任意角的三角函數(shù)導學案.doc

課題：3.2.1 任意角的三角函數(shù)（第一課時）一 教學目標 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2. 理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3. 已知角終邊上一點，會求角的各三角函數(shù)值.二 教學重難點：重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義。難點: 任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；已知角終邊上一點，會求角的各三角函數(shù)值. 三 復習回顧：復習1：用弧度制寫出終邊在下列位置的角的集合.（1）坐標軸上； （2）第二、四象限.復習2：銳角的三角函數(shù)如何定義？在初中，我們?nèi)绻笠粋€銳角的三角函數(shù)值，經(jīng)常把這個角放到一個直角三角形中求其比值，從而得到銳角三角函數(shù)的值。那么，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標更方便的去求一個銳角的三角函數(shù)值嗎？我們可以采用以下方法：如圖，設銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點，它與原點的距離. 過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為，線段的長度為.可得：； = ，= .四、新課學習：知識點1：三角函數(shù)的定義認真閱讀教材P11-P12，領會下面的內(nèi)容：由相似三角形的知識，對于確定的角，這三個比值不會隨點P在的終邊上的位置的改變而改變，因此我們可以將點P取在使線段OP的長為r=1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示的銳角三角函數(shù)的值為：_；_；_問題：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示. 那么，角的概念推廣以后，我們應該如何得到任意角的三角函數(shù)呢？ 顯然，我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離為1，然后就可以類似銳角三角函數(shù)求值的方法得到該角的三角函數(shù)值.注：單位圓：在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.上述的點P就是的終邊與單位圓的交點，這樣銳角三角函數(shù)就可以用單位圓上的點的坐標表示。那么我們可以用同樣的方法得到任意角的三角函數(shù)值。如圖，設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：（1）y叫做的正弦(sine)，記做；（2）x叫做的余弦(cossine)，記做；（3）叫做的正切(tangent)，記做.即：，.練習：角與單位圓的交點坐標為 ，則sin= ，cos= ，tan= .注：1)當時，的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于0，所以無意義.2)三角函數(shù)的定義域：函數(shù)定義域確定三角函數(shù)的定義域時，要抓住分母不為0這一關鍵，當角的終邊在坐標上時，點P的坐標中必有一個為0.3）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系，因而三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù),正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。探究：如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數(shù)值呢?根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，在直角坐標系中，設是一個任意角，終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，則：；=； =.注意：一個角的三角函數(shù)值只與這個角的終邊的位置有關，而與點的選取無關。 為計算方便，我們把半徑為1的圓（單位圓）與角的終邊的交點選為點的理想位置。典型例題：例:求角的正弦、余弦和正切值變式練習1 求角的正弦、余弦和正切值小結：作角終邊求角終邊與單位圓的交點利用三角函數(shù)定義來求,或在角的終邊上找一個容易找到的點，利用，=， =求三角函數(shù)值.2、求角的正弦、余弦和正切值例:已知角的終邊經(jīng)過點P(4,3)，求sin、cos、的值；練習：已知角的終邊經(jīng)過點P(-4,2)，求sin、cos、的值；方法總結：首先判斷角的終邊是否在單位圓上，再確定做題的方法。例：已知角的終邊經(jīng)過點P(4a,3a)(a0)，求2sin+cos的值；例：已知角的終邊在直線y=-3x上，求sin,cos,tan的值。當堂檢測1. （ ）. A. 1 B. C. D. 2. （ ）. A. B. C. D. 3. 如果角的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸重合，終邊在函數(shù)的圖象上，那么的值為（ ）. A. 5 B. 5 C. D. 4. .5. 已知點在角的終邊上，則= .課后作業(yè)：（一）選擇題1、已知角的終邊過點P（1,2）,cos的值為 （ ） A B C D2、是第二象限角，P（x, ） 為其終邊上一點，且cos=x，則sin的值為 （ ）A B C D二填空題3、角的終邊上有一點P（m，5），且，則sin+cos=_4、已知角的終邊在直線y = x 上，則sin= ；= 三 解答題5、已知角終邊上一點P與x軸的距離和與y軸的距離之比為34（且均不為零），求2sin+cos的值知識點二：任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：由于，所以任意角的三角函數(shù)的符號取決于點P所在的象限當角的終邊在第一象限時，點P在第一象限，所以；當角的終邊在第二象限時，點P在第二象限，所以；當角的終邊在第三象限時，點P在第三象限，所以；當角的終邊在第四象限時，點P在第四象限，所以全正正切正余弦正正弦正xyo任意角的三角函數(shù)符號的記憶方法：典型例題：例：判定下列各角的各三角函數(shù)符號：（1）4327 （2 分析 關鍵是判定角所在的象限練習：判斷下列三角函數(shù)值的符號。例：根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.練習：練習：書第15頁練習練習：請你求下列各角的三角函數(shù)值并背會：練習：求下列三角函數(shù)的值：例:求下列各式的值:(1)；(2).鞏固性練習1計算：2計算：當堂檢測：1、判別下列各三角函數(shù)值的符號：1）sin250 2）cos（） 3）tan(66636) 4）tan 5）sin 6）cos10202、根據(jù)下列已知，判別所在象限：1）sin0且tan0 、 tancoscosx呢？當堂檢測：1、作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）； （2）； （3）； （4）3、 利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍 5、求滿足下列條件的角的范圍：（1）； （2）6、求證：。知識點五：同角三角函數(shù)的基本關系推導：以正弦線、余弦線和半徑三者的長構成直角三角形，而且，由勾股定理有：即，根據(jù)三角函數(shù)的定義，當時，有,討論幾個問題：A.上述兩個關系式，在一些什么情況下成立？B.“sincos1”對嗎？C. 同角三角函數(shù)關系式可以解決哪些問題？（求值：已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)的值； 化簡；證明）D.從上面兩個公式，你還能推導出同角三角函數(shù)的其它關系嗎？同角三角函數(shù)的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運用平方關系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值。典型例題：例：已知cos，求sin，tan的值. 練習：已知sin，求cos，tan的值. 小結：注意符號（象限確定）；同角三基本式的運用（分析聯(lián)系）；知一求二.練習： 已知tanm（m0），求sin，cos的值. （分象限討論） 化簡costan. （化簡方法：切化弦） 化簡下列各式：例：1）已知0,2) 已知0,3）已知小結： 給值求值：已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值. 化簡的要求（化簡后的式子，三角函數(shù)的種類最少；分母不含根式；項數(shù)最少；能求出值的求出值）例：化簡：例：用多種方法證明： 小結方法：由其它等式而轉化（先證交叉乘積相等）；或證和（差），或證商比較法；直接證明左邊等于右邊或右邊等于左邊或可以左右歸一。.練習：求證：sinx tanx =tanxsinx.練習： 已知sin=2sin，tan=3tan，求的值. 已知+=1，求sin+cos的值. 小結：注意象限定符號