2011高三導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法.doc

2011屆高三數(shù)學(xué)理科培訓(xùn)資料 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、考試要求了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三、雙基透視導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。3曲線的切線 用割線的極限位置來定義了曲線的切線切線方程由曲線上的切點坐標確定，設(shè)為曲線上一點，過點的切線方程為：4瞬時速度用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度，5導(dǎo)數(shù)的定義對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)的概念，如果x0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，才能得到f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)(3)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：(a)求函數(shù)的增量；(b)求平均變化率；(c)取極限，得導(dǎo)數(shù)。6導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為7、 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。當時，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有。當時，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為一個區(qū)間，否則，不能合并，區(qū)間之間要用逗號隔開。8、已知 （1）若恒成立 為上 對任意 不等式 恒成立（2）若恒成立 在上 對任意不等式 恒成立四、熱點題型分析題型一：基本導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用：例1 求下列式子的導(dǎo)數(shù): , 題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程例2已知函數(shù)，當=2時，求曲線=()在點(1，)處的切線方程；解：（I）當時， 由于所以曲線處的切線方程為。即例3.在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當x0=-1時，k有最小值3，此時P的坐標為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-11=0例4.曲線y=x3在點（3，27）處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積是多少?剖析：求出切線的方程后再求切線與坐標軸的交點.解：曲線在點（3，27）處切線的方程為y=27x54，此直線與x軸、y軸交點分別為（2，0）和（0，54），切線與坐標軸圍成的三角形面積是S=254=54.例5.已知曲線C：y=x33x2+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點（x0，y0）（x00），求直線l的方程及切點坐標.剖析：切點（x0，y0）既在曲線上，又在切線上，由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.解：直線過原點，則k=（x01）.由點（x0，y0）在曲線C上，則y0=x033x02+2x0，=x023x0+2.又y=3x26x+2，在（x0，y0）處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=（x0）=3x026x0+2.x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0.解得x0=（x00）.這時，y0=，k=.因此，直線l的方程為y=x，切點坐標是（，）.評述：對于高次函數(shù)凡涉及到切線或其單調(diào)性的問題時，要有求導(dǎo)意識.例6.若直線y=3x+1是曲線y=x3a的一條切線，求實數(shù)a的值.解：設(shè)切點為P（x0，y0），對y=x3a求導(dǎo)數(shù)是=3x2，3x02=3.x0=1.（1）當x=1時，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=31+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）當x=1時，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.綜上可知，實數(shù)a的值為3或1.例7已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為。求的方程；解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。 例8. 已知函數(shù)，。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（）（i）由得=，當和時，；當時，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。例9.已知函數(shù)，求()的單調(diào)區(qū)間。解：當時，因此在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，得;因此，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，；即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，.的遞增區(qū)間為當時，由，得；因此，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，；即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。例10. 已知函數(shù),且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；依題意,得由.從而令當a1時, 當x變化時，與的變化情況如下表：x+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。當時，此時有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R當時，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.例11.設(shè)函數(shù)。（1）當a=1時，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值?！窘馕觥靠疾楹瘮?shù)導(dǎo)數(shù)運算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識。 解：對函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域為（0，2）（1） 單調(diào)性的處理，通過導(dǎo)數(shù)的零點進行穿線判別符號完成。當a=1時，令當為增區(qū)間；當為減函數(shù)。（2） 區(qū)間上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值。當有最大值，則必不為減函數(shù)，且0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點取到。例12.已知函數(shù)其中實數(shù)。（I） 若a=-2，求曲線在點處的切線方程；（II） 若在x=1處取得極值，試討論的單調(diào)性。例13.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若對x,4時，f（x）c恒成立，求c的取值范圍.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1與x=處取得極值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分別為1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.當x,時，f（x）0;當x,4時，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的極小值.又只有一個極小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范圍為c3ln2.例14.已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+2的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解:（1）設(shè)f（x）圖象上任一點坐標為（x,y），點（x,y）關(guān)于點A（0，1）的對稱點（x,2y）在h（x）圖象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上遞減，10在x（0,2時恒成立,即ax21在x（0,2）時恒成立.x（0,2時，（x21） max=3,a3.例15.已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 （）若函數(shù)處有極值，求的表達式； （）在（）的條件下，求函數(shù)在3，1上的最大值； （）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍 解：（1）由過的切線方程為： 而過故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）當 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上單調(diào)遞增，又由知2a+b=0。 