(shù)的極限問題2012. 利用定積分求函數(shù)的極限問題22結論25參考文獻26引言 我們都知道數(shù)學分析的研究對象是函數(shù)，而研究函數(shù)的主要方法便是通過對極限的的探究，故函數(shù)極限的學習一直是研究數(shù)學分析的重要內容之一。同時函數(shù)極限又是微積分的基礎理論之一，因而可以說高等數(shù)學作為一門基本的學科便是通過極限來研究函數(shù)的，函數(shù)極限貫穿了高等數(shù)學學習的始終，離開了極限的思想高等數(shù)學就失去了基礎的價值。 通過我們對求解函數(shù)極限方法的總結會發(fā)現(xiàn)，求解函數(shù)極限的方法眾多。本文是在考慮函數(shù)極限存在的前提下撰寫的，下面介紹一下如何通過定義、連續(xù)性、兩個重要極限、夾迫定理、洛必達法則、泰勒公式、中值定理、無窮小及其等價變換、級數(shù)、定積分等方法來求函數(shù)的極限問題，從而幫助大家系統(tǒng)的掌握如何求解極限問題的方法。 通過對這些方法的學習，我們會發(fā)現(xiàn)求解極限的方法并不是一成不變的，并且方法眾多靈活多變，每一種方法都有其優(yōu)缺點，有其試用范圍。只要一個函數(shù)極限存在，總會有一種或多種方法能用來求解它，希望通過以下給出的這些例題能夠讓我們更好的確定如何選取恰當?shù)姆椒▉砬笕『瘮?shù)的極限問題。當然以下只是列舉了大部分函數(shù)的求解方法，求解函數(shù)極限方法并不只限這幾種方法，還需要我們不斷的去領悟、去體會。1. 用定義法求函數(shù)的極限用極限的定義或定義證明函數(shù)極限問題時，關鍵的一點是找出或，必要時可先將限定在某一取值范圍之內再進行討論.定義1 設為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)，如果對任給的存在正數(shù)，使得當時有,則稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作 下面列舉兩個應用定義來求取函數(shù)極限的例子.例1 證明 .證： 任給，因為所以可以得出由于不等式的左半部分對任何都成立，故只需考察其右半部分的變化范圍即可.由此，可先限定，則可得所以對任意的正數(shù)，只需取，則當時便有成立.則此題得證. 例2 證明 . 證: 設.對，由于 故可取,則當時有即得 .定義2（函數(shù)極限的定義） 設函數(shù)在點的某個空心鄰域內有定義，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù),使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作下面列舉一些應用定義來求取函數(shù)極限的實例，通過這些實例我們來了解下如何利用定義求函數(shù)極限。例3 證明 .證：由于. 故此題得證. 例4 證明 . 證:對，由 成立，解得 故取于是對 ,因此,所以.注1. 一般情況下，我們需要先對進行估計，從而得到 ,這里的往往是與有關的一個常數(shù)，當然這個估計也大多是在給定的一個（比如）的前提下得出的。注2.的取值的確定一般都要依賴于，但是并不是決定值的唯一的條件。在例4例中就把取得更小了一些，這取決于函數(shù)式放縮的程度。一般在運算中我們?yōu)榱饲蠼夥奖憧刹捎眠m當放大的方法，但需要注意的是這種放大必須要做到“適度”，這樣才能根據(jù)給定的來確定，同時還要注意此題中不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)就可以.注3. 函數(shù)在所求點的極限與函數(shù)在此點是否連續(xù)無關，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點時函數(shù)值的變化規(guī)律. 綜上可得，雖然我們可以通過定義法求解一些函數(shù)極限過程，但并不可能每一道題都可以通過直接觀察就可以總結出極限值，因此這種方法存在一定的局限性，不適合較為復雜的題目。 2. 利用連續(xù)性求函數(shù)極限由于一切初等函數(shù)在其定義域范圍內都連續(xù)，所以求初等函數(shù)在其定義域內某點處的極限，可直接用來求取。但是若，則函數(shù)在點是間斷點，不能直接代入數(shù)值計算。