第5-6章：如何建立數(shù)學(xué)模型及實(shí)例.doc

103如何建立數(shù)學(xué)模型及實(shí)例數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)科研處數(shù)學(xué)建模小組第五章：如何建立數(shù)學(xué)模型怎樣撰寫(xiě)數(shù)學(xué)建模的論文？1什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。2什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。觀點(diǎn)：“所謂高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”注 數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻劃該實(shí)際問(wèn)題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來(lái)求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮。注2 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的必備手段之一。3數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒(méi)有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法： 機(jī)理分析 測(cè)試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。 測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類(lèi)模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。 測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。 將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。 在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見(jiàn)下圖。 符合實(shí)際不符合實(shí)際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè) 確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實(shí)際問(wèn)題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型 4、數(shù)學(xué)模型及其分類(lèi) 模型 數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)： 按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。 按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。5怎樣撰寫(xiě)數(shù)學(xué)建模的論文？1、 摘要: 摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評(píng)論的簡(jiǎn)短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文即能獲得必要的信息。在數(shù)學(xué)建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學(xué)建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實(shí)際問(wèn)題、建立的模型、求解模型的方法、獲得基本結(jié)果以及對(duì)模型的檢驗(yàn)或推廣。論文摘要需要用概括、簡(jiǎn)練的語(yǔ)言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點(diǎn)，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學(xué)公式，不自我評(píng)價(jià)，且字?jǐn)?shù)應(yīng)在200以內(nèi)。前幾年，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽要求摘要字?jǐn)?shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2001年開(kāi)始，為了提高論文評(píng)選效率，要求將論文第一頁(yè)全用作摘要，對(duì)字?jǐn)?shù)已無(wú)明確限制。故在摘要中也可適當(dāng)出現(xiàn)反映結(jié)果的圖、表和數(shù)學(xué)公式。 2、 問(wèn)題重述： 數(shù)學(xué)建模比賽要求解決給定的問(wèn)題，所以論文中應(yīng)敘述給定問(wèn)題。撰寫(xiě)這部分內(nèi)容時(shí)，不要照抄原題，應(yīng)把握住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，再用較精練的語(yǔ)言敘述問(wèn)題。3、 模型假設(shè)： 建模時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的特征和建模的目的，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，忽略次要因素，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準(zhǔn)確的語(yǔ)言列出問(wèn)題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問(wèn)題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的或無(wú)用的模型；假設(shè)作得過(guò)分詳盡，試圖把復(fù)雜的眾多因素都考慮進(jìn)去，會(huì)使工作很難或無(wú)法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡(jiǎn)化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑小?、 分析與建立模型： 根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)就盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫(xiě)這一部分時(shí)，對(duì)所用的變量、符號(hào)、計(jì)量單位應(yīng)作解釋?zhuān)囟ǖ淖兞亢蛥?shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當(dāng)圖形、表格來(lái)描述問(wèn)題或數(shù)據(jù)。5、 模型求解： 使用各種數(shù)學(xué)方法或軟件包求解數(shù)學(xué)模型。