復變函數與積分變換公式匯總.doc

復變函數復習重點 (一)復數的概念1.復數的概念：，是實數, . 注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小.2.復數的表示1）模：；2）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數）；主值是位于中的幅角。3）與之間的關系如下： 當 ； 當；4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”號。5）指數表示：，其中。 (二) 復數的運算1.加減法：若，則2.乘除法：1）若，則； 。2）若, 則； 3.乘冪與方根若，則。若，則（有個相異的值）（三）復變函數1復變函數：，在幾何上可以看作把平面上的一個點集變到平面上的一個點集的映射.2復初等函數1）指數函數：，在平面處處可導，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數。（注意與實函數不同）對數函數： （多值函數）；主值：。（單值函數）的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且；注：負復數也有對數存在。（與實函數不同）3）乘冪與冪函數：；注：在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且。4）三角函數： 在平面內解析，且注：有界性不再成立；（與實函數不同）雙曲函數 ；奇函數，是偶函數。在平面內解析，且。（四）解析函數的概念1復變函數的導數1）點可導：=；2）區(qū)域可導： 在區(qū)域內點點可導。2解析函數的概念1）點解析： 在及其的鄰域內可導，稱在點解析；2）區(qū)域解析： 在區(qū)域內每一點解析，稱在區(qū)域內解析；3）若在點不解析，稱為的奇點；3解析函數的運算法則：解析函數的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數；解析函數的復合函數仍為解析函數；（五）函數可導與解析的充要條件1函數可導的充要條件：在可導和在可微，且在 處滿足條件： 此時， 有。2函數解析的充要條件：在區(qū)域內解析和在在內可微，且滿足條件：；此時。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導數，則在區(qū)域內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續(xù)偏導且滿足條件時，函數一定是可導或解析的。3函數可導與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件 （函數以形式給出，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數的四則運算定理。（函數是以的形式給出，如第二章習題3）（六）復變函數積分的概念與性質復變函數積分的概念：，是光滑曲線。注：復變函數的積分實際是復平面上的線積分。復變函數積分的性質 （與的方向相反）；是常數；3） 若曲線由與連接而成，則。3復變函數積分的一般計算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數方法：設曲線： ，其中對應曲線的起點，對應曲線的終點，則 。（七）關于復變函數積分的重要定理與結論1柯西古薩基本定理：設在單連域內解析，為內任一閉曲線，則 2復合閉路定理： 設在多連域內解析，為內任意一條簡單閉曲線，是內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復合閉路。3閉路變形原理 ： 一個在區(qū)域內的解析函數沿閉曲線的積分，不因在內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經過使不解析的奇點。4解析函數沿非閉曲線的積分： 設在單連域內解析，為在內的一個原函數，則 說明：解析函數沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數即可。5。 柯西積分公式：設在區(qū)域內解析，為內任一正向簡單閉曲線，的內部完全屬于，為內任意一點，則6高階導數公式：解析函數的導數仍為解析函數，它的階導數為 其中為的解析區(qū)域內圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于。7重要結論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復變函數積分的計算方法1）若在區(qū)域內處處不解析，用一般積分法2）設在區(qū)域內解析，是內一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理， 是內的一條非閉曲線，對應曲線的起點和終點，則有3）設在區(qū)域內不解析曲線內僅有一個奇點：（在內解析）曲線內有多于一個奇點：（內只有一個奇點） 或：（留數基本定理）若被積函數不能表示成，則須改用第五章留數定理來計算。（八）解析函數與調和函數的關系1調和函數的概念：若二元實函數在內有二階連續(xù)偏導數且滿足，為內的調和函數。2解析函數與調和函數的關系解析函數的實部與虛部都是調和函數，并稱虛部為實部的共軛調和函數。兩個調和函數與構成的函數不一定是解析函數；但是若如果滿足柯西黎曼方程，則一定是解析函數。3已知解析函數的實部或虛部，求解析函數的方法。1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；對兩邊積分，得 （*）再對（*）式兩邊對求偏導，得 （*） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得 虛部 。 2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部，根據解析函數的導數公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數，由于仍為解析函數，故 （為實常數）注：若已知虛部也可用類似方法求出實部（九）復數項級數1復數列的極限1）復數列（）收斂于復數的充要條件為 （同時成立）2）復數列收斂實數列同時收斂。2復數項級數1）復數項級數收斂的充要條件是級數與同時收斂；2）級數收斂的必要條件是。注：復數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。（十）冪級數的斂散性1冪級數的概念：表達式或為冪級數。2冪級數的斂散性1）冪級數的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數在處收斂，那么對滿足的一切，該級數絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足的一切，級數必發(fā)散。2）冪級數的收斂域圓域冪級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法 如果，則收斂半徑；根值法 ，則收斂半徑；如果，則；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則；說明僅在或點收斂；注：若冪級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）3冪級數的性質1）代數性質：設的收斂半徑分別為與，記，則當時，有 （線性運算） （乘積運算）2）復合性質：設當時，當時，解析且，則當時，。分析運算性質：設冪級數的收斂半徑為，則其和函數是收斂圓內的解析函數；在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且 在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變； （十一）冪函數的泰勒展開1. 泰勒展開：設函數在圓域內解析，則在此圓域內可以展開成冪級數 ；并且此展開式是唯一的。注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個奇點之間的距離。 2常用函數在的泰勒展開式1） 2） 3） 4） 3解析函數展開成泰勒級數的方法1）直接法：直接求出，于是。2）間接法：利用已知函數的泰勒展開式及冪級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數展開。（十二）冪函數的洛朗展開 1. 洛朗級數的概念：，含正冪項和負冪項。 2洛朗展開定理：設函數在圓環(huán)域內處處解析，為圓環(huán)域內繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內，有 ，且展開式唯一。3解析函數的洛朗展開法：洛朗級數一般只能用間接法展開。*4利用洛朗級數求圍線積分：設在內解析，為內的任何一條正向簡單閉曲線，則 。其中為在內洛朗展開式中的系數。說明：圍線積分可轉化為求被積函數的洛朗展開式中的系數。（十三）孤立奇點的概念與分類1。 孤立奇點的定義 ：在點不解析,但在的內解析。2。孤立奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含的負冪項；2）極點：展開式中含有限項的負冪項；其中在解析，且；3）本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項； （十四）孤立奇點的判別方法1可去奇點：常數；2極點：3本性奇點：不存在且不為。4零點與極點的關系1）零點的概念：不恒為零的解析函數，如果能表示成，其中在解析，為正整數，稱為的級零點；2）零點級數判別的充要條件是的級零點3）零點與極點的關系：是的級零點是的級極點；4）重要結論若分別是與的級與級零點，則是的級零點；當時，是的級零點；當時，是的級極點；當時，是的可去奇點；當時，是的級零點，當時，是的級零點，其中（十五）留數的概念 1留數的定義：設為的孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數（或殘留），記作 2留數的計算方法若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內洛朗展開式中的系數。1）可去奇點處的