而應根據(jù)具體函數(shù)的特征，對它進行適當?shù)淖冃危@樣再去利用函數(shù)的連續(xù)性求極限即可。 下面舉個具體的例子來探討一下，如何利用連續(xù)性來求函數(shù)極限的問題.例1 求極限解：注1.由連續(xù)性可知如果函數(shù)且是有理函數(shù)，分母是.因此，它是上的連續(xù)函數(shù).注2.若可找到一個以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在 綜上所述,這個方法對初等函數(shù)特別重要,因為初等函數(shù)在其有定義的點都連續(xù),所以求初等函數(shù)當自變量趨于有定義的點的極限時,又等于求該點的函數(shù)值.3.利用四則運算法則求函數(shù)的極限定理3.1(四則運算）若函數(shù)與在都收斂，則函數(shù),也收斂，且 利用四則運算法則求函數(shù)極限時要注意以下兩點： (1)首先只有當和都存在時才可以使用此定理，否則定理無效。比如,. (2)若由此定理可推得：,而和都不存在，則可得出，也不存在的錯誤結論.然而.所以在使用四則運算法則求函數(shù)極限時，一定要注意(1)(2)的限制條件。 下列是用四則運算法則求極限的例子.例1 利用四則運算法則求下列極限 （1）為正整數(shù). （2）.解:所以.4. 利用兩個重要極限求函數(shù)的極限 我們知道兩個重要極限及其變形形式為1.兩個重要極限: 2.兩個重要極限的變形形式： 注: 一般采用兩個重要極限首先應該采用換元法和配指數(shù)的法,把所給函數(shù)化為兩個重要極限或它的變形形式,進而利用兩個重要極限或其變式形式進行求值計算. 下面我們通過一些例子來了解一下兩個重要極限及其變形在求函數(shù)極限中的應用.例1 求極限 .解：本題可用洛必達法則求解（較繁瑣），在這里可應用泰勒公式求解，考慮到極限公式的分母為,我們用麥克勞林公式表示極限的分子（?。┮蚨蟮美? (北京大學).解： ,故原式5. 利用夾逼準則求函數(shù)的極限問題夾逼準則：設函數(shù)滿足且 且在某內有定義.注:用迫斂性求極限，關鍵就是要將函數(shù)放大及縮小成,即使得且易求并且相等，那么根據(jù)夾逼準則就可以求出.例1 求解 ：由此當，當時，故 .例2 求.解：由于,而故由夾逼原理知，.由以上兩例可得用迫斂性求函數(shù)極限，關鍵在于視具體問題選擇靈活的方法對變量進行合理的縮放。6.利用洛必達法則求函數(shù)的極限問題定理6.1（型未定式，）設函數(shù)在點鄰域內有定義（點本身可以除外），且滿足：在點的一某鄰域內（本身可以除外）均可導，且,則當 時，且.定理6.2 設函數(shù)在點鄰域內有定義（點本身可以除外），且滿足：（1） ，（2)在點的一某鄰域內（本身可以除外）均可導，且,則當 時，且 .注1：利用洛必達法則求未定式的極限,是一種簡便而又有效的方法,前面出現(xiàn)的許多極限都可以利用此法則.但使用時,要注意適當?shù)鼗啞Q元,并與前面的其他方法互相結合使用,這樣便可大大的簡化極限的運算。注2：雖說用洛必達法則是求極限的一種簡單而有效的方法，但是使用時必須注意幾下幾點：1）每次在使用洛必達法則之前，務必考查它是否屬于七種不定型，否則不能用；2）一旦用洛必達法則算不出結果，不等于極限不存在。例如，就是如此.這是因為洛必達法則只是充分條件，而不是必要條件；3）洛必達法則是求不定型極限最常用的方法，而且?guī)追N常用的等價關系，也變得十分明顯易記.如等皆如此.4）分子不趨向沒有關系。5)洛必達法則可重復使用，但每次使用之前，都要考察條件，一旦發(fā)現(xiàn)不是不定式，就要停止使用。 下面列舉一些具體的利用洛必達法則解決函數(shù)極限的問題. 例1 求極限. 解：將其化簡得（故為型可用洛必達法則） 例2 求極限. 分析：先將其化簡，顯然是故如1）可用洛必達法則。 解： . 例3 求極限. 解: 因為，并有，因此由洛比達法則可得，由于函數(shù)，均滿足洛比達法則的條件，故再次利用洛比達法則得注3：盡管洛必達法則是求未定式極限的一種非常有效的方法，許多極限題目用了洛必達法則能很快得出結果，但是必須指出的是該法則并不是萬能的。對有些題目如使用法則求導后出現(xiàn)極限不存在的現(xiàn)象，法則就失效了，應改用其它求極限方法。例如:當時，函數(shù)中含有時或當函數(shù)中含有. 以上提到的幾點關于應用洛必達法則的注意，對我們掌握洛必達法則法則求函數(shù)極限，有一定的所幫助。