此部分應(yīng)包括求解過(guò)程的公式推導(dǎo)、算法步驟及計(jì)算結(jié)果。為求解而編寫(xiě)的計(jì)算機(jī)程序應(yīng)放在附錄部分。有時(shí)需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。6、 模型檢驗(yàn)： 指導(dǎo)求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，與實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實(shí)際不符，問(wèn)題常出現(xiàn)在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模。這一步對(duì)于模型是否真的有用十分關(guān)健。7、 模型推廣： 將該問(wèn)題的模型推廣到解決更多的類(lèi)似問(wèn)題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進(jìn)一步研究的建議。8、參考文獻(xiàn)： 在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在參考文獻(xiàn)中。需標(biāo)明出版物名稱(chēng)、頁(yè)碼、著者姓名、出版日期、出版單位等、9、 附錄： 附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不方便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計(jì)算機(jī)程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠多的注釋和說(shuō)明語(yǔ)句。附：2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范l 甲組參賽隊(duì)從A、B題中任選一題，乙組參賽隊(duì)從C、D題中任選一題。l 論文（答卷）用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁(yè)邊距。l 論文第一頁(yè)為承諾書(shū)，具體內(nèi)容和格式見(jiàn)本規(guī)范第二頁(yè)。l 論文第二頁(yè)為編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)，用于賽區(qū)和全國(guó)評(píng)閱前后對(duì)論文進(jìn)行編號(hào)，具體內(nèi)容和格式見(jiàn)本規(guī)范第三頁(yè)。l 論文題目和摘要寫(xiě)在論文第三頁(yè)上，從第四頁(yè)開(kāi)始是論文正文。l 論文從第三頁(yè)開(kāi)始編寫(xiě)頁(yè)碼，頁(yè)碼必須位于每頁(yè)頁(yè)腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開(kāi)始連續(xù)編號(hào)。l 論文不能有頁(yè)眉，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標(biāo)志。l 論文題目用3號(hào)黑體字、一級(jí)標(biāo)題用4號(hào)黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號(hào)黑色宋體字，行距用單倍行距。l 提請(qǐng)大家注意：摘要在整篇論文評(píng)閱中占有重要權(quán)重，請(qǐng)認(rèn)真書(shū)寫(xiě)摘要（注意篇幅不能超過(guò)一頁(yè)）。全國(guó)評(píng)閱時(shí)將首先根據(jù)摘要和論文整體結(jié)構(gòu)及概貌對(duì)論文優(yōu)劣進(jìn)行初步篩選。l 引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料(包括網(wǎng)上查到的資料) 必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中均明確列出。正文引用處用方括號(hào)標(biāo)示參考文獻(xiàn)的編號(hào)，如13等；引用書(shū)籍還必須指出頁(yè)碼。參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出，其中書(shū)籍的表述方式為：編號(hào) 作者，書(shū)名，出版地：出版社，出版年。參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：編號(hào) 作者，論文名，雜志名，卷期號(hào)：起止頁(yè)碼，出版年。參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：編號(hào) 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問(wèn)時(shí)間（年月日）。l 在不違反本規(guī)范的前提下，各賽區(qū)可以對(duì)論文增加其他要求（如在本規(guī)范要求的第一頁(yè)前增加其他頁(yè)和其他信息，或在論文的最后增加空白頁(yè)等）；從承諾書(shū)開(kāi)始到論文正文結(jié)束前，各賽區(qū)不得有本規(guī)范外的其他要求（否則一律無(wú)效）。l 本規(guī)范的解釋權(quán)屬于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)。注 賽區(qū)評(píng)閱前將論文第一頁(yè)取下保存，同時(shí)在第一頁(yè)和第二頁(yè)建立“賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)”（由各賽區(qū)規(guī)定編號(hào)方式），“賽區(qū)評(píng)閱紀(jì)錄”表格可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用（各賽區(qū)自行決定是否在評(píng)閱時(shí)使用該表格）。評(píng)閱后，賽區(qū)對(duì)送全國(guó)評(píng)閱的論文在第二頁(yè)建立“全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)”（編號(hào)方式由全國(guó)組委會(huì)規(guī)定，與去年格式相同），然后送全國(guó)評(píng)閱。論文第二頁(yè)（編號(hào)頁(yè)）由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前取下保存，同時(shí)在第二頁(yè)建立“全國(guó)評(píng)閱編號(hào)”。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì) 2006年5月修訂2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：第六章幾個(gè)例子（一）數(shù)學(xué)建模實(shí)例：人口預(yù)報(bào)問(wèn)題1.問(wèn)題人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提.