數學北師大版九年級上冊菱形的性質.docx

1菱形的性質與判定理解菱形的概念,了解它與平行四邊形之間的關系.1.經歷菱形的性質定理與判定定理的探索過程,進一步發(fā)展合情推理能力.2.能夠用綜合法證明菱形的性質定理與判定定理,進一步發(fā)展演繹推理能力.體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數學現(xiàn)象.【重點】1.菱形的概念和性質.2.探索菱形的判定方法【難點】菱形的概念和性質在生活中的應用.第課時探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性質,會進行簡單的推理和運算.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生合情推理的能力,進一步讓學生養(yǎng)成用數學知識說理的習慣,并要求學生能熟練地按規(guī)范的推理格式書寫.從學生已有的知識出發(fā),通過欣賞、觀察、動手操作等活動讓學生感受身邊的數學圖形的和諧美與對稱美,激發(fā)他們學習數學的興趣,樹立學好數學的信心,體會學習數學的快樂.培養(yǎng)學生主動探究、自主學習和合作交流的意識.【重點】菱形的概念和性質.【難點】菱形性質的靈活應用.【教師準備】1.教師在課前布置學生復習平行四邊形的性質,搜集菱形的相關圖片.2.多媒體課件.3.教師準備菱形紙片,上課前發(fā)給學生上課時使用.【學生準備】復習平行四邊形的性質導入一:請同學們觀察投影圖片中的四邊形并回答下列問題:(1)投影圖片中有平行四邊形嗎?(2)這些平行四邊形具有哪些特征?其中哪個特征不是平行四邊形的性質?【師生活動】復習平行四邊形的定義及性質.【學生活動】自主觀察,小組合作交流,探究投影圖片中平行四邊形的新特征.導入二:1.提問:什么是平行四邊形?學生回顧交流.2.平行四邊形的相鄰兩邊可能相等嗎?請同學們討論一下在我們生活中是否有相鄰兩邊相等的平行四邊形形狀的圖案?設計意圖通過這個環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學生的觀察和對比分析能力.提高學生發(fā)現(xiàn)數學、應用數學的意識和學習興趣.一、情景交流過渡語今天我們來學習一種特殊的平行四邊形,讓我們一起觀察、猜想、探究、歸納、論證吧!結合上面的觀察,你能舉出和上述圖形具有相同特征的實物圖形嗎?具有這一特征的平行四邊形是什么四邊形?【學生活動】通過討論,以小組為單位分別說出生活中具有鄰邊相等特征的平行四邊形形狀的實物.【教師活動】投影圖片展示一些生活中的具有鄰邊相等特征的平行四邊形形狀的實物.二、學生活動,歸納概念思路一請口答下列問題.(1)上述圖形都是平行四邊形嗎?(2)上述圖形都有一組鄰邊相等嗎?(3)如果平行四邊形有一組鄰邊相等,那么另一組鄰邊也相等嗎?小組合作交流,類比平行四邊形的定義嘗試給出菱形的定義.【老師點評】(1)是平行四邊形;(2)都有一組鄰邊相等.【課件展示】像這樣,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.思路二【師】同學們,在觀察上面圖片之后,你能從中發(fā)現(xiàn)熟悉的圖形嗎?你能找出它們的共同特征嗎?請同學們觀察,圖中的平行四邊形與黑板上所畫的ABCD相比較,還有不同點嗎?【生】投影圖片中的平行四邊形不僅對邊相等,而且任意兩條鄰邊也相等.【師】同學們觀察得很仔細,像這樣,有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.設計意圖通過這個環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學生的觀察和對比分析能力.讓學生觀察圖形,從直觀上把握菱形的特點,從而給出菱形的定義,讓學生明確菱形不但是平行四邊形,而且有其特點“一組鄰邊相等”.同時,讓學生去發(fā)現(xiàn)生活中因為有了數學而變得更精彩,從而提高學生學習數學的興趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質.你能列舉一些這樣的性質嗎? 【生】菱形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.(2)同學們,你認為菱形還具有哪些特殊的性質?請你與同伴交流.【學生活動】分小組討論菱形的性質,組長組織組員討論,讓盡可能多的組員發(fā)言,并匯總結果.【教師活動】教師巡視,并參與到學生的討論中,啟發(fā)學生類比平行四邊形從圖形的邊、角和對角線三個方面探討菱形的性質.對學生的結論,教師要及時作出評價,積極引導,激勵學生.【做一做】請同學們用菱形紙片折一折,回答下列問題:(1)菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?對稱軸之間有什么位置關系?(2)菱形中有哪些相等的線段?【學生活動】分小組折紙?zhí)剿鞔鸢?組長組織,并匯總結果.【教師活動】教師巡視并參與學生活動,引導學生怎樣折紙才能得到正確的結論.學生研討完畢,教師要展示匯總學生的折紙方法以及相應的結論,以便于后面的教學.