菱形知識點(diǎn)及同步練習(xí).doc

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：菱形 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1掌握菱形的概念2理解菱形的性質(zhì)及識別方法3能利用菱形的性質(zhì)及識別方法，解決一些問題學(xué)法指導(dǎo)把平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)及識別方法對照起來學(xué)習(xí)，了解它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)基礎(chǔ)知識講解1菱形的定義四條邊都相等的平行四邊形（或一組鄰邊相等的平行四邊形）叫做菱形由菱形的定義可知，菱形是一種特殊的平行四邊形，菱形的定義包含兩個(gè)條件，是平行四邊形，鄰邊相等，這兩個(gè)條件缺一不可2菱形的性質(zhì)（1）它具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）它除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還具有自己的特殊性質(zhì)菱形的四條邊都相等菱形的對角線互相垂直平分，而且每條對角線平分一組對角菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線菱形的對角線分菱形為4個(gè)全等的直角三角形3菱形的識別方法菱形的識別方法，除用定義來識別外，還有其它的識別方法，用定義來識別是最基本的識別方法其它的識別方法有四條邊都相等的四邊形，也為菱形對角線互相垂直的平行四邊形，也是菱形，運(yùn)用這個(gè)識別方法必須符合兩個(gè)條件，一是對角線互相垂直，二是平行四邊形4菱形的面積計(jì)算由菱形的對角線把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形，可得出，菱形的面積=4SRt.設(shè)對角線長分別為a，b則菱形的面積=4（）=ab，即菱形的面積等于對角線乘積的一半5菱形的性質(zhì)及識別方法的作用利用它們可以證明線段相等、垂直、平分、平行等關(guān)系證明角相等，平分等關(guān)系，證明一個(gè)四邊形為菱形和進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，識別方法及其在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用難點(diǎn)：運(yùn)用菱形的性質(zhì)及識別方法，靈活地解答一些問題易錯(cuò)誤區(qū)分析運(yùn)用菱形的定義時(shí)易忽略，鄰邊相等的平行四邊形中的平行四邊形這個(gè)條件例1判斷下列說法對不對（1）鄰邊相等的四邊形為菱形（ ）（2）兩邊相等的平行四邊形為菱形（ ）錯(cuò)誤分析：（1）中應(yīng)為鄰邊相等的平行四邊形（2）中是指鄰邊相等而不是兩邊相等錯(cuò)解：（1）（） （2）（）正解：（2）（） （2）（）運(yùn)用菱形的識別方法“對角線”互相垂直且平分的平行四邊形中有時(shí)忽略垂直或者平分，有時(shí)忽略平行四邊形這些條件由于本節(jié)的性質(zhì)判別方法較多，利用本節(jié)解題時(shí)易犯推理不嚴(yán)密的錯(cuò)誤例2如圖在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)連結(jié)AE，AF.求證：AEAF錯(cuò)誤分析：本題證明錯(cuò)在BEDF，因?yàn)椴⑽醋C明BCCD，推理不嚴(yán)格錯(cuò)證：菱形ABCD，ABCD，BD又E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，BEDFABEADF AEAF正證：菱形ABCD ABAD，BD，BC=CD又EF分別為BC，CD的中點(diǎn) BEDF，ABEADF AEAF典型例題例l已知，如圖所示，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的一點(diǎn)，D=EAF=AEF60.BAE18，求CEF的度數(shù)分析：要求CEF的度數(shù)，可先求AEB的度數(shù)，而要求AEB的度數(shù)則必須求B的度數(shù)，這一點(diǎn)則可由菱形是特殊的平行四邊形可得到.