下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩百年的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年、2010年美國(guó)人口.表1 美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）人口（百萬(wàn)）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百萬(wàn)）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百萬(wàn)）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）此模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出.1 假設(shè)：人口增長(zhǎng)率r是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比）.2 建立模型： 記時(shí)刻t=0時(shí)人口數(shù)為x0, 時(shí)刻t的人口為，由于量大，可視為連續(xù)、可微函數(shù).t到時(shí)間內(nèi)人口的增量為： 于是滿足微分方程： （1）3 模型求解： 解微分方程（1）得 （2） 表明：時(shí)，（r0）.4 模型的參數(shù)估計(jì)：要用模型的結(jié)果（2）來(lái)預(yù)報(bào)人口，必須對(duì)其中的參數(shù)r進(jìn)行估計(jì)，這可以用表1的數(shù)據(jù)通過(guò)擬合得到.擬合的具體方法見(jiàn)本書(shū)第16章或第18章.通過(guò)表中1790-1980的數(shù)據(jù)擬合得：r=0.307. 5 模型檢驗(yàn)： 將x0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1810-1920的人口數(shù)，見(jiàn)表2.表2 美國(guó)實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年實(shí)際人口（百萬(wàn)）指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)人口（百萬(wàn)）誤差（%）17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3 從表2可看出，1810-1870間的預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來(lái)越大. 分析原因，該模型的結(jié)果說(shuō)明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng).而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口增加而減少.于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口凈增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一個(gè). 3. 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）1假設(shè)：（a）人口增長(zhǎng)率r為人口的函數(shù)（減函數(shù)），最簡(jiǎn)單假定（線性函數(shù)），r叫做固有增長(zhǎng)率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量.2建立模型： 當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)率應(yīng)為0，即=0，于是，代入得： （3）將（3）式代入（1）得：模型為： （4） 3 模型的求解： 解方程組（4）得 （5） 根據(jù)方程（4）作出 曲線圖，見(jiàn)圖1-1，由該圖可看出人口增長(zhǎng)率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)結(jié)果（5）作出xt曲線，見(jiàn)圖1-2，由該圖可看出人口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律. ox圖1-1 曲線圖 xto圖1-2 xt曲線圖4 模型的參數(shù)估計(jì)：利用表1中1790-1980的數(shù)據(jù)對(duì)r和xm擬合得：r=0.2072, xm=464. 5 模型檢驗(yàn)：將r=0.2072, xm=464代入公式（5），求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1800-1990的人口數(shù)，見(jiàn)表3第3、4列.也可將方程（4）離散化，得 t=0,1,2, (6)用公式（6）預(yù)測(cè)1800-1990的人口數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表3第5、6列.表3 美國(guó)實(shí)際人口與按阻滯增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年實(shí)際人口（百萬(wàn)）阻滯增長(zhǎng)模型公式（5）公式（6）預(yù)測(cè)人口（百萬(wàn)）誤差（%）預(yù)測(cè)人口（百萬(wàn)）誤差（%）17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.2614 0.0085 6.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.9687 0.383143.53290.1328189062.938.09860.394356.1884 0.1067190076.046.86990.383370.14590.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.2 87.26740.2917118.9509 0.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.7978 0.01261960179.3162.4835 0.0938170.27650.05031970204.0199.8919 0.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.2034250.44880.00386 模型應(yīng)用： 現(xiàn)應(yīng)用該模型預(yù)測(cè)人口.用表1中1790-1990年的全部數(shù)據(jù)重新估計(jì)參數(shù)，可得r=0.2083, xm=457.6. 用公式（6）作預(yù)測(cè)得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）進(jìn)行預(yù)測(cè).（二）椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明。一、 模型假設(shè)對(duì)椅子和地面都要作一些必要的假設(shè)：1、 椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形。2、 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。