【師生結論】(1)菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,且是菱形的兩條對角線所在的直線,兩條對稱軸互相垂直.(2)菱形的四條邊相等.設計意圖通過學生自己操作剪、折菱形紙片,探索菱形的對稱性,不僅增加學生學習的興趣,并為新課歸納菱形的性質做鋪墊.【驗證提升】證明菱形性質【師】通過折紙活動,同學們已經對菱形的性質有了初步的理解,下面我們要對菱形的性質進行嚴謹的邏輯證明.【教師活動】如圖所示,在菱形ABCD中,已知ABAD,對角線AC與BD相交于點O.求證:(1)ABBCCDAD;(2)ACBD.【師生共析】(1)菱形不僅對邊相等,而且鄰邊相等,這樣就可以證明菱形的四條邊都相等了.(2)因為菱形是平行四邊形,所以點O是對角線AC與BD的中點.又因為在圖形中可以得到相關的等腰三角形,所以就可以利用“三線合一”來證明結論了.【學生活動】寫出證明過程,進行組內交流對比,優(yōu)化證明方法,掌握相關定理.指名學生在黑板上演示證明過程.證明:(1)菱形ABCD是平行四邊形,ABCD,ADBC(平行四邊形的對邊相等).ABAD,ABBCCDAD.(2)ABAD,ABD是等腰三角形.四邊形ABCD是菱形,OBOD(菱形的對角線互相平分).在等腰三角形ABD中,OBOD,AOBD,即ACBD.【教師活動】展示學生的證明過程,進行恰當的點評和鼓勵,優(yōu)化學生的證明方法,規(guī)范學生的書寫格式,提高學生的邏輯證明能力.【教師活動】請你根據上面的證明,歸納出菱形的性質.【學生活動】小組交流,共同總結.【教師活動】多媒體課件展示定理:菱形的四條邊相等.定理:菱形的對角線互相垂直.最后強調“菱形的四條邊相等”“菱形的對角線互相垂直”,讓學生形成牢固記憶,留下深刻印象.設計意圖學生通過折紙可以猜想到菱形的相關性質,教師在參與學生活動的過程中,應該關注學生的口述論證過程,并根據學生的認知水平加以引導,盡量減少學生推理論證過程中的困難.四、展示交流【教師活動】例題講解.(教材例1)如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O, BAD60,BD6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.解析因為菱形的鄰邊相等,一個內角是60,這樣就可以得到等邊三角形ABD,由BD6知菱形的邊長也是6.菱形的對角線互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的對角線互相平分,可以得到OB3,根據勾股定理就可以求出OA的長度,再一次根據菱形的對角線互相平分,即AC2OA,求出AC.解:四邊形ABCD是菱形,ABAD(菱形的四條邊相等),ACBD(菱形的對角線互相垂直),OBOD12BD1263(菱形的對角線互相平分).在等腰三角形ABD中,BAD60,ABD是等邊三角形.ABBD6.在RtAOB中,由勾股定理,得:OA2OB2AB2,OAAB2-OB262-3233,AC2OA63.知識拓展(1)菱形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質;(2)菱形的定義既可以看做菱形的性質,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質:(1)菱形是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在的直線;(2)菱形的四條邊都相等;(3)菱形的對角線互相垂直平分.3.菱形具有平行四邊形的所有性質,應用菱形的性質可以進行計算和推理.1.如圖所示,在菱形ABCD中,AB5,BCD120,則對角線AC的長是()A.20B.15C.10D.5解析:因為四邊形ABCD是菱形,所以ABCB,CDBA,所以ABC180-BCD180-12060,所以ABC是等邊三角形,所以ACAB5.故選D.2.如圖所示,菱形ABCD的周長為8 cm.BAD60,則AC cm.解析:因為菱形ABCD的周長為8 cm,所以ABAD2 cm.又因為BAD60,所以ABD是等邊三角形,所以BDAB2 cm,所以OB12BD1 cm,所以OAAB2-OB222-123(cm),所以AC23 cm.故填23.3.如圖所示,在四邊形ABCD中,ABCD,ABCDBC,則四邊形ABCD是菱形嗎?為什么?解:四邊形ABCD是菱形.理由:ABCD,ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形.又CDBC,平行四邊形ABCD是菱形.4.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,F是AB上一點,DF交AC于點E.求證AFDCBE.證明:四邊形ABCD是菱形,CBCD,CA平分BCD.BCEDCE.又CECE,BCEDCE(SAS).CBECDE.在菱形ABCD中,ABCD,AFDCDE.AFDCBE.