依題意在2，1上恒有0，即 當；當；當 綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是例16.已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問 是否存在實數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù) 解 (1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存在，則(x)=4x3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當x1時，(x)0即4x3+2(2)x0對于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當1x0時，(x)0即4x2+2(2)x0對于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當=4時，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在 例17.已知三次函數(shù)在和時取極值，且(1) 求函數(shù)的表達式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，試求、應(yīng)滿足的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個根，解得，再由可得(2) ，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)函數(shù)的極大值是，極小值是(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）而，即于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域為令得或由的單調(diào)性知，即綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且例18.已知函數(shù)f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)處的切線與直線12xy10平行（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解：（1） f (x)3x26xa f (1)3a=12,a=9 （2） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（3，）（3）因為f(2)81218b=2b，f(2)81218b22b，所以f(2)f(2) 因為在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值，于是有 22b20，解得 b2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為7 例19.已知函數(shù)在處取得極值，（1）用表示；（2）設(shè)函數(shù)如果在區(qū)間上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.解：（1） （2）由已知令0若,則當時，0；當時，.所以當時，在有極小值.同理當時，即時，在有極小值.綜上所述：當時，在有極小值.例20.已知(1)當時, 求證在內(nèi)是減函數(shù);(2)若在內(nèi)有且只有一個極值點, 求a的取值范圍.解: (1) , 又二次函數(shù)的圖象開口向上,在內(nèi), 故在內(nèi)是減函數(shù).(2)設(shè)極值點為則當時, 在內(nèi) 在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù).當時在內(nèi)有且只有一個極值點, 且是極大值點. 當時, 同理可知, 在內(nèi)且只有一個極值點, 且是極小值點. 當時, 由(1)知在內(nèi)沒有極值點. 故所求a的取值范圍為例21.：設(shè)函數(shù)（1）若的圖象與直線相切，切點橫坐標為，且在處取極值，求實數(shù) 的值；（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點 解：（1） 由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當b=1時，因故方程有兩個不同實根不妨設(shè)，由可判斷的符號如下：當；當；當因此是極大值點，是極小值點，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點。題型四：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍例22.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1時取得極值，且f(1)=1 (1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由 命題意圖 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入 是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解 知識依托 解題的成功要靠正確思路的選擇 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化 這是解答本題的閃光點 錯解分析 本題難點是在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用f(1)= 例20：已知為實數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）證明對任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實數(shù)解 ，所以的取值范圍是，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對任意，恒有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且。0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙 技巧與方法 考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點x=1所確定的相等關(guān)系式，運用待定系數(shù)法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函數(shù)f(x)的極值點，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根 由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當x1或x1時，f(x)0當1x1時，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù) 當x=1時，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=1 例23：設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1） 求實數(shù)的取值范圍；解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而00時，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（i i）當a0時，若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).（）由（）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因為線段AB與x軸有公共點，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求實數(shù)a的取值范圍是-1，0)3，4.題型六：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合例32：設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間與極值；()求證：當且時，。例33：設(shè)函數(shù)（）證明：當時，；（）設(shè)當時，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【參考答案】例34：設(shè)，是曲線在點處的切線方程，并設(shè)函數(shù)。（I）用，表示；（II）證明：當時，；解：（I）；（II）令，令，因遞減，所以遞增，當當，所以是唯一極值點，也是最值點，所以得；當時，；題型七：導(dǎo)數(shù)與解析幾何、立體幾何的結(jié)合。例35.： 所以如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)的圖像，軸于A，曲線段OMB上一點處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q.（1）試用表示切線PQ的方程；（2）設(shè)QAP的面積為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，試求出的最小值；O0OPMBQxyA(6,0)（3），試求出點P橫坐標的取值范圍.解：（1）切線PQ的方程 （2）令y=0得 由解得 . 又0t6, 4t6， g (t)在(m, n)上單調(diào)遞減，故（m, n） （3）當在（0，4）上單調(diào)遞增， P的橫坐標的取值范圍為. 例36：用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，則V=,(0V0,10x36時，V36時，V0,所以,當x=10,V有極大值V(10)=1960，并且又是最大值所以當x=10,V有最大值V(10)=1960題型八：導(dǎo)數(shù)在實際中的