人教B版選修45 第二講 證明不等式的基本方法 章末復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè).docx

第二講 章末復(fù)習(xí)1若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()a. b2c2 d.42設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_3設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d0)的等差數(shù)列(1)證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；(3)是否存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得a，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由4 已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nn*)個(gè)極值點(diǎn)證明：(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列；(2)若a，則對一切nn*，xn0，b0，所以2，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)即a，b2時(shí)取“”，所以ab的最小值為2.【答案】c2.【解析】令t，則t2a1b32929a1b313ab13518，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3時(shí)取等號，此時(shí)a，b.tmax3.【答案】33.【解】(1)證明：因?yàn)?an1an2d(n1,2,3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列(2)不存在，理由如下：令a1da，則a1，a2，a3，a4分別為ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假設(shè)存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，則1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化簡得t32t220(*)，且t2t1.將t2t1代入(*)式，得t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，則t.顯然t不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列(3)不存在，理由如下：假設(shè)存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得a，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k)，分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以a及a，并令t，則(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k)將上述兩個(gè)等式兩邊取對數(shù)，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t)化簡得2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t)，且3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t)再將這兩式相除，化簡得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)(*)令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，則g(t).令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)，則(t)6(13t)ln(13t)2(12t)ln(12t)(1t)ln(1t)令1(t)(t)，則1(t)63ln(13t)4ln(12t)ln(1t)令2(t)1(t)，則2(t)0.由g(0)(0)1(0)2(0)0，2(t)0，知2(t)，1(t)，(t)，g(t)在和(0，)上均單調(diào)故g(t)只有唯一零點(diǎn)t0，即方程(*)只有唯一解t0，故假設(shè)不成立所以不存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得a，a，a，a依次構(gòu)成等比數(shù)列4.【證明】(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mn*.對kn，若2kx(2k1)，即2kx0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，則f(x)0.因此，在區(qū)間(m1)，m)與(m，m)上，f(x)的符號總相反于是當(dāng)xm(mn*)時(shí)，f(x)取得極值，所以xnn(nn*)此時(shí)，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列(2)由(1)知，sin ，于是對一切nn*，xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等價(jià)于0)設(shè)g(t)(t0)，則g(t).令g(t)0得t1.當(dāng)0t1時(shí)，g(t)1時(shí)，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增從而當(dāng)t1時(shí)，函數(shù)g(t)取得最小值g(1)e.因此，要