另外，由D60如連結(jié)AC得等邊ABC與ACD，從而ABEACF，有AEAF，則AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求CEF解法一：因?yàn)榱庑问翘厥獾钠叫兴倪呅嗡鵅D60.因?yàn)锽AE18，AEB+B+BAE180所以AEB+60+18180.即AEB=180-60-18102又AEF60，AEB+AEF+CEF180所以CEF180-60-10218解法二：連結(jié)AC 四邊形ABCD為菱形，BD60，ABBCCDADABC和CDA為等邊三角形 ABAC，BACDBAC60EAF60 BAE=CAF ABEACF AEAF又EAF60 EAF為等邊三角形 AEF60AEC=B+BAE=AEF+CEF60+1860+CEF CEF18解法三：利用輔助線把菱形轉(zhuǎn)化為三角形來解答，這是一種常用的作輔助線的方法例2已知：如圖，ABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，BE平分ABC，交AD于點(diǎn)M，AN平分DAC，交BC于點(diǎn)N.求證：四邊形AMNE是菱形分析：要證AMNE是菱形，可以根據(jù)定義，證得它是平行四邊形，并且有一組鄰邊相等，也可以根據(jù)判定定理，證它四邊相等；或證兩條對角線互相垂直平分，注意到AN是DAC的平分線，只要證AMAE，則AN垂直平分ME，若證ANME，則再由BE平分ABN易知BE也垂直平分AN，即AN與ME互相垂直平分，故有AMMNNEAE，即AMNE是菱形，此為證法一顯然，在上述證法中，證得BE垂直平分AN后，可得AMMN，所以MNAMANNAE，所以MNAE，則AMNE是平行四邊形，又AMMN所以AMNE是菱形證法一：因?yàn)锽AC90，ADBC，所以BADC因?yàn)锽E平分ABC，所以ABEEBC因?yàn)锳MEBAD+ABEC+EBCAEM，所以AMAE，又因?yàn)锳N平分DAC，所以AMMN，所以AMMNNEAE所以AMNE是菱形證法二：同上，若證AN垂直平分ME，再證BE垂直平分AN，則AMMN，所以MNA=MNA=NAE.所以MNAE所以AMNE是平行四邊形，由AMMN得AMNE是菱形例3已知：如圖菱形ABCD中，DEAB于點(diǎn)E，且OADE，邊長AD8，求菱形ABCD的面積分析：由菱形的對角線互相垂直知OA是ABD的邊BD上的高，又由DEAB，OADE，易知AODDEA從而知ABD是等邊三角形，從而菱形ABCD面積可求解：在菱形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以AOD是直角三角形，因?yàn)镈EAB，所以AED是直角三角形在RtAOD和RtAED中，因?yàn)锳DAD，DEOA，所以RtAODRtDEA所以ADODAE，因?yàn)锳BCD為菱形，所以ADOABO，所以ABD是等邊三角形因?yàn)锳D8，DEAB，所以AEAD4，在RtAED中，DE=4.從而S菱形ABCDABDE84=32注意：題中是將菱形的面積按一般的平行四邊形面積公式計(jì)算的，當(dāng)然也可以求出對角線AC，BD的長，按S菱形ABCD=ACBD來計(jì)算，但后者較繁復(fù)例4已知：如圖，ABCD中，AD2AB，將CD向兩邊分別延長到E，F(xiàn)使CDCEDF.求證：AEBF分析：注意ABCD中，AD2AB這一特殊條件，因此ABCD能分成兩個(gè)菱形從而可以通過菱形的對角線互相垂直來證明證明：設(shè)AE交BC于點(diǎn)G，BF交AD于點(diǎn)H，連結(jié)GH.因?yàn)锳BDF，所以F=ABH，F(xiàn)DH=BAH.又因?yàn)锳BCDDF，所以ABHDFH.所以AHHD=AD=AB.所以BCAH，BG=AB則四邊形ABGH是菱形，所以AEBF.例5如圖所示，AD是ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是菱形嗎？請說明理由分析：由已知判斷AOF和DOF是關(guān)于直線EF成軸對稱圖形，再由軸對稱的特征，得到OAFODF，再結(jié)合已知得到ODFOAE，從而判斷DFAE，得到AEDF是平行四邊形，進(jìn)一步推出對角線互相垂直平分，得到AEDF是菱形。解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：因?yàn)?