第1課時菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質:菱形的四條邊相等菱形的對角線互相垂直例1一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁隨堂練習.【選做題】教材第4頁習題1.1的1,2題.二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.在菱形ABCD中,AB5 cm,則此菱形的周長為()A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周長為8 cm,高為1 cm,則菱形兩鄰角的度數比為()A.31B.41C.51D.613.如圖所示,在菱形ABCD中,兩條對角線的長分別為AC6,BD8,則此菱形的邊長為()A.5B.6C.8D.104.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC交BD于點O,AB8,E是CD的中點,則OE的長等于.5.如圖所示,已知菱形ABCD,其頂點A,B在數軸上對應的數分別為-4和1,則BC.6.如圖所示,在菱形ABCD中,E,F分別是CB,CD上的點,且BEDF.求證AEFAFE.【能力提升】7.如圖所示,兩個全等菱形的邊長均為1 cm,一只螞蟻由A點開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的邊循環(huán)運動,行走2015 cm后停下,則這只螞蟻停在點.8.已知菱形ABCD的邊長為6,且A60,如果點P是菱形內一點,且PBPD23,那么AP的長為.9.如圖所示,在菱形ABCD中,A60,AB4,O為對角線BD的中點,過O點作OEAB,垂足為E.(1)求ABD的度數;(2)求線段BE的長.【拓展探究】10.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC6,BD8,點E,F分別是邊AB,BC的中點,點P在AC上運動,在運動過程中,存在PEPF的最小值,則這個最小值是()A.3B.4C.5D.611.如圖所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一點,連接AF交對角線BD于點E,連接EC.(1)求證AEEC;(2)當ABC60,CEF60時,點F在線段BC上的什么位置?說明理由.【答案與解析】1.C(解析:因為菱形ABCD的四條邊相等,所以菱形的周長為5420(cm).故選C.)2.C(解析:如圖所示,因為菱形的周長為8 cm,所以AD2 cm.因為高DE1 cm,所以DE12AD,所以A30,所以ADC180-30150,所以菱形兩鄰角的度數比為51.故選C.)3.A (解析:因為四邊形ABCD是菱形,所以OA12AC3,OB12BD4,AOB90,所以ABOA2OB232425.故選A.)4.4(解析:因為四邊形ABCD是菱形,所以O是AC的中點,且ADAB8.又因為E是CD的中點,所以OE是ACD的中位線,所以OE12AD12AB4.故填4.)5.5 (解析:因為點A,B在數軸上對應的數為-4和1,所以AB1-(-4)5.因為四邊形ABCD是菱形,所以BCAB5.故填5.)6.證明:在菱形ABCD中,有ABAD,BD.在ABE和ADF中,ABAD,BDBEDF,ABEADF.AEAF.AEFAFE.7.G(解析:因為兩個全等菱形的邊長均為1 cm,所以螞蟻由A點開始按ABCDEFCGA的順序走一圈的路程為818(cm),20158251(cm)7(cm),所以當螞蟻走完第251圈后再走7 cm正好到達G點.)8.23或439.解:(1)在菱形ABCD中,ABAD,A60,ABD為等邊三角形.ABD60.(2)由(1)可知BDAB4.又O為BD的中點,OB2.又OEAB,ABD60,BOE30.BE1.10.C11.證明:(1)如圖所示,連接AC,BD是菱形ABCD的對角線,BD垂直平分AC,AEEC.(2)點F是線段BC的中點.理由如下.四邊形ABCD是菱形,ABCB.又ABC60,ABC是等邊三角形,BAC60.AEEC,EACACE.CEF60,EAC30.AF是ABC中BAC的平分線,BFCF,點F是線段BC的中點.本課時的主要教學內容為菱形的定義和性質.學生已經學習了平行四邊形的性質,這是本課時知識的基礎.關于菱形的定義和性質,就是在平行四邊形的基礎上,進一步強化條件得到的.本課時授課思路為“創(chuàng)設情境猜想歸納邏輯證明知識運用”.課堂上的折紙活動,可以讓學生直觀感知圖形的特點,還可以激發(fā)學生學習的興趣和積極性.教師應該留給學生充分的獨立思考時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.教師要引導學生積極思考,抓住表面現(xiàn)象中的本質.在性質的證明和應用過程中,教師要鼓勵學生大膽探索新穎獨特的證明思路和證明方法,提倡證明方法的多樣性,并引導學生在與其他同學的交流中進行證明方法的比較,優(yōu)化證明方法,有利于提高學生的邏輯思維水平.隨堂練習(教材第4頁)解:根據菱形的對角線互相垂直,可知AOB是直角三角形,由勾股定理可