人教A版必修五 余弦定理的變形及應(yīng)用 學(xué)案.docx

第2課時(shí)余弦定理的變形及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解余弦定理及其變式的結(jié)構(gòu)特征和功能.2.能用余弦定理進(jìn)行邊角互化.3.能用余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一余弦定理及其推論1a2b2c22bccos a，b2 c2a22cacos b，c2a2b22abcos c.2cos a；cos b；cos c.3在abc中，c2a2b2c為直角；c2a2b2c為鈍角；c20時(shí)，三角形abc為銳角三角形()類型一利用余弦定理解已知兩邊及一邊對(duì)角的三角形例1已知在abc中，a8，b7，b60，求c.考點(diǎn)用余弦定理解三角形題點(diǎn)已知兩邊及其中一邊對(duì)角用余弦定理解三角形解由余弦定理b2a2c22accos b，得7282c228ccos 60，整理得c28c150，解得c3或c5.引申探究本例條件不變，用正弦定理求c.解由正弦定理，得，sin a，cos a.sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b，sin c或sin c.當(dāng)sin c時(shí)，csin c5；當(dāng)sin c時(shí)，csin c3.反思與感悟相對(duì)于用正弦定理解此類題，用余弦定理不必考慮三角形解的個(gè)數(shù)，解出幾個(gè)是幾個(gè)跟蹤訓(xùn)練1在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，a，b1，則c .考點(diǎn)用余弦定理解三角形題點(diǎn)已知兩邊及其中一邊對(duì)角用余弦定理解三角形答案2解析由余弦定理a2b2c22bccos a，得()212c22ccos ，即c2c20，c2或c1(舍)類型二邊角互化例2在abc中，a，b，c分別是a，b，c的對(duì)邊，且滿足(abc)(abc)3ab,2cos asin bsin c，試判斷abc的形狀考點(diǎn)判斷三角形的形狀題點(diǎn)利用正、余弦定理和三角變換判斷三角形的形狀解方法一(化角為邊)由正弦定理，得，又2cos asin bsin c，cos a.又由余弦定理的推論，得cos a，即b2c2a2c2，b2a2，ab.又(abc)(abc)3ab，(ab)2c23ab，由ab，得4b2c23b2，b2c2，bc，abc.故abc是等邊三角形方法二(化邊為角)由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab，由余弦定理的推論得cos c，c60.又2cos asin bsin csin(ab)sin acos bcos asin b，sin acos bcos asin b0，即sin(ab)0，又180ab180，ab，abc60，abc是等邊三角形反思與感悟判斷三角形形狀的常用方法：(1)由正、余弦定理化角為邊，利用代數(shù)運(yùn)算求出三邊的關(guān)系(2)由正、余弦定理化邊為角，通過(guò)恒等變換及內(nèi)角和定理得到內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀跟蹤訓(xùn)練2在abc中，若(accos b)sin b(bccos a)sin a，判斷abc的形狀考點(diǎn)判斷三角形形狀題點(diǎn)利用正、余弦定理和三角變換判斷三角形的形狀解由正弦定理及余弦定理，知原等式可化為ba，整理，得(a2b2)(a2b2c2)0.a2b2c20或a2b2，故abc為等腰三角形或直角三角形類型三用余弦定理解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題例3如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖支桿bc10 m，吊桿ac15 m，吊索ab5 m，求起吊的貨物與岸的距離ad.考點(diǎn)余弦定理的實(shí)際運(yùn)用題點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中的求距離解在abc中，ac15 m，ab5 m，bc10 m，由余弦定理得cosacb，sinacb.又acbacd180，sinacdsinacb.在rtacd中，adacsinacd15(m)反思與感悟在解題過(guò)程中，要善于運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)a，b，c處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且abbc60 m，求該建筑物的高度考點(diǎn)余弦定理的實(shí)際運(yùn)用題點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中的求高度解設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，pa2h，pbh，pch，在pba和pbc中，分別由余弦定理，得cospba， cospbc. pbapbc180，cospbacospbc0. 由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度為30 m.1在abc中，若b2a2c2ac，則b .考點(diǎn)余弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn)余弦定理的變形應(yīng)用答案120解析b2a2c22accos ba2c2ac，cos b，0b180，b120.2在abc中，關(guān)于x的方程(1x2)sin a2xsin b(1x2)sin c0有兩個(gè)不等的實(shí)根，則a為 (填“銳角”“直角”“鈍角”)考點(diǎn)判斷三角形形狀題點(diǎn)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀答案銳角解析由方程可得(sin asin c)x22xsin bsin asin c0. 方程有兩個(gè)不等的實(shí)根， 4sin2b4(sin2asin2c)0.由正弦定理，代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理，有2bccos ab2c2a20. 0a0)，則cos b.4如圖，兩座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分別為20 m，50 m，bd為水平面，則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角為 考點(diǎn)用余弦定理解三角形題點(diǎn)已知三邊解三角形答案45解析依題意可得ad20 m，ac30 m，又cd50 m，所以在acd中，由余弦定理得coscad，又0cad0，所以此三角形的形狀為銳角三角形2在abc中，若c2，b2a，且cos c，則a .考點(diǎn)余弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn)余弦定理與一元二次方程結(jié)合問(wèn)題答案1解析由cos c，得a1.3如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是 三角形(填銳角、直角、鈍角)考點(diǎn)判斷三角形形狀題點(diǎn)利用余弦定理判斷三角形形狀答案銳角解析設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c且a2b2c2，則(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，此時(shí)新三角形的最大角為銳角故新三角形是銳角三角形4在abc中，sin asin bsin c323，則cos c的值為 考點(diǎn)余弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn)已知三邊之比或三角正弦之比，求角答案解析由sin asin bsin c323，可得abc323.不妨設(shè)a3 ，b2 ，c3 ( 0)，則cos c.5在abc中，若a2bc，則角a是 角(填銳、直、鈍)考點(diǎn)余弦定理及其變形應(yīng)用題點(diǎn)用余弦定理求邊或角的取值范圍答案銳解析cos a0，0aa，cb，角c最大由余弦定理，得c2a2b22abcos c，即3791624cos c，cos c.0c4，則x所對(duì)的角為鈍角，0且x347，5x7.若x4，則4所對(duì)的角為鈍角，4，1x0，a，最大邊為2a1.三角形為鈍角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化簡(jiǎn)得0a2a1，a2，2a8.二、解答題12在abc中，已知a7，b8，cos c，求證：abc是鈍角三角形考點(diǎn)余弦定理的運(yùn)用題點(diǎn)利用余弦定理判斷三角形形狀證明由c2a2b22abcos c，得c3.由于邊b最大，從而角b最大又cos b0，b0)，則最大角為 考點(diǎn)用余弦定理解三角形題點(diǎn)已知三邊解三角形答案120解析易知a，b，設(shè)最大角為，則cos ，又(0，180)，120.15在abc中，a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求角a的大小；(2)若sin bsin c，試判斷abc的形狀考點(diǎn)判斷三角形形狀題點(diǎn)利用正弦、余弦定理、三角變換判斷三角形形狀解(1)2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb