2019-2020學(xué)年西寧市第十四中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年青海省西寧市第十四中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】， ,=2“”是“直線與圓相切”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】直接利用圓心到直線的距離等于半徑求得充要條件即可判斷【詳解】當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型3設(shè)是不同的直線，是兩個(gè)不同的平面. 下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C，則D若，則【答案】A【解析】分別由線線平行、垂直，線面平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)可求解；【詳解】解：由線線平行，線面平行，面面垂直知正確；：若，則或或、是異面直線，故錯(cuò)誤；，則或，或，故錯(cuò)誤；：若，則，或、是異面直線，故錯(cuò)誤；故選【點(diǎn)睛】考查線線平行、垂直，線面平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題4中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問(wèn)物幾何？”現(xiàn)給出該問(wèn)題算法的程序框圖，其中表示正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，例如 表示11除以3后的余數(shù)是2執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（ ）A7B8C9D10【答案】B【解析】根據(jù)程序框圖的條件，利用模擬運(yùn)算法進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】第一次，7除以3的余數(shù)是1，不滿足條件，除以3的余數(shù)是2滿足條件，8除以5的余數(shù)是3滿足條件，輸出故選B【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)框圖模擬運(yùn)算即可得出結(jié)果，比較基礎(chǔ)5在等差數(shù)列 中， 表示 的前 項(xiàng)和，若 ，則 的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，得，在利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解，得到答案。【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由等差數(shù)列的求和公式可得 ，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】先列表得到所有的基本事件的個(gè)數(shù)及平局對(duì)應(yīng)的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)公式可得所求的概率【詳解】甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：甲乙錘剪子包袱錘(錘，錘)(錘，剪子)(錘，包袱)剪子(剪子，錘)(剪刀，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，錘)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因?yàn)橛杀砀窨芍?，共?種等可能情況其中平局的有3種：(錘，錘)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)設(shè)為“甲和乙平局”，則，故選A【點(diǎn)睛】古典概型的概率計(jì)算，如果基本事件的總數(shù)計(jì)算較為繁瑣時(shí)，那么應(yīng)該用枚舉法或列表法得到所有的基本事件及隨機(jī)事件中含有的基本事件7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.8函數(shù)y的圖象大致為()ABCD【答案】B【解析】先分析函數(shù)的定義域，可排除A,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性為奇函數(shù)排除C，利用特值法區(qū)分答案B,D.【詳解】函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0且x1，A錯(cuò)；因?yàn)閒(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，排除C項(xiàng)；當(dāng)x2時(shí)，y0，排除D項(xiàng)，只有B項(xiàng)適合【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，特值法，利用上述性質(zhì)區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.9已知,則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)求得，即可求解.【詳解】由題：，解得， .故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角恒等變換，涉及二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系，合理構(gòu)造齊次式可以降低解題難度.10已知，分別為橢圓：的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與的另一個(gè)公共點(diǎn)為，則（）ABC4D【答案】D【解析】通過(guò)題意，容易求出直線的方程，將直線和橢圓聯(lián)立，求出交點(diǎn)，通過(guò)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出【詳解】易知，的方程為，聯(lián)立，得，解得，則的坐標(biāo)為，則，.故選D【點(diǎn)睛】本題時(shí)橢圓和向量結(jié)合的問(wèn)題，根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求出需要的向量的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題11已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值【詳解】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)異面直線與所成角為，則.異面直線與所成角的余弦值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題12已知橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓過(guò)橢圓的中心，且與在第一象限交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，則的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】利用已知條件以及橢圓的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解橢圓的離心率即可.【詳解】橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓過(guò)橢圓的中心，且與在第一象限交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，可得，可得 所以 解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的定義以及性質(zhì)求離心率，屬于中檔題.二、填空題13若，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi).【答案】-2【解析】首先作出可行域，然后作出初始目標(biāo)函數(shù)，然后判斷目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】如圖，作出可行域，由圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，函數(shù)取值最小值，.故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，意在考查基礎(chǔ)知識(shí)和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.14三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，PA，PB，PC兩兩垂直，球O的體積為_(kāi)【答案】【解析】先證明平面PAB，并計(jì)算出的外接圓直徑AB，然后利用公式計(jì)算出球O的半徑R，最后利用球體體積公式可得出答案【詳解】解：如下圖所示，、PB、PC兩兩垂直，且，平面PAB，所以，的外接圓直徑為斜邊，所以，球O的直徑為，則，因此，球O的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球體體積的計(jì)算，同時(shí)也考查了直線與平面垂直的判定定理，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題15如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，則【答案】【解析】【詳解】由圖及題意得，=()()=+=.16給出下列說(shuō)法函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)；若集合中只有一個(gè)元素，則；若，則；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；其中所有正確的序號(hào)是_ .【答案】.【解析】根據(jù)反函數(shù)定義可判斷;根據(jù)集合的概念與性質(zhì)可判斷;根據(jù)函數(shù)解析式的求法,可判斷;根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法,可判斷.【詳解】對(duì)于,由反函數(shù)定義可知,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),所以正確.對(duì)于,集合中只有一個(gè)元素,當(dāng)時(shí),只有一個(gè)元素;當(dāng)時(shí),滿足,解得,所以當(dāng)或時(shí)集合A只有一個(gè)元素,所以錯(cuò)誤.對(duì)于,若,則 ,沒(méi)有給出定義域,所以錯(cuò)誤.對(duì)于,定義域?yàn)?由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷可知在上單調(diào)遞減所以正確.綜上可知,正確的為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的定義,函數(shù)解析式求法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷,元素個(gè)數(shù)的判斷,綜合性較強(qiáng),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17已知數(shù)列為等差數(shù)列，.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.試題解析： (1)設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得方程組解得.所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）可得， 得所以. 【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫(xiě)出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式.18在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.若，且.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，等式右邊可化為余弦定理形式，根據(jù)求角即可（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面積的最大值.【詳解】（1）由得：，即：.，又，.（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面積公式，屬于中檔題.19如圖，四棱錐PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（）證明MN平面PAB;（）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）【解析】試題分析：（）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來(lái)求解與平面所成角的正弦值試題解析：（）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即可取.于是.【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理20已知拋物線C；過(guò)點(diǎn)求拋物線C的方程；過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)均與點(diǎn)A不重合，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，求證：為定值【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（3，1）的直線MN的方程為，代入y2=x利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡(jiǎn)，即可求k1k2的值【詳解】（1）由題意得，所以拋物線方程為 （2）設(shè)，直線MN的方程為，代入拋物線方程得 所以， 所以,所以，是定值【點(diǎn)睛】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值21如圖，四棱錐中，底面為菱形，為等邊三角形（1）求證：（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析（2）0【解析】（1）取AD中點(diǎn)E，連接，由已知可得，又即可證平面，從而可得；（2）建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面的法向量垂直得到其余弦值為0.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且，所以為等邊三角形如下圖，作，則E為AD的中點(diǎn)又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以因?yàn)镻E和BE為平面PBE內(nèi)的兩條相交的直線，所以直線平面PBE，又因?yàn)镻B為面PBE內(nèi)的直線，所以（2）為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，所以，因?yàn)?，所以面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，即，即，取，則，設(shè)平面的法向量為，即，即，取，則，因?yàn)椋?設(shè)二面角的平面角為，則有.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，以及應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要注意空間直角坐標(biāo)系建立的條件.22已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓：的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】試題分析：（I）雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率為，對(duì)于橢圓來(lái)說(shuō)，由此求得和橢圓的方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