3、 對(duì)于椅腳的間距和椅腳的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。 B C A x D二、模型建立中心問(wèn)題是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示四只腳同時(shí)著地的條件、結(jié)論。首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量來(lái)表示椅子的位置。其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個(gè)距離為0時(shí)，表示椅腳著地了。椅子要挪動(dòng)位置說(shuō)明這個(gè)距離是位置變量的函數(shù)。由于正方形的中心對(duì)稱(chēng)性，只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為，B、D兩腳與地面距離之和為，顯然、，由假設(shè)2知f、g都是連續(xù)函數(shù)，再由假設(shè)3知、至少有一個(gè)為0。當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，這樣改變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為如下命題：命題 已知、是的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意，*=0，且，則存在，使。 三、模型求解將椅子旋轉(zhuǎn)，對(duì)角線AC和BD互換，由可知。令，則，由f、g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)定理，必存在使，由，所以。四、評(píng) 注 模型巧妙在于用已元變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對(duì)稱(chēng)性及旋轉(zhuǎn)并不是本質(zhì)的，同學(xué)們可以考慮四腳呈長(zhǎng)方形的情形。（三）雙層玻璃的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據(jù)說(shuō)這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個(gè)模型來(lái)描述熱量通過(guò)窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過(guò)程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。一、 模型假設(shè)1、 熱量的傳播過(guò)程只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流。即假定窗戶的密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動(dòng)的；2、 室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量是常數(shù)；3、 玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。二、 符號(hào)說(shuō)明 室內(nèi)溫度 室外溫度 單層玻璃厚度 兩層玻璃之間的空氣厚度 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 熱傳導(dǎo)系數(shù) 熱量損失三、 模型建立與求解由物理學(xué)知道，在上述假設(shè)下，熱傳導(dǎo)過(guò)程遵從下面的物理規(guī)律：厚度為的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量為，與成正比，與成反比，即 （1）其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)。 1、雙層玻璃的熱量流失記雙層窗內(nèi)窗玻璃的外側(cè)溫度為，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，由（1）式單位時(shí)間單位面積的熱量傳導(dǎo)（熱量流失）為： （2）由及可得再代入就將（2）中、消去，變形可得： （3）2、單層玻璃的熱量流失對(duì)于厚度為的單層玻璃窗戶，容易寫(xiě)出熱量流失為： （4）3、 單層玻璃窗和雙層玻璃窗熱量流失比較比較（3）（4）有： （5）顯然，。為了獲得更具體的結(jié)果，我們需要的數(shù)據(jù)，從有關(guān)資料可知，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），于是 在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損失時(shí)，我們作最保守的估計(jì)，即取，由（3）（5）可得： （6）4、模型討論比值反映了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它只與有關(guān)，下圖給出了的曲線，當(dāng)由0增加時(shí)，迅速下降，而當(dāng)超過(guò)一定值（比如）后下降緩慢，可見(jiàn)不宜選得過(guò)大。四、 模型的應(yīng)用這個(gè)模型具有一定的應(yīng)用價(jià)值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜會(huì)增加一些費(fèi)用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的。通常，建筑規(guī)范要求。按照這個(gè)模型，即雙層玻璃窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層窗節(jié)約熱量97%左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效主要是由于層間空氣的極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)，而這要求空氣是干燥、不流通的。作為模型假設(shè)的這個(gè)條件在實(shí)際環(huán)境下當(dāng)然不可能完全滿足，所以實(shí)際上雙層玻璃窗的功效會(huì)比上述結(jié)果差一些。（四）鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸優(yōu)化模型要鋪設(shè)一條的輸送天然氣的主管道, 如圖一所示(見(jiàn)反面)。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有。圖中粗線表示鐵路，單細(xì)線表示公路，雙細(xì)線表示要鋪設(shè)的管道(假設(shè)沿管道或者原來(lái)有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車(chē)站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯?dāng)?shù)字表示里程(單位km)。為方便計(jì)，1km主管道鋼管稱(chēng)為1單位鋼管。