多元函數(shù)微分學基礎.ppt

一 二元函數(shù)的定義 先看下面的例子 一般地 二元函數(shù)的定義如下 解 對于一元函數(shù) 一般假定在某個區(qū)間上有定義進行討論 對于二元函數(shù) 類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進行討論 所謂區(qū)域 平面的 是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分 見圖6 35 所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來 圖6 12區(qū)域示意 若區(qū)域能延伸到無限遠處 就稱這區(qū)域是無界的 如圖6 12 c 所示 否則 它總可以被包含在一個以原點O為中心 而半徑適當大的圓內(nèi) 這樣的區(qū)域稱為有界的 如圖6 12 a b 所示 圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界 閉區(qū)域 連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界 開區(qū)域 不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開區(qū)域 為方便使用 將開區(qū)域內(nèi)的點稱為內(nèi)點 將區(qū)域邊界上的點稱為邊界點 二 二元函數(shù)的幾何意義 三 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 1 二元函數(shù)的極限 函數(shù)的極限是研究當自變量變化時 函數(shù)的變化趨勢 但是二元函數(shù)的自變量有兩個 所以自變量的變化過程比一元函數(shù)要復雜得多 二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣 有關一元函數(shù)極限的運算法則和定理 都可以推廣二元函數(shù)的極限 下面舉例說明 解 2 二元函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點 思考題 答案 答案 答案 課堂練習題 答案 答案 答案 第三節(jié)偏導數(shù)與全微分 一 偏導數(shù)的定義及求法 解 解 證 解 例5 求 解法1 在點 1 2 處的偏導數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 設 證 例7 求 的偏導數(shù) 解 求證 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義 是曲線 在點M0處的切線 對x軸的斜率 在點M0處的切線 斜率 是曲線 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 對y軸的 二 高階偏導數(shù) 二 全微分在數(shù)值計算中的應用 應用 第三節(jié) 一元函數(shù)y f x 的微分 近似計算 估計誤差 本節(jié)內(nèi)容 一 全微分的定義 全微分 第三節(jié)全微分 一 全微分的定義 一 全微分的定義 定義 如果函數(shù)z f x y 在定義域D的內(nèi)點 x y 可表示成 其中A B不依賴于 x y 僅與x y有關 稱為函數(shù) 在點 x y 的全微分 記作 若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微 則稱函數(shù) f x y 在點 x y 可微 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 處全增量 則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微 2 偏導數(shù)連續(xù) 下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系 1 函數(shù)可微 函數(shù)z f x y 在點 x y 可微 由微分定義 得 函數(shù)在該點連續(xù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即 定理1 必要條件 若函數(shù)z f x y 在點 x y 可微 則該函數(shù)在該點偏導數(shù) 同樣可證 證 由全增量公式 必存在 且有 得到對x的偏增量 因此有 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 反例 函數(shù) 易知 但 因此 函數(shù)在點 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微 即 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理2 充分條件 證 若函數(shù) 的偏導數(shù) 則函數(shù)在該點可微分 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 推廣 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題 例如 三元函數(shù) 習慣上把自變量的增量用微分表示 的全微分為 于是 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 計算函數(shù) 在點 2 1 處的全微分 解 例2 計算函數(shù) 的全微分 解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 可知當 二 全微分在數(shù)值計算中的應用 1 近似計算 由全微分定義 較小時 及 有近似等式 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 可用于近似計算 誤差分析 可用于近似計算 半徑由20cm增大 解 已知 即受壓后圓柱體體積減少了 例4 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 到20 05cm 則 高度由100cm減少到99cm 體積的近似改變量 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 求此圓柱體 例5 計算 的近似值 解 設 則 取 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 微分定義 2 重要關系 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考題 答案 答案 答案 課堂練習題 答案 答案 第四節(jié) 一元復合函數(shù) 求導法則 本節(jié)內(nèi)容 一 多元復合函數(shù)求導的鏈式法則 二 多元復合函數(shù)的全微分 微分法則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 多元復合函數(shù)的求導法則 一 多元復合函數(shù)求導的鏈式法則 定理 若函數(shù) 處偏導連續(xù) 在點t可導 則復合函數(shù) 證 設t取增量 t 則相應中間變量 且有鏈式法則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 有增量 u v 全導數(shù)公式 t 0時 根式前加 號 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 推廣 1 中間變量多于兩個的情形 例如 設下面所涉及的函數(shù)都可微 2 中間變量是多元函數(shù)的情形 例如 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 又如 當它們都具有可微條件時 有 注意 這里 表示固定y對x求導 表示固定v對x求導 口訣 分段用乘 分叉用加 單路全導 叉路偏導 與 不同 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 設 解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 設 求全導數(shù) 解 注意 多元抽象復合函數(shù)求導在偏微分方程變形與 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 驗證解的問題中經(jīng)常遇到 下列兩個例題有助于掌握 這方面問題的求導技巧與常用導數(shù)符號 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù) 隱函數(shù)的求導方法 一 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù) 定理1 設函數(shù) 則方程 單值連續(xù)函數(shù)y f x 并有連續(xù) 隱函數(shù)求導公式 定理證明從略 僅就求導公式推導如下 具有連續(xù)的偏導數(shù) 的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個 在點 的某一鄰域內(nèi)滿足 滿足條件 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 導數(shù) 兩邊對x求導 在 的某鄰域內(nèi) 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理2 若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù) 則方程 在點 并有連續(xù)偏導數(shù) 定一個單值連續(xù)函數(shù)z f x y 定理證明從略 僅就求導公式推導如下 滿足 在點 滿足 某一鄰域內(nèi)可唯一確 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 兩邊對x求偏導 同樣可得 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 設 解法1利用隱函數(shù)求導 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解法2利用公式 設 則 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考題 答案 答案 答案 課堂練習題 答案 答案 第八節(jié) 一 多元函數(shù)的極值 二 最值應用問題 三 條件極值 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法 一 多元函數(shù)的極值 定義 若函數(shù) 則稱函數(shù)在該點取得極大值 極小值 例如 在點 0 0 有極小值 在點 0 0 有極大值 在點 0 0 無極值 極大值和極小值 統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 的某鄰域內(nèi)有 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 說明 使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點 例如 定理1 必要條件 函數(shù) 偏導數(shù) 證 據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立 取得極值 取得極值 取得極值 但駐點不一定是極值點 有駐點 0 0 但在該點不取極值 且在該點取得極值 則有 存在 故 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 時 具有極值 定理2 充分條件 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù) 且 令 則 1 當 A 0時取極大值 A 0時取極小值 2 當 3 當 時 沒有極值 時 不能確定 需另行討論 若函數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 求函數(shù) 解 第一步求駐點 得駐點 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判別 在點 1 0 處 為極小值 解方程組 的極值 求二階偏導數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 在點 3 0 處 不是極值 在點 3 2 處 為極大值 在點 1 2 處 不是極值 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 最值應用問題 函數(shù)f在閉域上連續(xù) 函數(shù)f在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點 邊界上的最值點 特別 當區(qū)域內(nèi)部最值存在 且只有一個極值點P時 為極小值 為最小值 大 大 依據(jù) 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 條件極值 極值問題 無條件極值 條件極值 條件極值的求法 方法1代入法 求一