全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線(原題+解析).doc

全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線一填空題（共1小題）1（2015秋宿遷校級(jí)月考）如圖，在中，90，平分交于D若：3：2，點(diǎn)D到的距離為6，則的長是二解答題（共10小題）2（2010秋涵江區(qū)期末）如圖所示，在中，90，平分交于D，求證：3如圖，是中邊上的中線，求證：（）4（2013秋藁城市校級(jí)期末）在中，90，直線，經(jīng)過點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明5已知中，60，分別平分和，、交于點(diǎn)O，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由6（2012秋西城區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，中，點(diǎn)D，E分別在，邊上，F(xiàn)是中點(diǎn)，連交于點(diǎn)E，180，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論7（2010秋豐臺(tái)區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形中，90，點(diǎn)D是內(nèi)的一點(diǎn)，且，若30，試探究與的數(shù)量關(guān)系并加以證明8已知點(diǎn)M是等邊中邊上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），作60，交外角平分線于點(diǎn)N（1）求證：；（2）若點(diǎn)M在的延長線上，其余條件不變，結(jié)論“”是否依然成立？請(qǐng)你畫出圖形并證明你的結(jié)論9（2015春閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形中，M是的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且2求證：10已知：如圖，是正方形，求證：11（2010秋巢湖期中）如圖，、分別是、的中線，且求證：2全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線參考答案與試題解析一填空題（共1小題）1（2015秋宿遷校級(jí)月考）如圖，在中，90，平分交于D若：3：2，點(diǎn)D到的距離為6，則的長是15【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】作于E，如圖，則6，根據(jù)角平分線定理得到6，再由：3：2可計(jì)算出9，然后利用進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：作于E，如圖，則6，平分，6，：3：2，6=9，9+6=15故答案為15【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等二解答題（共10小題）2（2010秋涵江區(qū)期末）如圖所示，在中，90，平分交于D，求證：【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】利用已知條件，求得E，2=1，得出（），【解答】證法一：如答圖所示，延長，到E使，連接90，（180）=45，45，E平分，1=2在和中，（），證法二：如答圖所示，在上截取，連接，平分，1=2在和中，（）90，又，4545，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形各邊之間的關(guān)系3如圖，是中邊上的中線，求證：（）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】可延長到E，使，連，則得，進(jìn)而在中利用三角形三邊關(guān)系，證之【解答】證明：如圖延長至E，使，連接在和中：（），（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即2，（）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，能夠熟練掌握4（2013秋藁城市校級(jí)期末）在中，90，直線，經(jīng)過點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】（1）利用垂直的定義得90，則根據(jù)互余得90，再根據(jù)等角的余角相等得到，然后根據(jù)“”可判斷，所以，再利用等量代換得到；（2）與（1）一樣可證明，則，于是有；（3）與（1）一樣可證明，則，于是有【解答】（1）證明：，90，90，90，90，在和，（），；（2）證明：與（1）一樣可證明，；（3）解：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等5已知中，60，分別平分和，、交于點(diǎn)O，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】在上取點(diǎn)G使得，可證，得，可證，得，可以求得【解答】解：在上取點(diǎn)G使得，180（）=180（18060）=120，60，在和中，（），60，12060=60=，在和中，（），【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證和是解題的關(guān)鍵6（2012秋西城區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，中，點(diǎn)D，E分別在，邊上，F(xiàn)是中點(diǎn)，連交于點(diǎn)E，180，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】探究型【分析】延長至點(diǎn)G，使，連，證，求出，推出，即可得出答案【解答】結(jié)論： 證明：延長至點(diǎn)G，使，連，F(xiàn)為中點(diǎn)，在和中（），又180，180，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用7（2010秋豐臺(tái)區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形中，90，點(diǎn)D是內(nèi)的一點(diǎn)，且，若30，試探究與的數(shù)量關(guān)系并加以證明【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】探究型【分析】作，兩線相交于點(diǎn)E，則四邊形是正方形，由30，得60，由，得，所以，三角形是等邊三角形，可得60，30，所以，可得；【解答】解：證明：作，兩線相交于點(diǎn)E，是等腰直角三角形，即，四邊形是正方形，30，60，是等邊三角形，60，30，在和中，（），【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建正方形，通過證明三角形全等得出線段相等，是解答本題的基本思路8已知點(diǎn)M是等邊中邊上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），作60，交外角平分線于點(diǎn)N（1）求證：；（2）若點(diǎn)M在的延長線上，其余條件不變，結(jié)論“”是否依然成立？請(qǐng)你畫出圖形并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）在上截取，證明即可；（2）在的延長線上截取，證明即可【解答】證明：（1）如圖1，在上截取，是等邊三角形，是等邊三角形，120，是外角平分線，120，60，120，60，120，在和中，（），（2）點(diǎn)M在的延長線上，如圖2所示，在的延長線上截取，是等邊三角形，是等邊三角形，60，是外角平分線，60，60，在和中，（），【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵9（2015春閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形中，M是的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且2求證：【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】延長到F，使，連接與相交于點(diǎn)N，利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，然后求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得，從而得證【解答】證明：如圖，延長到F，使，連接與相交于點(diǎn)N，在和中，（），又M是的中點(diǎn)，2，既是的角平分線也是中線，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和全等三角形10已知：如圖，是正方形，求證：【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】延長到G，使，連接，由四邊形為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到，90，進(jìn)而得到5=1+3，18090，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到5，1=2=4，等量代換得到，利用等角對(duì)等邊得到，由，等量代換即可得證【解答】解：延長到G，使，連接，四邊形為正方形，90，5=1+3，18090，在和中，（），5，1=2=4，5=1+3=4+3=，【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵11（2010秋巢湖期中）如圖，、分別是、的中線，且求證：2【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】延長到F，使，連接，由得出對(duì)應(yīng)的邊角相等，進(jìn)而求證，即可得出結(jié)論【解答】證明：延長到F，使，連接是的中線，又，（），；是的中線，又，又，（），2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解決此題的關(guān)鍵是通過延長中線構(gòu)造全等三角形考點(diǎn)卡片1三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形（3）三角形的兩邊差小于第三邊（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略2全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形3角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等注意：這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，C在的平分線上，4等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的兩腰相等 等腰三角形的兩個(gè)底角相等【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合【三線合一】（3）在等腰；底邊上的高；底邊上的中線；頂角平分線以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論5等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸6等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)即：兩個(gè)銳角都是45，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形