一個(gè)鋼廠如果承擔(dān)制造這種鋼管，至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位。鋼廠在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為個(gè)單位，鋼管出廠銷(xiāo)價(jià)1單位鋼管為萬(wàn)元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表：里程(km)300301350351400401450451500運(yùn)價(jià)(萬(wàn)元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000運(yùn)價(jià)(萬(wàn)元)37445055601000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬(wàn)元。公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位鋼管每公里0.1萬(wàn)元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）。鋼管可由鐵路、公路運(yùn)往鋪設(shè)地點(diǎn)（不只是運(yùn)到點(diǎn)，而是管道全線）。問(wèn)題：（1）請(qǐng)制定一個(gè)主管道鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最?。ńo出總費(fèi)用)。思考題：（2）請(qǐng)就（1）的模型分析：哪個(gè)鋼廠鋼管的銷(xiāo)價(jià)的變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，哪個(gè)鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用的影響最大，并給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果。（3）如果要鋪設(shè)的管道不是一條線，而是一個(gè)樹(shù)形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對(duì)圖二按（1）的要求給出模型和結(jié)果。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7圖一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)圖二一 基本假設(shè)：1 沿鋪設(shè)的主管道以有公路或者有施工公路。2 在主管道上，每公里卸1單位的鋼管。3 公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位鋼管每公里0.1萬(wàn)元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）4 在計(jì)算總費(fèi)用時(shí)，只考慮運(yùn)輸費(fèi)和購(gòu)買(mǎi)鋼管的費(fèi)用，而不考慮其他費(fèi)用。5 在計(jì)算鋼廠的產(chǎn)量對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃影響時(shí)，只考慮鋼廠的產(chǎn)量足夠滿足需要的情況，即鋼廠的產(chǎn)量不受限制。6 假設(shè)鋼管在鐵路運(yùn)輸路程超過(guò)1000km時(shí)，鐵路每增加1至100km，1單位鋼管的運(yùn)價(jià)增加5萬(wàn)元。二符號(hào)說(shuō)明：第個(gè)鋼廠； ：第個(gè)鋼廠的最大產(chǎn)量； ：輸送管道（主管道）上的第個(gè)點(diǎn)； ：第個(gè)鋼廠1單位鋼管的銷(xiāo)價(jià)； ：鋼廠向點(diǎn)運(yùn)輸?shù)匿摴芰浚?：在點(diǎn)與點(diǎn)之間的公路上，運(yùn)輸點(diǎn)向點(diǎn)方向鋪設(shè)的鋼管量； ()：1單位鋼管從鋼廠運(yùn)到結(jié)點(diǎn)的最少總費(fèi)用，即公路運(yùn)費(fèi)鐵路運(yùn)費(fèi)和 鋼管銷(xiāo)價(jià)之和； ：與點(diǎn)相連的公路和鐵路的相交點(diǎn)； ：相鄰點(diǎn)與之間的距離； 三模型的建立與求解問(wèn)題一：討論如何調(diào)整主管道鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸方案使總費(fèi)用最小由題意可知，鋼管從鋼廠到運(yùn)輸結(jié)點(diǎn)的費(fèi)用包括鋼管的銷(xiāo)價(jià)鋼管的鐵路運(yùn)輸費(fèi)用和鋼管的公路運(yùn)輸費(fèi)用。在費(fèi)用最小時(shí)，對(duì)鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸進(jìn)行分配，可得出本問(wèn)題的最佳方案。1、 求鋼管從鋼廠運(yùn)到運(yùn)輸點(diǎn)的最小費(fèi)用1）將圖一轉(zhuǎn)換為一系列以單位鋼管的運(yùn)輸費(fèi)用為權(quán)的賦權(quán)圖。由于鋼管從鋼廠運(yùn)到運(yùn)輸點(diǎn)要通過(guò)鐵路和公路運(yùn)輸，而鐵路運(yùn)輸費(fèi)用是分段函數(shù)，與全程運(yùn)輸總距離有關(guān)。又由于鋼廠直接與鐵路相連，所以可先求出鋼廠到鐵路與公路相交點(diǎn)的最短路徑。如圖三 圖三 鐵路網(wǎng)絡(luò)圖依據(jù)鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)表，算出鋼廠到鐵路與公路相交點(diǎn)的最小鐵路運(yùn)輸費(fèi)用，并把費(fèi)用作為邊權(quán)賦給從鋼廠到的邊。再將與相連的公路、運(yùn)輸點(diǎn)及其與之相連的要鋪設(shè)管道的線路（也是公路）添加到圖上，根據(jù)單位鋼管在公路上的運(yùn)價(jià)規(guī)定，得出每一段公路的運(yùn)費(fèi)，并把此費(fèi)用作為邊權(quán)賦給相應(yīng)的邊。以為例得圖四 圖四 鋼管從鋼廠運(yùn)到各運(yùn)輸點(diǎn)的鐵路運(yùn)輸與公路運(yùn)輸費(fèi)用權(quán)值圖2）計(jì)算單位鋼管從到的最少運(yùn)輸費(fèi)用根據(jù)圖四，借助圖論軟件包中求最短路的方法求出單位鋼管從到的最少運(yùn)輸費(fèi)用依次為：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（單位：萬(wàn)元）。加上單位鋼管的銷(xiāo)售價(jià)，得出從鋼廠購(gòu)買(mǎi)單位鋼管運(yùn)輸?shù)近c(diǎn)的最小費(fèi)用依次為：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（單位：萬(wàn)元）。同理，可用同樣的方法求出鋼廠到點(diǎn)的最小費(fèi)用，從而得出鋼廠到點(diǎn)的最小總費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）為： 表一 到點(diǎn)最小費(fèi)用a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15s1320.3300.2258.6198180.5