但由于所舉例題有限，不可能將各種情況都提到。如果使用洛必達法則解題時，過程越來越煩且前景不太樂觀，就要即使停止，改用其他方法。因此在碰到具體問題時，還需根據(jù)實際情況靈活應用洛必達法則及其他方法求出其極限。7. 利用無窮小的性質及等價無窮小代換求函數(shù)的極限 有限個（相同類型）無窮小的和、差、積仍有無窮小，有界變量與無窮小的積為無窮小。常用的等價無窮?。寒敃r有當時有等價代換定理：設；利用無窮小性質求下列極限.例1 .解：原式 . 例2 . 解:原式 例3 . 解:當時，,所以 注1：等價無窮小因子替換只能在極限的乘除運算中使用，不能隨意在極限的加減運算中使用，否則常會出錯。比如：在極限時，若由時，則=0.而 由此可見對于此題中加減法中使用等價替換是錯誤的。8. 利用歸結原則及柯西準則求函數(shù)的極限問題（1) 歸結原則若存在不存在；或存在， 使得與都存在但不相等，則極限不存在.（2) 柯西準則 存在對，對，有,不存在，對,.利用歸結原理及柯西準則解題的實例。例1 設內有定義。證明： 證明：“” 對有有，從而有，即“”若則使得取取取顯然，即矛盾，因此例2 設為狄利克雷函數(shù)，證明極限不存在分析：證明函數(shù)極限不存在的方法一般有如下兩種：一是利用柯西收斂準則的否定形式；二是歸結原則的否定形式。證明：方法1：利用柯西準則的否定形式取使得從而不存在。方法2：利用歸結原則的否定形式對 及無理數(shù)列,使得從而不存在。9.利用級數(shù)求解函數(shù)極限問題數(shù)項收斂的必要性：若級數(shù)收斂，則。運用這個方法首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項的極限。 利用級數(shù)求級數(shù)的常見方法： （1）利用收斂數(shù)通項趨向零例1 求下列極限，其中（天津大學）.解:因為 （當時）.故正項級數(shù)收斂，從而通項（當時）. (2）利用收斂級數(shù)余項趨向零例2 求.解：因級數(shù)收斂，因此其余項（當時）（當時），故原極限為零（用Cauchy準則也行）.（3）利用級數(shù)的收斂性若收斂，則也收斂，因此=+極限存在（當時）。 例3 設證明收斂. 證：對因此有，而. 綜上所述求極限求正無窮小量的極限時，采用此方法較簡便。對于一個具求極限的問題，可能有多種方法都能解決，這就要求我們選擇恰當?shù)姆椒ǎ匀〉檬掳牍Ρ兜男Ч?0.利用中值定理求函數(shù)的極限問題 10.1柯西中值定理 若函數(shù)和滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上都連續(xù)； (2)在開區(qū)間上都可導；(3)和不同時為零； (4)則存在一點 注1：利用中值定理可以求一些函數(shù)極限，但適應面較窄。10.2積分中值定理 定理10.1（積分第一中值定理) 若在上連續(xù)，則至少存在一點使得. 注2：對于求含積形式的極限可以利用積分中值定理把它轉化成無積分的一般極限。進而可以采用相應的方法求出結果。 下面是利用它們求極限的實例。例1 求極限 解:本題可用洛必達法則求解（較繁瑣），在這里可應用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（），.因此得.例2 求極限.解：由積分中值定理知所以.11.利用泰勒定理求函數(shù)的極限問題 定理11.1（ 泰勒定理） 若函數(shù)，即.對于所求極限是或型未定式這種類型，當?shù)膶?shù)計算較復雜而易求的泰勒公式時，則可用泰勒公式求極限。注1：利用泰勒公式求極限 用麥克勞林公式計算某些不定式極限時十分有效，它不像洛必達法則，分子、分母每求一次導數(shù)，分子、分母的無窮小階數(shù)都只減少一次，而利用麥克勞林公式可以馬上得到分子、分母的無窮小階數(shù)，然后可直接迅速地得到答案。注2：對于求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用洛比達法則更為方便，下列為常用的展開式1.2.3.4.5.6.上述展開式中的符號都有.例1 求極限.分析：當時，此函數(shù)為型未定式，滿足洛必達法則求極限.如果直接用洛必達法則過程十分復雜，所以先用泰勒公式將分子展開再去求極限。解： 由 得故 .例2 求下列極限.解： 綜上利用泰勒公式計算極限有3個問題需要解決： 1.是在哪個點對函數(shù)進行泰勒展開； 2.是泰勒展開到第幾次