東北大學(xué) 數(shù)值分析 課件 考試題解析ppt.ppt

一 填空題 每空3分 共30分 考試題解析 解由于 得特征值 又A 1 2 設(shè)矩陣A 當(dāng)a取 值時 A可以唯一分解為GGT 其中G為下三角矩陣 1 設(shè)矩陣A 則 A Cond A 1 所以 A 1 5 A 1 1 5 7 解令 解只要取 x x3 a 或 x 1 x3 a 5 設(shè) x x3 x2 3 則差商 3 32 33 34 3 向量x x1 x2 x3 T 試問 x1 2x2 x3 是不是一種向量范數(shù) 而 x1 2x2 x3 是不是一種向量范數(shù) 是不是 4 求的Newton迭代格式為 1 6 設(shè)l0 x l1 x l2 x l3 x 是以x0 x1 x2 x3為互異節(jié)點的三次插值基函數(shù) 則 x 2 3 7 設(shè)S x 是以0 1 2為節(jié) 解 1 因為00 所以 x 僅在 1 2 內(nèi)有零點 而當(dāng)10 故 x 單調(diào) 因此方程 x 0有唯一正根 且在區(qū)間 1 2 內(nèi) 點的三次樣條函數(shù) 則b c 解由2 b c 1 5 6 2b c 8 12 2b 可得 二 13分 設(shè)函數(shù) x x2 sinx 1 1 試證方程 x 0有唯一正根 2 構(gòu)造一種收斂的迭代格式xk xk k 0 1 2 計算精度為 10 2的近似根 3 此迭代法的收斂階是多少 說明之 23 2 構(gòu)造迭代格式 由于 x 1 故此迭代法收斂 3 因為0 2 所以 取初值x0 1 5 計算得x1 1 41333 x2 1 40983 由于 x2 x1 0 0035 10 2 故可取根的近似值 x2 1 40983 0 故 此迭代法線性收斂 收斂階為1 三 14分 設(shè)線性方程組 1 寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式 分量形式 2 討論這兩種迭代法的收斂性 3 取初值x 0 0 0 0 T 若用Jacobi迭代法計算時 預(yù)估誤差 x x 10 取三位有效數(shù)字 2 因為A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 但不是正定矩陣 故Jacobi法收斂 SOR法當(dāng)0 1時收斂 解 1 Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為 3 由 1 可見 B 3 4 且取x 0 0 0 0 T 經(jīng)計算可得x 1 1 4 2 5 1 2 T 于是 x 1 x 0 1 2 所以有 四 13分 已知 0 2 1 3 2 5 1 0 5 解 1 由y0 2 y1 3 y2 5 y1 0 5 得 H3 x 2 0 x 3 1 x 5 2 x 0 5 1 x 令 0 x c x 1 2 x 2 可得 0 x 0 5 x 1 2 x 2 于是H3 x x 1 2 x 2 3x x 2 2 5x x 1 2 0 5x x 1 x 2 1 試建立一個三次插值多項式H3 x 使?jié)M足插值條件 H3 0 2 H3 1 3 H3 2 5 H3 1 0 5 2 設(shè)y x 在 0 2 上四次連續(xù)可微 試確定插值余項R x x H3 x 令 2 x cx x 1 2 可得 2 x 0 5x x 1 2 令 1 x x x 2 ax b 可得 1 x x x 2 令 1 x cx x 1 x 2 可得 1 x x x 1 x 2 x3 2 5x2 2 5x 2 2020 3 10 7 可編輯 由于 R 0 R 1 R 2 R 1 0 故可設(shè) 五 12分 試確定參數(shù)A B C及 使數(shù)值積分公式 4 A B C 0 A C 16 3 A 2 C 2 0 A 3 C 3 有盡可能高的代數(shù)精度 并問代數(shù)精度是多少 它是否是Gauss公式 解令公式對 x 1 x x2 x3 x4都精確成立 則有 R x C x x x 1 2 x 2 構(gòu)造函數(shù) t t H3 t C x t t 1 2 t 2 于是 存在 x 使 4 x 0 即 4 x 4 C x 0 64 5 A 4 C 4 解得 A C 10 9 B 16 9 12 5 1 2 容易驗證公式對 x x5仍精確成立 故其代數(shù)精度為5 是Gauss公式 六 12分 設(shè)初值問題 1 試證單步法 解 1 由于 是二階方法 2 以此法求解y 10y y 0 1時 取步長h 0 25 所得數(shù)值解 yn 是否穩(wěn)定 為什么 于是有 而 所以有 當(dāng)h 0 25時 有 所以此單步方法為二階方法 2 此單步方法用于方程y 10y 則有 所以 所得數(shù)值解