任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案.doc

課題：3.2.1 任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)）一 教學(xué)目標(biāo) 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2. 理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3. 已知角終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值.二 教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義。難點(diǎn): 任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；已知角終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值. 三 復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)1：用弧度制寫出終邊在下列位置的角的集合.（1）坐標(biāo)軸上； （2）第二、四象限.復(fù)習(xí)2：銳角的三角函數(shù)如何定義？在初中，我們?nèi)绻笠粋€(gè)銳角的三角函數(shù)值，經(jīng)常把這個(gè)角放到一個(gè)直角三角形中求其比值，從而得到銳角三角函數(shù)的值。那么，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)更方便的去求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值嗎？我們可以采用以下方法：如圖，設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離. 過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為，線段的長度為.可得：； = ，= .四、新課學(xué)習(xí)：知識(shí)點(diǎn)1：三角函數(shù)的定義認(rèn)真閱讀教材P11-P12，領(lǐng)會(huì)下面的內(nèi)容：由相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變，因此我們可以將點(diǎn)P取在使線段OP的長為r=1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的值為：_；_；_問題：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示. 那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何得到任意角的三角函數(shù)呢？ 顯然，我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，然后就可以類似銳角三角函數(shù)求值的方法得到該角的三角函數(shù)值.注：?jiǎn)挝粓A：在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.上述的點(diǎn)P就是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，這樣銳角三角函數(shù)就可以用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示。那么我們可以用同樣的方法得到任意角的三角函數(shù)值。如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么：（1）y叫做的正弦(sine)，記做；（2）x叫做的余弦(cossine)，記做；（3）叫做的正切(tangent)，記做.即：，.練習(xí)：角與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則sin= ，cos= ，tan= .注：1)當(dāng)時(shí)，的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于0，所以無意義.2)三角函數(shù)的定義域：函數(shù)定義域確定三角函數(shù)的定義域時(shí)，要抓住分母不為0這一關(guān)鍵，當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)中必有一個(gè)為0.3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù),正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。探究：如果知道角終邊上一點(diǎn),而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢?根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，則：；=； =.注意：一個(gè)角的三角函數(shù)值只與這個(gè)角的終邊的位置有關(guān)，而與點(diǎn)的選取無關(guān)。 為計(jì)算方便，我們把半徑為1的圓（單位圓）與角的終邊的交點(diǎn)選為點(diǎn)的理想位置。典型例題：例:求角的正弦、余弦和正切值變式練習(xí)1 求角的正弦、余弦和正切值小結(jié)：作角終邊求角終邊與單位圓的交點(diǎn)利用三角函數(shù)定義來求,或在角的終邊上找一個(gè)容易找到的點(diǎn)，利用，=， =求三角函數(shù)值.2、求角的正弦、余弦和正切值例:已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,3)，求sin、cos、的值；練習(xí)：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-4,2)，求sin、cos、的值；方法總結(jié)：首先判斷角的終邊是否在單位圓上，再確定做題的方法。例：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a,3a)(a0)，求2sin+cos的值；例：已知角的終邊在直線y=-3x上，求sin,cos,tan的值。當(dāng)堂檢測(cè)1. （ ）. A. 1 B. C. D. 2. （ ）. A. B. C. D. 3. 如果角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸重合，終邊在函數(shù)的圖象上，那么的值為（ ）. A. 5 B. 5 C. D. 4. .5. 已知點(diǎn)在角的終邊上，則= .課后作業(yè)：（一）選擇題1、已知角的終邊過點(diǎn)P（1,2）,cos的值為 （ ） A B C D2、是第二象限角，P（x, ） 為其終邊上一點(diǎn)，且cos=x，則sin的值為 （ ）A B C D二填空題3、角的終邊上有一點(diǎn)P（m，5），且，則sin+cos=_4、已知角的終邊在直線y = x 上，則sin= ；= 三 解答題5、已知角終邊上一點(diǎn)P與x軸的距離和與y軸的距離之比為34（且均不為零），求2sin+cos的值知識(shí)點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：由于，所以任意角的三角函數(shù)的符號(hào)取決于點(diǎn)P所在的象限當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，點(diǎn)P在第一象限，所以；當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，點(diǎn)P在第二象限，所以；當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，點(diǎn)P在第三象限，所以；當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí)，點(diǎn)P在第四象限，所以全正正切正余弦正正弦正xyo任意角的三角函數(shù)符號(hào)的記憶方法：典型例題：例：判定下列各角的各三角函數(shù)符號(hào)：（1）4327 （2 分析 關(guān)鍵是判定角所在的象限練習(xí)：判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)。例：根據(jù)條件且,確定是第幾象限的角.練習(xí)：練習(xí)：書第15頁練習(xí)練習(xí)：請(qǐng)你求下列各角的三角函數(shù)值并背會(huì)：練習(xí)：求下列三角函數(shù)的值：例:求下列各式的值:(1)；(2).鞏固性練習(xí)1計(jì)算：2計(jì)算：當(dāng)堂檢測(cè)：1、判別下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：1）sin250 2）cos（） 3）tan(66636) 4）tan 5）sin 6）cos10202、根據(jù)下列已知，判別所在象限：1）sin0且tan0 、 tancoscosx呢？當(dāng)堂檢測(cè)：1、作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）； （2）； （3）； （4）3、 利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍 5、求滿足下列條件的角的范圍：（1）； （2）6、求證：。知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系推導(dǎo)：以正弦線、余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形，而且，由勾股定理有：即，根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，有,討論幾個(gè)問題：A.上述兩個(gè)關(guān)系式，在一些什么情況下成立？B.“sincos1”對(duì)嗎？C. 同角三角函數(shù)關(guān)系式可以解決哪些問題？（求值：已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)的值； 化簡(jiǎn)；證明）D.從上面兩個(gè)公式，你還能推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的其它關(guān)系嗎？同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。典型例題：例：已知cos，求sin，tan的值. 練習(xí)：已知sin，求cos，tan的值. 小結(jié)：注意符號(hào)（象限確定）；同角三基本式的運(yùn)用（分析聯(lián)系）；知一求二.練習(xí)： 已知tanm（m0），求sin，cos的值. （分象限討論） 化簡(jiǎn)costan. （化簡(jiǎn)方法：切化弦） 化簡(jiǎn)下列各式：例：1）已知0,2) 已知0,3）已知小結(jié)： 給值求值：已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值. 化簡(jiǎn)的要求（化簡(jiǎn)后的式子，三角函數(shù)的種類最少；分母不含根式；項(xiàng)數(shù)最少；能求出值的求出值）例：化簡(jiǎn)：例：用多種方法證明： 小結(jié)方法：由其它等式而轉(zhuǎn)化（先證交叉乘積相等）；或證和（差），或證商比較法；直接證明左邊等于右邊或右邊等于左邊或可以左右歸一。.練習(xí)：求證：sinx tanx =tanxsinx.練習(xí)： 已知sin=2sin，tan=3tan，求的值. 已知+=1，求sin+cos的值. 小結(jié)：注意象限定符號(hào)