華南理工大學(xué)版微積分下課件18.doc

第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、引入問題：怎樣計(jì)算不可壓縮流體流過某曲面的流量？計(jì)算自來水的流量，設(shè)水速為，水管的截面積為，則流量為。（截面與速度方向垂直）（如圖1）若考慮的截面不與速度垂直其面積為法向量為，此時(shí)流量還是：有向曲面：我們考慮一般曲面，取定了法向量即選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。正側(cè)：上側(cè)、右側(cè)、前側(cè)；負(fù)側(cè)：下側(cè)、左側(cè)、后側(cè)。對(duì)于閉曲面分為：內(nèi)側(cè)、外側(cè)。如果速度不是常量（與時(shí)間無關(guān)），流過某曲面（非平面），怎么求流量？（如圖2）速度為，流過曲面的流量1) 化整為零：把分割成小塊，2) 近似代替：在中任取一點(diǎn)這一點(diǎn)處的單位法向量作為一小片的法向量設(shè)為，流過的流量為 （注意符號(hào)）3) 積零為整：；4) 無限趨近：取為這 小塊曲面面積的最大值記為二、第二型曲線積分的定義設(shè)是定義在可求面積的有向曲面上的向量值函數(shù)1） 化整為零：把分割成小塊，2） 近似代替：在中任取一點(diǎn)這一點(diǎn)處的單位法向量作為一小片的法向量設(shè)為，做乘積 （注意符號(hào)）3） 積零為整：；4） 無限趨近：取為這 小塊曲面面積的最大值，如果對(duì)于任意的分割，任意取的點(diǎn)極限則稱此極限為向量值函數(shù)在曲面上的積分。記為注：如改變曲面的側(cè)，則積分值反號(hào)。三、怎樣計(jì)算第二型曲面積計(jì)算，關(guān)鍵是處理！把方程可化為，并取前側(cè) (其中為在面上的投影)例1：計(jì)算曲面積分，其中是球面的外側(cè)并滿足的部分。解：把曲面方程表示成關(guān)于的函數(shù)的形式，要做到這一點(diǎn)必須把曲面分成兩塊，其方程分別為和；它們?cè)诿嫔系耐队盀橥黄矫鎱^(qū)域按題意取上側(cè)，取下側(cè)，因此點(diǎn)評(píng)：在計(jì)算第二類曲面積分時(shí)，首先要確定積分曲面向那個(gè)坐標(biāo)面上投影，主要看積分表達(dá)式來確定，如例1中積分表達(dá)式中有所以應(yīng)向面上投影；其次把曲面方程化為顯函數(shù)形式，如例1中確定向面上投影后，曲面方程應(yīng)化為關(guān)于的函數(shù)的形式，如果不能用一個(gè)顯函數(shù)表示就應(yīng)把曲面分割成若個(gè)塊；最后把曲面積分化為二重積分。例2：計(jì)算，其中為平面在第一卦限部分的上側(cè)。解：1）在面上的投影為且，曲面指定方向?yàn)榍皞?cè)，所以2）在面上的投影為且，曲面指定方向?yàn)橛覀?cè)，所以3）在面上的投影為且，曲面指定方向?yàn)樯蟼?cè)，所以原式。例3：計(jì)算，其中，為球面的外側(cè)。解：由于積分曲面和被積函數(shù)具有對(duì)稱性，所以有因此我們只需計(jì)算，此時(shí)把曲面方程化為關(guān)于的顯函數(shù)，必須要分成上下兩塊取上側(cè)；取下側(cè)，它們?cè)诿嫔系耐队岸紴?，所以點(diǎn)評(píng)：在計(jì)算第二類曲面積分時(shí)，一定要分析清楚積分曲面和被積函數(shù)的一些特征，如對(duì)稱性等，以便簡(jiǎn)化計(jì)算過程。四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系=例4：計(jì)算，其中是錐面被平面所截下的有限部分下側(cè)。解：我們考慮把以上曲面積分化為第一類曲面積分，此曲面上一點(diǎn)處的法向量為因?yàn)槭侨∠聜?cè)，所以軸的坐標(biāo)應(yīng)為負(fù)值。此法向量的單位向量為。且此曲面在面上的投影為圓盤點(diǎn)評(píng)：有時(shí)運(yùn)用第二類曲面積分的基本方法計(jì)算非常繁雜，如例2，用基本方法做要考慮曲面對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的投影，計(jì)算量很大，若把它轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分可大大簡(jiǎn)化計(jì)算，如例3。在轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分時(shí)，關(guān)鍵是怎樣確定指向定向曲面所指定的一側(cè)的法向量，基本方法如下：1） 如果指的是上側(cè)，法向量軸坐標(biāo)為正，指的是下側(cè)，法向量軸坐標(biāo)為負(fù)；2