人教B版必修5 等差數(shù)列的前n項和 第2課時　等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用 學案.doc

第2課時等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點)2.會求等差數(shù)列前n項和的最值.(重點、易錯點)3.能用裂項相消法求和.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)閱讀教材p40p41，完成下列問題.1.sn與an的關(guān)系an2.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中，其前n項和為sn，則an中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列sn，s2nsn，s3ns2n，s4ns3n，構(gòu)成等差數(shù)列.(2)數(shù)列an是等差數(shù)列snan2bn(a，b為常數(shù)).3.等差數(shù)列前n項和sn的最值(1)若a10，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得sn的最小值.(2)若a10，d0，d0，則s1是sn的最小值；若a10，d0，d1)，可知，當n1時，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n，當n1時，a1s1121，也滿足式.數(shù)列an的通項公式為an2n.由此可知：數(shù)列an是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列.1.已知前n項和sn求通項an，先由n1時，a1s1求得a1，再由n2時，ansnsn1求an，最后驗證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示.2.由數(shù)列的前n項和sn求an的方法，不僅適用于等差數(shù)列，它也適用于其他數(shù)列.再練一題1.已知下面各數(shù)列an的前n項和sn的公式，求an的通項公式.(1)sn2n23n；(2)sn3n2.【解】(1)當n1時，a1s1212311；當n2時，sn12(n1)23(n1)2n27n5，則ansnsn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此時若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)當n1時，a1s13121；當n2時，sn13n12，則ansnsn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此時若n1，an23n123112a1，故an等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)應(yīng)用(1)在等差數(shù)列an中，若s41，s84，則a17a18a19a20的值為() 【導(dǎo)學號：18082028】a.9b.12c.16d.17(2)等差數(shù)列an共有2n1項，所有的奇數(shù)項之和為132，所有的偶數(shù)項之和為120，則n等于_.【精彩點撥】(1)解決本題關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)s4，s8s4，s12s8，s16s12，a17a18a19a20能構(gòu)成等差數(shù)列.(2)利用等差數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)求解，或利用“基本量法”求解.【自主解答】(1)法一：由題意知：s41，s8s43，而s4，s8s4，s12s8，s16s12，s20s16成等差數(shù)列.即1,3,5,7,9，a17a18a19a20s20s169.法二：s4a1a2a3a41，s8s4a5a6a7a83，由得44d2，即8d1，a17a18a19a20(a5a6a7a8)412d348d369.法三：即得d，a17a18a19a204a1744464d189.(2)法一：(巧用性質(zhì))因為等差數(shù)列共有2n1項，所以s奇s偶an1，即132120，解得n10.法二：(基本量思想)可設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d.依題意可列方程組即所以，即n10.【答案】(1)a(2)10若數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為d，其前n項和為sn.(1)sk，s2ksk，s3ks2k，構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列.(2)若項數(shù)為2n項，則snn(anan1)，s偶s奇nd，s偶s奇an1an；若項數(shù)為2n1項，則s2n1(2n1)a2n1，s偶s奇an1，s偶s奇nn1.再練一題2.(1)等差數(shù)列an中，a2a7a1224，則s13_.(2)等差數(shù)列an的通項公式是an2n1，其前n項和為sn，則數(shù)列的前10項和為_. 【導(dǎo)學號：18082029】【解析】(1)由a2a7a1224，得a78.所以s1313a713104.(2)因為an2n1，所以a13.所以snn22n，所以n2，所以是公差為1，首項為3的等差數(shù)列，所以前10項和為310175.【答案】(1)104(2)75探究共研型等差數(shù)列前n項和sn的函數(shù)特征探究1將首項為a12，公差d3的等差數(shù)列的前n項和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個數(shù)列的前n項和為sn3n2n，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？【提示】首項為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項和為sn2nn2n，顯然sn是關(guān)于n的二次型函數(shù).如果一個數(shù)列的前n項和為sn3n2n，那么當n1時，s1a14.當n2時，ansnsn16n2，則該數(shù)列的通項公式為an6n2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列.一般地，等差數(shù)列的前n項和公式snna1dn2n，若令a，ba1，則上式可寫成snan2bn(a，b可以為0).探究2已知一個數(shù)列an的前n項和為snn25n，試畫出sn關(guān)于n的函數(shù)圖象.你能說明數(shù)列an的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項和有最值嗎？【提示】snn25n，它的圖象是分布在函數(shù)yx25x的圖象上的離散的點，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了an前n項為負數(shù).由sn的圖象可知，sn有最小值且當n2或3時，sn最小，最小值為6，即數(shù)列an前2項或前3項和最小.數(shù)列an的前n項和sn33nn2，(1)求an的通項公式；(2)問an的前多少項和最大；(3)設(shè)bn|an|，求數(shù)列bn的前n項和sn.【精彩點撥】(1)利用sn與an的關(guān)系求通項，也可由sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項.(2)利用sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解.(3)利用an判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負數(shù)，再求解，也可以利用sn的函數(shù)特征判斷項的正負求解.【自主解答】(1)法一：當n2時，ansnsn1342n，又當n1時，a1s1323421滿足an342n.故an的通項公式為an342n.法二：由snn233n知sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以an是等差數(shù)列，由sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故數(shù)列an的前17項大于或等于零.又a170，故數(shù)列an的前16項或前17項的和最大.法二：由yx233x的對稱軸為x.距離最近的整數(shù)為16,17.由snn233n的圖象可知：當n17時，an0，當n18時，an0，故數(shù)列an的前16項或前17項的和最大.(3)由(2)知，當n17時，an0；當n18時，an0.所以當n17時，snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2ansn33nn2.當n18時，sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)s17(sns17)2s17snn233n544.故sn1.在等差數(shù)列中，求sn的最小(大)值的方法(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小).(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.2.尋求正、負項分界點的方法(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找.(2)利用到y(tǒng)ax2bx(a0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點.3.求解數(shù)列|an|的前n項和，應(yīng)先判斷an的各項的正負，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.再練一題3.在等差數(shù)列中，a1023，a2522.(1)該數(shù)列第幾項開始為負；(2)求數(shù)列|an|的前n項和.【解】設(shè)等差數(shù)列an中，公差為d，由題意得(1)設(shè)第n項開始為負，an503(n1)533n，從第18項開始為負.(2)|an|533n|當n17時，snn2n；當n17時，sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，sn2s17n2n884，sn1.設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，sn為其前n項和.若s10s11，則a1()a.18 b.20 c.22 d.24【解析】由s10s11，得a11s11s100，a1a11(111)d0(10)(2)20.【答案】b2.已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為()a.5 b.4 c.3 d.2【解析】由題意得s偶s奇5d15，d3.或由解方程組求得d3，故選c.【答案】c3.已知數(shù)列an的前n項和snn21，則an_.【解析】當n1時，a1s12，當n2時，ansnsn1(n21)(n1)212n1，又因為n1時an2n11a1，所以an【答案】4.數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項和為sn，若sn(n1)2，則的值為_. 【導(dǎo)學號：18082030】【解析】等差數(shù)列前n項和sn的形式為snan2bn，1.【答案】15.已知數(shù)列an的前n項和公式為sn2n230n.