，EF垂直平分AD，所以，AOF與DOF關(guān)于直線EF成軸對稱所以O(shè)DFOAF，又因?yàn)锳D平分BAC，即OAF=OAE所以O(shè)DFOAE所以AEDF同樣的道理可得DEAF所以四邊形AEDF是平行四邊形，所以EO=OF，即AEDF的對角線AD，EF互相垂直平分AEDF是菱形注意：用軸對稱，平移和旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)處理幾何問題，往往會(huì)得到意想不到的效果例6如圖所示，將寬度為1的兩張紙條交叉重疊在一起，得到重疊部分為四邊形ABCD，四邊形ABCD為菱形嗎？為什么？分析：紙條的寬度即是圖中線段AE，AF的長，而AE，AF又分別與BC，CD垂直因此，如果ABCD是平行四邊形，則AE，AF即為它的高，再從面積入手不難推出ABCD是菱形解：四邊形ABCD為菱形因?yàn)椋河梢阎傻茫珹BCD，ADBC，所以，四邊形ABCD是平行四邊形，由紙條的寬度為1，知AEAF1，又因?yàn)锳BCD的面積=BCAECDAF，所以BCCD，故平行四邊形ABCD為菱形例7已知：如圖所示，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE2BAE，求證：EBOA分析：要EBOA，證它們所在的三角形全等，即AODBEA證明：四邊形ABCD為菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB DAEAEBAB=AE,ABCAEB ABC=DAEDAE2BAE，BAEADB又ADBA AODBEA AOBE創(chuàng)新思維例1已知：如圖所示，菱形ABCD，E是AB中點(diǎn)，DEAB，AB=a，求：（1）ABC的度數(shù) （2）AC的長 （3）菱形ABCD的面積解（1）E為AB中點(diǎn)，ABCD為菱形EAEBABADDEAB 130，DAB60DAB為等邊三角形 ABC120（2）OADEa，AC2OAa（3）SABCDACBD例2四邊形四邊長為a、b、c、d，且a4+b4+c4+d4=4abcd.試判定四邊形的形狀分析：由a4+b4+c4+d4=4abcd得a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2-4abcd+2c2d2=0.（a2-b2）2+（c2-d2）2+2(ab-cd)2=0.所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.所以ab，cd，ac解：此四邊形為菱形例3如圖：RtABC中，A90，B的平分線交AC于D，自A作AHBC于H，交BD于點(diǎn)E，自D點(diǎn)作DFBC于F，求證：四邊形AEFD為菱形分析：由已知條件可選擇菱形的判別方法，證明四邊相等證明AED90-DBH，ADE90-ABD，又DBH=ABD，AEDADE又AEADABD=DBH，DAAB，DFBF ADDFAHBC，DFBC AEDFAEDF，四邊形ADFE為平行四邊形又ADDF 四邊形ADFE為菱形例4已知一張矩形紙片ABCD，ABa，BCAB.如圖所示，將紙片沿EF折疊，使頂點(diǎn)A與C重合（1）試證，四邊形AECF是菱形（2）若折疊后，紙片重疊的兩部分面積和為2a2，求此矩形的周長分析：由軸對稱性，易知AFFC，AEEC又由ABCD為矩形，知AFOOEC，所以O(shè)ECOFC，所以ECFC證明（1）由已知得AEF與EFC關(guān)于EF所在的直線對稱：AFFC，AEEC，AFOCFO 又ABCD為矩形 AFOOECOECOFC ECFC 即四邊形AECF為菱形解（2）由SEFC=a2，ABa得 EC2a在RtECB中，EBEB=a，所以BCBE+EC=+2a=(2+)a，所以周長為（6+2）a中考練兵1如圖，已知菱形ABCD的周長為20cm，A：ABC1：2，則對角線BD的長等 cm.解：四邊形ABCD為菱形ABADDCBC205cm ADBCA+ABC180設(shè)Aa則ABC2a，a+2a180 a60，2a120ABD為等邊三角形 BDAD5cm 故應(yīng)填5cm.2已知菱形的一條對角線的長為12cm，面積是30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對角線的長為 cm.解：菱形的面積=ab 其中a12cm則b5cm 應(yīng)填5cm3如圖在菱形ABCD中，若ABC120，則BC：AC的值等于（ ）A:2 B:3C1:2D解：BD：ACD0：AO 設(shè)ODa，因?yàn)镈AB60所以DA030，所以DA2a，所以O(shè)A=即BD：ACOD：OAa：=:3 故選B4已知，如圖四邊形ABCD為菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E，求證：AFD=CBE證明：四邊形ABCD為菱形BCCD，CDAB，BCADCACBECDE CBE=CDECDE=AFD AFD=CBE5已知菱形的兩條對角線長分別為6和8，則它的邊長為 .解：由菱形的性質(zhì)可知，邊長=5應(yīng)填5隨堂演練一、填空題1菱形的對角線長為24和10，則菱形的邊長為 ，周長為 .2菱形的一邊與兩條對角線構(gòu)成的二角之比為5：4，則菱形的各內(nèi)角為 ， ， ， .3菱形的兩條對角線分別為3和7，則菱形的面積為 .4已知在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是BC，CD上的點(diǎn)，且AEEFAFAB，則B= .5已知菱形兩鄰角的比是1：2，周長為40cm，則較短對角線的長是 .6已知菱形的面積等于80cm2，高等于8cm，則菱形的周長為 .7已知菱形ABCD中AEBC，垂足E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，那么EAF的度數(shù)為 .8順次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形為 形二、選擇題1能夠判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是（ ）A對角線相等且互相平分B對角線相等且對角相等C對角線互相垂直D兩組對角分別相等且一條對角線平分一組對角2菱形ABCD，若A:B2：1，CAD的平分線AE和邊CD之間的關(guān)系是（ ）A相等B互相垂直且不平分C互相平分且不垂直D垂直且平分3已知菱形ABCD的周長為40cm，BD=AC，則菱形的面積為（ ）A96cm2B94cm2C92cm2D90cm24菱形的周長等于高的8倍，則這個(gè)菱形較大內(nèi)角是（ ）A60B90C120D1505菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）A對角線互相平分B對角線互相垂直C對角線相等D對邊平行且相等6下列說法正確的是（ ）A對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B對角線相等的四邊形是矩形C對角線互相垂直平分的四邊形是菱形D鄰邊相等的四邊形為菱形7矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）A對角相等且互補(bǔ)B對角線互相平分C一組對邊平行，另一組對邊相等D對角線互相垂直8菱形的對角線把它分成全等的直角三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)三、解答題1如圖，在菱形ABCD中，延長AD到E，連結(jié)BE交CD于H，交AC于F，且BFDE，求證：DHHF.2如圖，在菱形ABCD中,E是AD的中點(diǎn)，EFAC交CB的延長于F，交AC于M，求證：AB與EF互相平分3已知菱形的面積為24cm2，邊長為5cm，求該菱形中一組對邊之間的距離4已知：如圖，在菱形ABCD中，BD是對角線，過D作DEBA交BA延長線于點(diǎn)E，若BD2DE，AB4，求菱形的面積。5如圖，在ABCD中，對角線AC的垂直平分線交AD于E，交BC于F，求證：四邊形AFCE是菱形6已知：如圖，四邊形ABCD中，ACBD，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形參考答案一、填空題113，52 2100,80,100,80 3 480510cm 點(diǎn)撥：兩鄰有為60，120，邊長為10，兩邊和較短的對角線組成等邊三角形6.40cm 760 8矩形二、選擇題1D 2D點(diǎn)撥：ACD是等邊三角形 3A 4D 點(diǎn)撥：畫出圖形即可求解 5B 6C 7A 8A三、解答題1證明：如圖(1)1所示，連結(jié)FD，在菱形ABCD中,AC平分BCD CDCBDCFBCFFCFC DCFBCF（SAS）FDCCBF DF=BFBFDE DFDE DFE=EAEBC E=CBF DFE=FDC